CĐ 6 bất ĐẲNG THỨC cauchy svac xơ

Nhận dạng xử lý: - Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn - Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nh

HD :

Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a

Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c  1

Bài 3: Cho a b, không âm CMR: a b ab   1 4ab

HD :

Áp dụng Cô si cho hai số không âm a b, , ta có : a b 2 ab

Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab   1 4abDấu “ = “ khi và chỉ khi

1 1

Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: 3

Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c d  

Bài 6: Cho a b c d, , , 0;abcd1 CMR:a2b2c2d2ab cd 6

Dấu “ = “ xảy ra khi: a b c 

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR:

Bài 9: Cho a b c , , 0 CMR : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 12

b c c a a b     

Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR:

Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM

1 Nhận dạng xử lý:

- Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn

- Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau.

2 Phương pháp :

- Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức

đó sao cho Cô si xảy ra

dấu bằng.

- Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi

Cô si được như ý.

Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số

S 

Bài 3: Cho x1, Tìm GTNN của:

132

y x

 

, đặt

12

Dấu bằng khi

13

a b c  

, Tìm GTNN của:

Dự đoán dấu = khi: x y 2 khi đó:

332

2 2

P   

Bài 14: Cho a b , 0 Tìm GTNN của:

a b ab P

a b ab

4

a b a b 

, Tìm GTNN của

4 14

A

a b

 

HD :

Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là :

11;

y x

 

, Đặt

1,4

x t t y

t 

Bài 23: Cho a b , 0 thỏa mãn: a2b Tìm GTNN của

2 2

2a b 2ab P

ab

 

HD:

Ta chia xuống, được:

2.a b 2P

Bài 26: Cho a,b,c>0, CMR: 2 2 2

VT      a b c VT   

Bài 28: Cho a b c , , 0 , Chứng minh rằng:

x  y z

, Khi đó :

2 1

43

Bài 32: Cho a b c , , 0 , Chứng minh rằng :

Dự đoán điểm rơi tại y3,x2 , Khi đó y x 1 ,

Cô si cho hai số x1;y0 , ta được :

Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số

Bài 1: Cho a2, Tìm Min của: 2

3 45 273.4 3.4 3.4 15 36

Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:

32

 , Tương tự ta cũng có :  

3 2

5.3 9 3

4 4 2

P   

Bài 11: Cho x y z , , 0 thỏa mãn: x y z  11 , Tìm GTNN của P x 34y39z3

P 

Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU

Bài 1: Cho a b, 0;a b 4ab Tìm GTNN của 4 2 1 4 2 1

Dự đoán dấu bằng khi x y z  1

Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được :

x x

 thì ta đều không tìm ra được GTNN.

P    

Ta sẽ dồn x2 y2z2 về x y z  hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗingười.

Dự đoán dấu = khi x y z  1

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài:

Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG

Bài 1: Tìm min của biểu thức:  

x B

x x

 với 0 < x < 1HD:

x

 

 (x > 1)HD:

x B

x x

HD:

x B x





 với x 0HD:

Bài 6: Tìm min của:

2

1

x C x



 với x >1HD:

x x A

x x

 



  với x > 0HD:

Bài 8: Tìm min của:

2 4 4

x x B

x

 



với x 0HD:

x y



HD:

BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ

A LÝ THUYẾT

1 Tên gọi:

Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu

là hệ quả của bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ.

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG

Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG

Bài 1: Cho x, y > 0 Chứng minh BĐT :

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:

Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ

Bài 1: Cho a b 1 và a b , 0 , Tìm min của: 2 2

Dự đoán dấu = khi

12

Dấu bằng khi

12

a b 

Khi đó : 2 2

1a b 3.2ab

Bài 5: Cho x y, 0,x y 4 , Tìm GTNN của 2 2

Dấu = khi a b 2 , và mẫu có thể ghép được lại với nhau Nên ta biến đổi P thành:

Bài 9: Cho x y, 0;x y 3 , Tìm GTNN của 2 2

Dấu bằng khi

32

a b c    a b c Khi đó ta có :