TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2022 2023 Đề thi môn Toán Lớp 10 Thời gian làm bài 180 phú[.]
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2022-2023
Đề thi môn: Toán Lớp 10
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1 (4 điểm) Cho n * và n số nguyên tố phân biệt p p1, 2, ,p n, đặt a i p p1 , 1i i n Xét đa thức n 1 n 1 2 n 2 1
P x x a x a x a x a
Xác định tất cả các giá trị của n để đa thức P x có nghiệm nguyên
Câu 3 (4 điểm) Cho a a1, , ,2 a2023 và b b1, , ,2 b2023 là các số thực thoả mãn a12a22 a20232 1,
1 2 2023 1
b b b Chứng minh rằng:
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC tù nội tiếp đường tròn c Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn c tại điểm thứ hai là E, và cắt đường thẳng BC tại điểm D Đường tròn đường kính DE cắt đường tròn c tại điểm H Biết đường thẳng HE cắt đường thẳng
BC tại điểm K
a) Chứng minh rằng : Các điểm K H D A, , , cùng thuộc một đường tròn
b) Gọi F là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn c tại các điểm B và C Chứng minh rằng : A H F, , thẳng hàng
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các nguyên dương n và số nguyên tố p sao cho
17 2n n p 2n 2n 1 n
Câu 5 (4 điểm) Có thể đánh số các ô vuông của một bảng ô vuông 4 x 4 bởi các số tự nhiên từ 1 đến
16 (mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần) sao cho tổng 4 số ở mọi phần của bảng ô vuông có dạng nhu hình chữ T dưới đây (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho 4 hay không?
HẾT
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 Cho n * và n số nguyên tố phân biệt p p1, 2, ,p n, đặt a i p p1 , 1i i n Xét
đa thức n 1 n 1 2 n 2 1
P x x a x a x a x a
Xác định tất cả các giá trị của n để đa thức P x có nghiệm nguyên
4,0 đ
Với n 1 ta có P x x p1
, đa thức có nghiệm nguyên x p1 Với n 2, giả sử P x có một nghiệm nguyên là a
P a a p a p p a p p p a p p p
Từ P a 0 p a12| 2| p p1 .2 p n1.a p p 1 .2 p n p12| p p1 2 p n điều này là vô lý
vì các số nguyên tố p p1, 2, ,p n là phân biệt
Vậy chỉ tìm được n 1
Câu 2 Cho a a1, , ,2 a2023 và b b1, , ,2 b2023 là các số thực thoả mãn a12 a22 a20232 1,
1 2 2023 1
b b b Chứng minh rằng:
1 2 2023 1 2 2023 1 1 2 2 2023 2023
4,0 đ
Gọi a2024 và b2024 là các số thực không âm thoả mãn:
2014 1 2 2 2023
a a a a
2024 1 1 2 2023
b b b b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
1 1 2 2 2023 2023 2024 2024 1 2 2023 2024 1 2 2023 2024 1
a b a b a b a b a a a a b b b b
1 1 2 2 2023 2023 2024 2024 1
2024 2024 1 1 2 2 2023 2023
2 2
2024 2024 1 1 1 2 2 2023 2023
Đến đây thay 2 1 2 2
2014 1 2 2 2023
a a a a
2024 1 1 2 2023
b b b b
ta có điều phải chứng minh
Câu 3 Cho tam giác ABC có góc ABC tù nội tiếp đường tròn c Tia phân giác của góc
BAC cắt đường tròn c tại điểm thứ hai là E, và cắt đường thẳng BC tại điểm
D Đường tròn đường kính DE cắt đường tròn c tại điểm H Biết đường thẳng
HE cắt đường thẳng BC tại điểm K
a) Chứng minh rằng : Các điểm K H D A, , , cùng thuộc một đường tròn
