D03 giới hạn dãy số muc do 4

Gọi I là trung điểm của AC.. Tính thể tích khối chóp .0 S ABC... Gọi I là trung điểm của AC.. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , SI theo a.. Lời giải Gọi E là trung điểm của BC

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] [HSG 12 THẠCH THÀNH - THANH HÓA 2019]Cho dãy số  u n được xác

định bởi

2018 , 2019 (   ) 2   , , 2





u u u u u n n Tìm limu n

Lời giải

Ta có u u n( n1u n1) 2 u n1.u n1,  n ,n2 1 1

1

n

u  v n1 v n v n v n1 (v n) là cấp số cộng có công sai

2 1

1 2018.2019

  

và số hạng đầu 1

1 2018



v

2020 2018.2019



v

2018.2019 2020



n

u

n

Vậy

2018.2019 2018.2019

2020





u

n

n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số  a n thỏa mãn:    

1

4 3

a









với  n 1,n  Tìm lima n

Lời giải

Dễ thấy u n    0, n * Từ giả thiết ta có

 

 

2 2

1

2

1

n



Với mỗi n  *, đặt

1 1 4

n n

y u

 

ta có y  và1 1

 

2

n

n

n

 

 

2 2

2 2

n

n n u

n n



Vậy limu  n 4

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho dãy số  u n

xác định như sau u1 1và 2020 2019

u u u u , với n¥* Tính

2019 2019

3

n n

Lời giải

Ta dễ dàng thấy rằng u n 1với n¥*.

Xét u n1 u n u n20202018u n20190với mọi n¥*nên dãy  u n

tăng

Giả sử dãy  u n

bị chặn trên, khi đó  u n

có giới hạn Giả sử limu n  a 1.

Từ hệ thức u n1u n20202018u2019n u nchuyển qua giới hạn có

2020 2019 2018

a a a a  a0hoặc a2018(vô lý) Vậy dãy  u n

không bị chặn trên Suy ra limu n .

Ta có

2019 2019

1

1

2018





2019 2019

3

n

Vậy

2019 2019

3

n n

lim

2018  2018

2018 2019



u

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2012-2013) Cho dãy số  u n

được xác định như sau:

1 1

u  , u  , 2 3 u n2 2u n1 u n , 1 n 1, 2,Tính lim 2

n n

u n

 

Lời giải

Ta có u n2 u n1u n1 u n , 1 n 1, 2,suy ra u n2 u n1 lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 1nên u n2 u n1u2 u1n.1 n 2 1

Từ  1

ta được u n u1u n u n1u n1 u n2u2 u1   n n 1 2

1 2

n

   

 1 2

n n 



 

1 1 lim lim

n

n n u

   



Vậy 2

1 lim

2

n n

u n

  

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – Vĩnh Phúc 2014-2015) Cho dãy số  u n

được xác định bởi:

1 1, 1 , 1, 2,3,

1

n n

n

u

u



 1   2   

2014 1 1 1 lim

2015

n

n

Lời giải

Do u1 0 u n 0,   Ta có n * 1 1

1 1

n

u





 1   2   

n

n



Suy ra

1

2014 1

n



Vậy

 1   2   

2014 1 1 1 2014 lim

n

n



Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 12 VĨNH LONG 2018-2019) Cho dãy số  u n được xác định như sau

1

1

1

3 1,

u







    

1 2









n n

v

u , hãy tính limv n

Lời giải

Dễ thấy u n 0,  n * Theo bài ra ta có 2

Suy ra

    1

1





n

v

lim lim



n

n

v

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Cho dãy số  x n xác định như sau:

1

1

1

1, 2,3

x

n









1

1

1, 2,3

2

n n

x







Tính lim n

 

Lời giải

x  x x  x  x    x  x x  x   x  x 

Dễ thấy x  với n n 0  và x  nên 2 5 2 1

1 3 1 3 3.3k 3k

Nên dễ dàng quy nạp ta được 3n 1  1, 2,3 

n

x  x  x   x  x  x   x  x 

   

n

y

1

2

n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số  u n n1

thỏa mãn

1

2

2

, 1

u







 2  lim n u n

Lời giải

Theo giả thiết ta có :

n u   u u u u  n u u 

    1

u

 

 

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.c] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a Gọi

I là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI 3IH

và góc giữa hai mặt phẳng SAB; SBC

bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0 S ABC

Lời giải

Cách 1 :

Từ giả thiết của bài toán ta có BH AC AC SBH AC SB









Kẻ

AJ SB

IJ SB

CJ SB







 góc giữa hai mặt phẳng SABvà SCB

bằng góc giữa hai đường thẳng

AJ và CJ

Dễ thấy AIJlà tam giác cân tại J, kết hợp với giả thiết góc giữa hai mặt phẳng SAB

và SBC bằng 60 ta có hai trường hợp sau :0

TH1: AJC600 AJI 300.

