SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN THUẾ TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐỀ ĐỀ XUẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2023 Đề thi môn Toán lớp 10 Thời gian làm bài 18[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN THUẾ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
ĐỀ ĐỀ XUẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB NĂM 2023
Đề thi môn: Toán lớp 10 Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn
2
(2 ( ) 2 ( )) 2 ( )
f xf x f y x y f y với mọi ,x y
Câu 2 (4,0 điểm) Cho x x1, , ,2 x2024 là các số thực thỏa mãn 2 2 2
x x x Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức 1 2024
2024 2024
P
x x
.
Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O , BC cố định, A thay đổi.
Đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi K, M, N lần lượt là giao điểm của EF, FD, DE với BC, CA, AB Đường tròn đường kính KD,
EM, FN lần lượt cắt I
tại A B C 1, ,1 1
a Chứng minh DA EB FC đồng quy tại một điểm 1, 1, 1 J.
b Gọi T là trung điểm của EF Chứng minh JT luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
Câu 4 (4,0 điểm) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng nếu tồn tại , , a b c nguyên
dương sao cho 2027n (a bc b ac )( ) thì n là số chẵn.
Câu 5 (4,0 điểm) Cho một bảng hình chữ nhật kích thước 2023 2025 chứa 2023 2025 ô vuông Tồn tại cách tô màu cho tất cả các ô vuông của bảng bằng hai màu trắng hoặc đen sao cho bất kì hình chữ nhật kích thước 2 3 đều có đúng hai ô trắng Tính số ô trắng
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM Câ
u
m
1 Tìm t t c các hàm s ất cả các hàm số ả các hàm số ố f : th a mãnỏa mãn
2
(2 ( ) 2 ( )) 2 ( )
f xf x f y x y f y v i m i ới mọi ọi ,x y
4,0
Gi s có ả các hàm số ử có y y đ 1, 2 ể f y( )1 f y( )2 Trong đ bài, thay ề bài, thay ( , )x y ( , ),( , )x y1 x y2 và so sánh, ta có ngay y1y2 Suy ra ( )f x đ n ánh.ơn ánh
Trong đ , thay ề bài, thay x x, ta có f( 2 ( xf x) 2 ( )) 2 f y x2 y f y ( ) nên
(2 ( ) 2 ( )) ( 2 ( ) 2 ( ))
f xf x f y f xf x f y
T tính đ n ánh, ta có ừ tính đơn ánh, ta có ơn ánh xf x( )xf( )x hay ( )f x f x( ) v i m i ới mọi ọi x 0.
1,0
Thay x vào đ , ta có y 0 ề bài, thay f( 2 (0)) f f(0) nên đ t ặt af(0) thì ( 2 )f a a
Thay x0,y2a vào đ , ta có ề bài, thay f( 2 ( 2 )) 2 f a a f ( 2 ) a hay
, nên a 0.
Do đó, ta có (0) 0f và ( )f x f x( ), x .
0,5
Thay y2x2 vào đ , ta có ề bài, thay f(2 ( ) 2 (2 ))xf x f x2 f(2 )x2 nên
(2 ( ) 2 (2 )) ( 2 )
f xf x f x f x ,
dùng tính đ n ánh, ta có ơn ánh xf x( ) f(2 )x2 x2 hay f(2 )x2 xf x( )x2 v i m i ới mọi ọi x (1)
Thay y vào đ , ta có 0 ề bài, thay f(2 ( )) 2xf x x2 nên f toàn ánh trên
, mà f l nên ẻ nên f toàn
ánh trên
0,5
Thay x 0 vào đ , ta có ề bài, thay f( 2 ( )) f y y f y ( ) nên (2 ( ))f f y y f y( ) v i m i ới mọi ọi y .
(2)
Ti p t c thay ếp tục thay ục thay y2 ( )xf x vào (2), ta có f(4 ) 2 ( ) 2x2 xf x x2 K t h p v i (1) thìếp tục thay ợp với (1) thì ới mọi
(4 ) 2 (2 )
f x f x hay (2 ) 2 ( )f x f x v i m i ới mọi ọi x 0.
Do f l nên cũng có ẻ nên f(2 ) 2 ( )x f x v i m i ới mọi ọi x .
T (1), ta có ừ tính đơn ánh, ta có 2 ( )f x2 xf x( )x2 nên thay x ta có ngay (1) 1.1, f
0,5
T (2), ta có ừ tính đơn ánh, ta có y f y( ) 2 ( ( )) f f y (*) nên thay vào đ thìề bài, thay
2
2 ( ( )f xf x f y( )) 2 x 2 ( ( ))f f y hay
2
( ( ) ( )) ( ( ))
f xf x f y x f f y
Do f toàn ánh nên có th vi t l i thành ể ếp tục thay ại thành f xf x( ( )y)x2 f y( ) v i m i ới mọi ọi ,x y . (3)
Trong (3), thay x ta có ( 1)1, f y f y( ) 1
0,5
Trang 3f xf x f x x y x f y hay
2 ( ( ) ) 1 ( 1)2 ( )
x f f x x y x f y
Suy ra ( ( )f f x x y) 2 x f y ( ), v i ới mọi y thì ( ( ) ) 20 f f x x x Suy ra
(2 ) ( ( ( ) ))
f x f f f x x , k t h p v i (*) thìếp tục thay ợp với (1) thì ới mọi
2 ( )
2
f x x f f x x
hay
4 ( )f x f x( ) x 2x
T đó ta có ngay ừ tính đơn ánh, ta có f x( ) v i m i x ới mọi ọi x Th l i th y th a mãn.ử có ại thành ất cả các hàm số ỏa mãn
2
Cho x x1, , ,2 x2024 là các số thực thỏa mãn 2 2 2
x x x Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức 1 2024
2024 2024
P
x x
.