Trang 3b) Gọi F là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn c tại các điểm B
và C Chứng minh rằng : A H F, , thẳng hàng
a) Ta có E là điểm chính giữa của cung BC nên OEBC tại trung điểm M của
BC, dẫn đến DME 90 M thuộc đường tròn đường kính DE
Gọi K' là giao điểm thứ hai của đường thẳng EM và đường tròn c , có EK' là
đường kính của c AEAK' hay AK' là đường phân giác ngoài của góc
BAC
Từ đó ta có các góc vuông sau:
HEK HAK AK EH là tứ giác nội tiếp,
HEM HDM EHDM là tứ giác nội tiếp,
DAK DMK ADMK là tứ giác nội tiếp,
Ba đường tròn ngoại tiếp ba tứ giác kể trên có ba trục đẳng phương là
2,0 đ
Trang 4', ,
AK EH DM
AK EH BC
đồng quy tại một điểm, chính là K
KHD KAD
K H D A, , , thuộc đường tròn đường kính KD
b) Theo phần a) ta có DME DAK 90 và MDE ADK (đối đỉnh)
Hai tam giác DME và DAK đồng dạng
MED AKD MEA MKA
AKEM là tứ giác nội tiếp
EKM EAM
Lại có AKHD cũng là tứ giác nội tiếp nên HKD HAD (2)
Từ (1) và (2) suy ra HAD EAM AH là đường đối trung của tam giác ABC
xuất phát từ đỉnh A Theo tính chất của đường đối trung ta có điều phải chứng
minh
2,0 đ
Câu 4 Tìm tất cả các nguyên dương n và số nguyên tố p sao cho
4,0 đ
- Xét p 2, khi đó có 17 2n n2 2 2n2 3 2n2 1 n2
Vì VT chẵn mà 2n232n2 1 lẻ nên n chẵn, do đó VP4
Do n chẵn nên n 2 dẫn đến VT 2 mà 4 (mâu thuẫn)
- Xét p 2, khi đó VT lẻ nên n lẻ, do đó n 2 1 mod8 , lại có 28 1 mod17
2
2 3
n
n
mà 17 2 17n n2 nên p17 hay p 17 Ta có:
17 17 2n n 1 2n 2n 1 n
Với n 3, ta chứng minh được 17n1 9.n2 bằng phương pháp quy nạp, do đó
Hay VT VP dẫn đến mâu thuẫn
Do n lẻ nên xét n 1 có VT VP 17
Vậy tìm được duy nhất một cặp n p , 1,17
Câu 5 Có thể đánh số các ô vuông của một bảng ô vuông 4 x 4 bởi các số tự nhiên từ 1 đến 16
(mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần) sao cho tổng 4 số ở mọi phần của bảng ô
vuông có dạng nhu hình chữ T dưới đây (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho 4 hay
không?
Trang 54,0 đ
Ta chứng minh không có cách đánh số nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Giả sử tồn tại một cách đánh số thỏa mãn yêu cầu bài toán Ta xét một phần của bảng hình vuông như hình sau
Theo giả thiết ta có a b n c và 4 a b n d Suy ra 4
mod 4
c d Tương tự ta có a b c d mod 4 Như vậy nếu một số a chia 4 dư m thì ô ở vị trí chéo với nó cũng chia 4 dư m.
Ta tô màu bảng ô vuông 4 x 4 bởi hai màu đen trắng như hình dưới.
Giả sử số a ở vị trí ô đen, theo lận luận trên thì các số ở vị trí ô đen khác (trừ hai ô đen ở góc) đều chia 4 dư m Dẫn đến ta có 6 ô đen chứa các số có cùng
số dư là m khi chia cho 4.
Mặt khác các số từ 1 đến 16 chỉ có 4 số có cùng số dư khi chia cho 4 (4 số chia 4 dư 0, 4 số chia 4 dư 1, 4 số chia 4 dư 2, 4 số chia 4 dư 3), không thể
có 6 số có cùng số dư khi chia cho 4 được Vậy không thể đánh số các ô vuông của bảng theo yêu cầu bài toán.
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương
Họ và tên GV ra đề: Bùi Thị Hương
SĐT: 0383219231
b
c
d