Ta có

.tan 60

2

a

vuông tại J có

2 2

a

BI IJ

TH2: AJC1200 AJI 600

Ta có

0 tan 30

6

a

IJ AI   BIJ

vuông tại Jcó

3

a

BJ  BI  IJ 

IJ BH

BJ

Mặt khác

IB AC  BH 

Ta có

3

Câu 1 [HH11.C2.1.E05.c] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a Gọi

I là trung điểm của AC Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI 3IH

và góc giữa hai mặt phẳng SAB; SBCbằng 0

60 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB ,

SI theo a

Lời giải

Gọi E là trung điểm của BC IE AB// Do vậy ta có d AB SI ,  d AB SIE ,   d B SIE ,  

Do BI 3IH d B SIE ,   3d H SIE ,  

 

Kẻ HK IE , K IE

Mặt khác ta lại có SHABC SH IE  IESHK SIE  SHK

Kẻ HF SK  HFSIE d H SIE ,   HF d AB SI ,  3HF

Xét tam giác vuông SHKta có : 2 2 2 2 2

HF

HF HK HS   SH HK .

Mặt khác

Vậy  ,  3 2 17

17

a

d AB SI  HF

Cách 2:

Chọn hệ trục tọa độ Bxyz với A Bx C By Bz SH ,  , // Không mất tính tổng quát ta chọn a  1

Ta có : B0;0;0

, A1;0;0

, 0;1;0 1 1; ;0

2 2

C  I  

Do

2 2

3 3

BI  IH H  

 

Gọi

2 2

; ;

3 3

S h

  với h  0

1;0;0

BA 



,

2 2

; ;

3 3

BS  h



, BC 0;1;0

1

2

3

n BA BS   h 

  

, 2

2

3

n BC BS h  

  

Do góc giữa SAB

và SBC

bằng 60 nên 0

1 2 0

1 2

n n

n n

 

 

.

Do chọn a  nên 1

3

S ABC

a

Ta có : BA  1;0;0,

1 1

; ;0

6 6

SI    



,

1 , 0;0;

6

    

 

,

1 1

; ;0

2 2

BI  



17 ,

BA SI BI

d AB SI

BA SI

  

 

Do chọn a 1nên  ,  2 17

17

a

d AB SI 

Bài 6 [DS10.C4.2.E03.d] Cho các số thực dương x y, thỏa mãn điều kiện

2 3

x  y 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P7x2y 4 x22xy8y2

Lời giải

Ta có: 4 x22xy8y2  16x232xy128y2  7x 2y23x10y2 3x10y

Suy ra P7x2y 4 x22xy8y2 7x2y  3x10y4x y 

2 2

x y  x y    x  y   P 

Dấu đẳng thức xảy ra ở và khi và chỉ khi

 2

2 1 1 2 8 2 3





















4 3 2 3

x y







 

 

Vậy GTLN P  đạt được khi 8

4 3 2 3

x y









 

 Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số  u n , biết u  ,1 12 2

1

5 6



   với n  Tìm 1 lim 2

n

u

n 

Lời giải

Ta có:

   

 

         

 

   

2

1

1

1

2 2

*

n







  



Đặt   2   

1 1

n n

u v

n n



, từ  *

ta có 1

1 2

v   v

nên  v n

là cấp số nhân có công bội 1

2

q 

, 1

1 2

v 

suy ra

  2 

3 2

u

n n



Khi đó

   

n

n

Ta có

6

n

Do đó ta có bất đẳng thức sau

   

   

       

n

Vì

   

     

2 2



nên

   

2 2

2 2n 1

n





hơn nữa

2 2

3 2 1 lim

n

 



1 lim

n

u

n  

Vậy 2

1 lim

n

u

n  

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] Cho dãy số  u n thỏa mãn

1

1

1 2

, 1,

5 1 1

n n

n

u

u

u











 Đặt

1 2 3

S u u u  u Chứng minh dãy S ncó giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh đượcu n 0,  n

Ta có:

2 5 1 1 2

5

5 1 1

n n

n

u u

u

 

 

4

5

u   u    u   u   u  u 

S u u u  u u  u  u   u

Chứng minh  u n là dãy giảm.

Thật vậy:

2 6 1 5

Giả sử u k u k1 Ta sẽ chứng minh u k1u k2

1

5

k k

u

và

2

5

k k

u

u  u 

Vì  u n

là dãy giảm mà u n 0,   nên tồn tại limn u n  (l l  và l hữu hạn) Do đó dãy 0 S n

có giới hạn hữu hạn

Lấy giới hạn 2 vế của đẳng thức 5u n1 2 2 5u n ta có: 5 2 2 5 11 l  l   l 0

Vậy

9 lim

5

n

S 

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] (HSG11-HÀ NAM-2013-2014) Cho dãy số  u n

xác định như sau: 1

2014

u

u  u u u







 

 n  *

1

n n

S

u



Tìm lim n

Lời giải

u  u u u ,  i 1

u u u

n căn

1

u  u   u 1

u u u

1

n

n

S

u u

u u u u u 

1

n

u u 

u u u u u u 



1 1

0

n





1

1

1

1

1

n n u

 





lim

1007

n

u

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.d] Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát:

n



Lời giải

Ta có:

2

3

1

2 2 cos 2 cos

2 2 2 cos 2 cos

2n





(Chứng minh bằng quy nạp)

Ta có

1

1

2 sin

2 sin 2

n

n

u











1

1

sin 2 lim lim

2

n n

n

u







   