4,0
Với mọi j i ta có:
2024
i j
x x
Trường hợp 1:
Nếu tồn tại x i2 2024thì x2j 0 Khi đó j i
2
2024 2
P
.
1,0
Trường hợp 2:
Nếu x i22024, i 1, 2024 Ta có:
1
P
Ta lại có:
1
2024
2
x x
.
1,5
2024
.
Do đó:
2
2023.2024 2024 2024
Vậy giá trị lớn nhất của P là
2
2024
2 Dấu bằng xảy ra khi x1x2 x2024 hoặc1
x x x
1,5
3
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O
, BC cố định, A thay đổi Đường tròn nội tiếp
I
của tam giác ABC tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi K, M, N lần lượt
là giao điểm của EF, FD, DE với BC, CA, AB Đường tròn đường kính KD, EM, FN lần lượt cắt
3,0
Trang 4 I
tại A B C 1, ,1 1
a Chứng minh DA EB FC đồng quy tại một điểm 1, 1, 1 J.
b Gọi T là trung điểm của EF Chứng minh JT luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
3a
T J
A1
I1
K
F
E
D
I O
C
A
B
2,0
Gọi tâm của 3 đường tròn đường kính KD, EM, FN lần lượt là I I I Dễ chứng minh tâm của 1, ,2 3
các đường tròn đường kính KD EM FN thuộc trục đẳng phương của , , O
và I
nên chúng thẳng hàng
1,0
Có I là cực của 1 DA đối với 1 I , I là cực của 2 EB đối với 1 I , I là cực của 3 FC đối với1
I .
Lại có I I I thẳng hàng nên suy ra 1, ,2 3 DA EB FC đồng quy tại J.1, 1, 1
1,0 3b
J c
J b
P
D' T
J a
X
J
A1
K
F
E
D
I
O
C
A
B
2,0
Gọi J J J lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C của tam giác ABC, khi đó a, ,b c ABC 1,0
Trang 5là đường tròn Euler của tam giác J J J a b c
+, Kẻ đường kính DD’ của I
Theo kết quả quen thuộc, ta có:
D KAA D D KAJ D A D J
thẳng hàng, từ đây suy ra JDJ a Tương tự ta có ,
JEJ JFJ
+, Tam giác DEF và J J J có các cạnh tương ứng song song, từ đây suy ra J là tâm của phép a b c
vị tự biến tam giác DEF thành J J J Do T là trung điểm của EF nên a b c X JTJ J b c là trung điểm của J J , từ đây suy ra X là điểm chính giữa cung BAC của b c ABC suy ra JT luôn đi qua
điểm X cố định.
1,0
4 Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng nếu tồn tại , , a b c nguyên dương sao cho
Từ giả thiết suy ra tồn tại ,p q nguyên dương thỏa mãn
2027 2027
p q
a bc
b ac
(1) Không mất tổng
quát, giả sử a b Từ (1) suy ra
( )( 1) 2027 2027 ( )( 1) 2027 2027
a b bc ac a b c
b a ac bc a b c
1,0
Vì a b nên q p , do đó
( )( 1) 2027 (2027 1) (2)
( )( 1) 2027 (2027 1)
a b c
a b c
1,0
Nếu 2027 |c thì 2027| 11 c , do đó (3) 2027 |p a b a bc a b | (*) Mặt khác, từ
|a bc | | a b | và (*) suy ra a b 0 (a bc b ac )( ) ( a bc )2 2027n n2. 1,0
Nếu 2027 |c 1 thì 2027 |
p a b , do đó a bc a b | (**) Vì a bc a b nên (**) suy ra 1
c Khi đó (a bc b ac )( ) ( a b )2 2027n n 2
Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có 2 | n
1,0
5 Cho một bảng hình chữ nhật kích thước 2023 2025 chứa 2023 2025 ô vuông Tồn tại cách tô màu cho tất cả các ô vuông của bảng bằng hai màu trắng hoặc đen sao cho bất kì hình chữ nhật kích thước 2 3 đều có đúng hai ô trắng Tính số ô trắng
4,0
Ta cần chứng minh mỗi hình chữ nhật 1 3 chỉ chứa đúng 1 ô trắng
Giả sử tồn tại một hình chữ nhật 1 3 chứa hai ô trắng hoặc không chứa ô trắng nào
Nếu tồn tại hình chữ nhật 1 3 không chứa ô trắng nào thì hình chữ nhật 1 3 cạnh nó phải chứa hai ô trắng Vậy ta chỉ cần chứng minh tồn tại hình chữ nhật 1 3 chứa hai ô trắng
1,0
Xét trường hợp hai ô trắng nằm kề nhau như hình sau:
Trang 6D E F
Giả sử hai ô A, B được tô trắng thì khi đó 4 ô D, E, G, H phải tô đen Suy ra ô F, I phải tô trắng.
Khi đó hình chữ nhật 2 3 chứa các ô B, C, E, F, H, I chứa 3 ô trắng
Vậy trường hợp này không thỏa mãn
Xét trường hợp hai ô trắng không nằm kề nhau như hình sau:
Giả sử hai ô A, C được tô trắng thì khi đó 4 ô I, L phải tô trắng Suy ra ô B, F, K, D, H, M phải
tô đen
Khi đó hình chữ nhật 2 3 chứa các ô B, C, D, F, G, H chỉ chứa 1 ô trắng
Vậy trường hợp này không thỏa mãn
1,0
Vậy mỗi hình chữ nhật 1 3 chỉ chứa đúng 1 ô màu trắng Ta chia bảng 2023 2025 thành
2023 675 hình chữ nhật 1 3 Vậy có 2023 675 1365525 ô trắng 1,0