Với n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n được chia thành các ô vuông.. Một cách tô các ô vuông màu đen được gọi là “đẹp” nếu số lượng ô đen mỗi hàng và mỗi cột bất kì l
Trang 1ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB
LẦN THỨ XIV NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1(4 điểm) Cho hai dãy số ( ), ( )x n y xác định bởi n x10, y11 và
1
1
a) Chứng minh rằng ( )x không bị chặn trên n
b) Đặt u n x y n n n, 1 Tìm limn 1n 2n n
n
u u u
Câu 2 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f thoả mãn
f f x f y xy x y
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Gọi AD BE CF là các đường, , cao ( , ,D E F lần lượt thuộc các cạnh BC CA AB ); , , H là trực tâm của tam giác ABC; M N P lần, , lượt là trung điểm các cạnh BC CA AB Gọi ( ), , là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và S là tâm của đường tròn ( )
a) Chứng minh rằng các điểm , ,D E F thuộc đường tròn ( )
b) Chứng minh ba điểm , ,H O S thẳng hàng và HO
HS là một hằng số.
Câu 4 (4 điểm) Cho a và n là các số nguyên dương, a³ 2 Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của a2.6n - a6n +1 đều có dạng 6n+1k+1 với k là số nguyên dương.
Câu 5 (4 điểm) Với n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n được chia thành các ô
vuông Một cách tô các ô vuông màu đen được gọi là “đẹp” nếu số lượng ô đen mỗi hàng và mỗi cột
bất kì luôn là số chẵn; đồng thời, số các ô màu đen trên đường chéo có độ dài lớn hơn 1 bất kì là số lẻ
(đường chéo ở đây là dãy các ô liên tiếp nằm trên đường thẳng song song với một trong hai đường chéo của bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo là số lượng ô nằm trên đó).
a) Chứng minh rằng tồn tại một cách tô “đẹp” khi n 2023
b) Chứng minh rằng không tồn tại cách tô “đẹp” với mọi n là số chẵn
-HẾT -Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Giám thị 1 :……… Giám thị 2 : ………
Trang 2ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB
LẦN THỨ XIV NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN 11
(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)
Câu 1
4 điểm
Cho hai dãy số ( ), ( )x n y xác định bởi n x10, y11 và
1
1
a) Chứng minh rằng ( )x không bị chặn trên n
b) Đặt u n x y n n n, 1 Tìm limn 1n 2n n
n
u u u
a) Từ hệ thức truy hồi suy ra 2
x x x n
x x x với mọi n 1 nên ( )x là dãy tăng n
Giả sử ( )x bị chặn trên, khi đó tồn tại lim n x n L Khi đó L L L21, vô lý Do đó điều giả
sử là sai, hay ( )x không bị chặn trên n
b) Đặt 1 0 cot , 1 1 sin
cos 1
x
2 2
1
sin 2
2
Bằng quy nạp, ta có cot , sin , 1
Suy ra cos ,
2
u x y n 1
Do đó ( )u tăng và lim n u n 1
Ta có n n n 1n 2n n n n
u u u u nu
Suy ra n 1n 2n n n
u u u u n u
Từ limu và lim n 1 n n ta suy ra 1 limn 1n 2n n 1
n
u u u
Câu 2
4 điểm Tìm tất cả các hàm số :
f thoả mãn
f f x f y xy x y
Giả sử tồn tại hàm số f thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trong 1 ta thay y , ta được1
1 1 1, 2
f f x f x x Vậy f là toàn ánh.
Trang 3Giả sử tồn tại ,a b sao cho f a f b .
Trong 1 lần lượt thay y a và y b , ta được
Từ 3 và 4 , suy ra ax1bx1, x a b Vậy f là đơn ánh
Do đó f là song ánh.
Tiếp theo, ta chứng minh f xy f x f y ,x y,
Trong 1 ta thay x bởi xy và y , ta được1
1 1 1 1 1
f f xy f xy f f x f y
1 1 1
(Vì f là song ánh)
1 , , 5
f xy f f x f y x y
Trong 5 , cho y ta được 0 f x f 0 f 0 f 1 , x Từ đây suy ra nếu f 0 0 thì
f x là hàm hằng, mâu thuẫn với f đơn ánh, do đó f 0 0
Trong 2 , cho x y 0, ta được f 1 1
Trong 5 , cho x y 1 ta được f 1 2 1 f 1 1 vì f là song ánh.
Từ 5 suy ra f xy f x f y ,x y,
Cuối cùng, ta chứng minh f là hàm cộng tính.
Trong 1 thay x bởi t và y ta được1
1 1, 6
f f t t t
Trong 1 thay x bởi f t và 1 y ta được1
2 2, 7
f t f t t
Từ 7 cho t 2 ta thu được f 2 2
Ta có
Trong 8 ta thay
2
b
x và y 2a
b
( ,a b,b0), ta được
2 2
f a b f xy x f xy f x f a f b
Như vậy, f x y f x f y ,x y, ,y0
Vì f 0 0 nên ta có f x y f x f y ,x y, 9
Từ 9 , kết hợp với f là song ánh và là hàm nhân tính nên f x ax x,
Thử lại thấy thoả mãn
Câu 3
4 điểm Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( )O Gọi AD BE CF là các đường cao ( , ,, , D E F
lần lượt thuộc các cạnh BC CA AB ); , , H là trực tâm của tam giác ABC; M N P lần lượt là, , trung điểm các cạnh BC CA AB Gọi ( ), , là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP và S là tâm của đường tròn ( )
a) Chứng minh rằng các điểm , ,D E F thuộc đường tròn ( )
b) Chứng minh ba điểm , ,H O S thẳng hàng và HO
HS là một hằng số.
