D03 giới hạn dãy số muc do 3

Chứng minh rằng dãy số  x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó... Vậy điều giả sử là sai và như thế dãy số  a n không bị chặn trên... 1 Chứng minh rằng dãy là dãy số tăng nhưng k

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho số thực a và dãy số  x n n0vớix0  và a

2

1 2 2

n n

n

x x

n

x x

n

x x

x

 

n Khi a 0;1 Chứng minh rằng dãy số  x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

n

x x

Trước hết ta chứng minh u n    1, n *(2) bằng quy nạp

Với n 1, 2thì hiển nhiên (2) đúng

Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được

Lời giải

12

đặt v n1u n1 u nkhi đó 1

12

3 2

12013

1

12013

1120132013

2012

n n

n n

n n

L

.Nhưng  a n

là dãy số tăng và bắt đầu bằng

1

2 nên điều này không thể xảy ra

Vậy điều giả sử là sai và như thế dãy số  a n không bị chặn trên

Ta có

2 1

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  u n

được xác định như sau: u11,u2 3,u n2 2u n1 u n 1.Tính

2

n

u n

 

Lời giải

Ta có u n2 u n1u n1 u n1,n1,2, suy ra u n2 u n1

lập thành một cấp số cộng có công saibằng 1 nên u n2 u n1u2  u1n.1  (1).n 2

Vậy 2

1lim

2

n n

u n

0

1 2014.2015n n

với v1 2,v n13v n n  ở đây 1 4n

v u  Khi đó v n 2.3n1 u n 4n 2.3n1 u n 4n 2.3n1

1 1 1

Nên dễ dàng quy nạp ta được 3n 1  1,2,3 

1

1

,12

12

, n N*

Khi đó

12

2

n n

u n

20182018

CM được dãy tăng: u n1 u n 2018u n2 0 n

- giả sử có giới hạn là a thì: a2018a2 a a 0 2018( Vô lí)

n n

n

x x

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  x n được xác định như sau

1

,2

Vậy limx  n 2013.

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  u n được xác định bởi: 1 1, 1 , 1,2,3,

1

n n

Chứng minh rằng hai dãy    u n ; v n

có giới hạn hữu hạn và limu n limv n

Vậy limu n limv n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  u n được xác định bởi

1 2

q 

và số hạng đầu

1 1

là dãy số tăng và bị chặn trên nên dãy số  u n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  u n xác định bởi công thức

1

1

41

32

Lời giải

Ta có 1

1

32

12

Cũng từ giả thiết ta có u n2 3u n12(u n1 3 ),u n   Suy ra dãy n 1 w n1u n1 3u nlà một cấp số

Có thể giải theo cách sau:

Xét phương trình đặc trưng của dãy truy hồi là 2 5 6 0.

u

1

1

12

1

02

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] [ HSG ĐBBB 2017] Cho số thực avà dãy số x n n0vớix0  vàa

2

1 2 2

n n

n

x x

n

x x

n

x x

n

x x

u  u 

3 2

12013

u  u 

1

12013

2012

n n

n n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số thỏa mãn điều kiện , ,

1) Chứng minh rằng dãy là dãy số tăng nhưng không bị chặn trên

Lời giải

Giả sử nó bị chặn trên thì nó phải có giới hạn hữu hạn L Chuyển đẳng thức truy hồi sang giới hạn,

Vậy điều giả sử là sai và như thế dãy số không bị chặn trên

a 

2 1

n n

n n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Cho dãy số  u n được xác định

như sau: u11,u2 3,u n2 2u n1 u n Tính 1 lim 2n

n

u n

 

Lời giải

Ta có u n2 u n1u n1 u n1,n1, 2, suy ra u n2 u n1

lập thành một cấp số cộng có công saibằng 1 nên u n2 u n1u2 u1n.1  (1).n 2

2

n n

u n

Xét dãy  v n

với v1 2,v n13v n n  ở đây 1 4n

v u  Khi đó v n 2.3n1 u n 4n 2.3n1 u n 4n 2.3n1

1 1 1

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  u n

được xác định như sau: u 1 1, u 2 3, u n2 2u n1 u n1,

1, 2,

n n

u n

n

n n u

2

n n

u n

1

12

12

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] [HSG11_BẮC GIANG_2012-2013] Cho dãy số (u )n được xác định như sau

n n

n

x x

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] [HSG11-VĨNH PHÚC-14-15] Cho dãy số  u n

được xác định bởi:

1

n n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho các số thực dương a b a b,   và hai

dãy số    u n ; v n xác định như sau:

Vậy limu n limv n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG lớp 11 – sở GD Thanh Hóa – 2017 - 2018) Cho dãy số  u n được xác

.Hãy lập công thức tính un theo nvà tính lim un .

u n

n2+2 n

là dãy số tăng bằng quy nạp

là dãy số tăng và bị chặn trên nên dãy số  u n

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG trường THPT DTNT Con Cuông- Nghệ An 2009-2010) Cho dãy số

32

12

n n

Cũng từ giả thiết ta có u n2 3u n1 2(u n1 3 ),u n   Suy ra dãy n 1 w n1u n1 3u nlà một cấp số

Xét phương trình đặc trưng của dãy truy hồi là 2 5 6 0.

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Tìm giới hạn

của dãy  u n biết u  ; 1 1

2 1

u u

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] Cho dãy số  x n

với n   được xác định như sau:*

1

2 1

u n

Ta có thể định nghĩa thêm a0 2thì dãy số vẫn thỏa mãn hệ thức truy hồi

2019

12019

n n

12019

2018

n n

Chứng minh rằng dãy  u n có giới hạn và tìm giới hạn đó

Lời giải

Từ

1 2

1

1

n n n

11

Phương trình đặc trưng t2   có nghiệm t 1 0 1 2

n

u v

u



 Vậy dãy  u n có giới hạn là 1.

Câu 1 [DS11.C3.3.E03.c] (Sở GD-ĐT Bình Thuận) Tìm limu với n n 1 3 52 4 6 2 .2 12

n u

n n

n

u

u s

Lời giải

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN

ABMD , ACND là hình bình hành suy ra AD BM BM               , CN.

Xét phép tịnh tiến theo vectơ TAD:A D

, suy ra OI AD R Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm O R, 

Câu 1.[DS11.C3.3.E03.c] (HSG Chuyên Duyên Hải Vịnh Bắc Bộ 2019)Cho dãy số ( )u n n+¥=1

Lời giải

<ç ÷çè ø÷ - + +

;

+

æö÷ç

với k đủ lớn, tức là u n- b <evới nđủ lớn và e> nhỏ tùy ý Hay ta 0

chứng minh được limu n= b

n n

Đặt

* 2

1

1,2018

n n

u u

31

x

x x

n x với mọi n N  Tìm nlim (  n x2 n)

n

n n x

2 2

20092009

1

12009