Trang 4G F
E
S
M
A
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
+ Xét phép vị tự ; 1
2
G
V
biến A thành M, B thành N, C thành P; do đó ; 1
2
G
V
biến tam giác ABC
thành tam giác MNP và do đó biến (O) thành ( ) .
+ Ta có PDN PAN (vì A đối xứng với D qua đường thẳng PN ), mà PMNBAC PAN (vì
1
; 2
G
V
biến tam giác ABC thành tam giác) nên PDN PMN hay D thuộc đường tròn ( )
+ Chứng minh tương tự ta có E, F cũng thuộc đường tròn ( ) (Điều phải chứng minh)
b) Ta có OM PN (vì OM BC PN BC, // ), tương tự ON PM nên O là trực tâm tam giác
MNP, suy ra ; 1
2
G
V
biến H thành O hay ta có
1
2
GO GH HO HG HG HG HO
(1)
Theo chứng minh câu 1) ta có, phép vị tự ; 1
2
G
V
biến (O) thành ( ) nên biến O thành S, do đó
1
2
GS GO HS HG HG HO HS HG HO
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2HS HO
hay HO 2
HS (hằng số) (Điều phải chứng minh).
Câu 4
4 điểm Cho
a và n là các số nguyên dương, a³ 2 Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của 2.6n 6n 1
a - a + đều có dạng 6n+1k+1 với k là số nguyên dương a3.6n 1 0 mod p
Gọi p là một ước nguyên tố của a2.6n- a6n +1, có a2.6n a6n 1 0 mod p(1)
+ Từ a2.6n - a6n + =1 a6n(a6n- 1)+1 là số lẻ nên p lẻ.
+ n * 6n là số chẵn a 6n chia 3 dư 0 hoặc 1
a2.6n- a6n +1 không chia hết cho 3 p khác 3.
+ Ta có a3.6n + =1 (a6n +1)(a2.6n- a6n +1) nên từ (1) suy ra , suy ra a3.6n 1 mod p, suy ra
1 mod
n
1 mod
n
+ Gọi h là cấp của a theo mod p
Trang 5Khi đó h| 6n+1, suy ra h có dạng h=3 2k t (k t n, £ +1)
Xảy ra các trường hợp:
- Nếu t£ n thì 3.6n =3 2n+1 nMh, suy ra a3.6n 1 mod p
Theo trên a3.6n 1 0 mod p nên suy p 1 hr p 1 1 mod
3.6
1, 1 n 1 mod
t n k n a p a | 9p 2MpÞ p=2, mâu thuẫn với p lẻ.
- Nếu t = n 1 và k£ n thì 2.6n=3 2n n+1Mh, suy ra a2.6n º 1 mod( p)
Kết hợp với (1) suy ra a6n º 2 mod( p), suy ra a 3.6n º 8 (mod p) Theo trên có nên suy ra Þ 3
p = , mâu thuẫn
- Nếu thì h=6n+ 1
Do
p a a nên (a p, )=1, áp dụng định lý Fermat ta có , suy ra Vậy tồn tại k nguyên
dương mà p1k h hay 1
6 n 1
p k
, có điều cần chứng minh
Câu 5
4 điểm Với
n là số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n được chia thành các ô vuông Một
cách tô các ô vuông màu đen được gọi là “đẹp” nếu số lượng ô đen mỗi hàng và mỗi cột bất kì
luôn là số chẵn; đồng thời, số các ô màu đen trên đường chéo có độ dài lớn hơn 1 bất kì là số lẻ
(đường chéo ở đây là dãy các ô liên tiếp nằm trên đường thẳng song song với một trong hai đường chéo của bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo là số lượng ô nằm trên đó).
a) Chứng minh rằng tồn tại một cách tô “đẹp” khi n 2023
b) Chứng minh rằng không tồn tại cách tô “đẹp” với mọi n là số chẵn
a) Ta xét cách tô màu cho bảng ô vuông kích thước lẻ tùy ý Tô màu đen tất cả các ô ở hàng trên cùng và tất cả các ô ở dàng dưới trừ cột ngoài cùng bên trái như sau Khi đó,
Ở hàng 1 và hàng n, số ô được tô là n 1 chẵn; các hàng còn lại có số ô được tô là 0
Ở cột 1, số ô được tô là 0; các cột còn lại có số ô được tô là 2
Trên mỗi đường chéo có độ dài lớn hơn 1, số ô được tô là 1
Như vậy, cách tô trên là đẹp và khi đó với n 2021 cũng thỏa mãn
b) Giả sử phản chứng rằng tồn tại cách tô màu đẹp cho bảng n n khi n chẵn Ta đánh dấu các ô theo thứ tự bởi các số 1, 2,3, 4 như hình minh họa bên dưới với n 8
Kí hiệu , , ,A B C D lần lượt là số ô được đánh dấu nằm trong các ô đánh số 1, 2,3, 4
Trang 6Ta có các nhận xét sau:
A C phải là số lẻ vì các ô được đánh dấu trên đường chéo là số lẻ và các ô được đánh dấu bởi số 1 và 3 sẽ phủ lên lẻ đường chéo
A B là số chẵn vì số các ô được đánh ở các cột bất kì đều là số chẵn
Tương tự, B C cũng phải là chẵn
Từ đó suy ra A C (A B ) ( B C ) 2 B cũng là số chẵn, mâu thuẫn Vậy nên điều giả sử là sai và không tồn tại cách đánh số đẹp trong trường hợp n chẵn.