Thptcva,Hn-Toán 10, Đề Đề Xuất Thi Hsg Dh 2023.Docx

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN HÀ NỘI (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) Đề thi gồm có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIII NĂM 2023 MÔN THI TOÁN – LỚ[.]

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

HÀ NỘI

(ĐỀ THI ĐỀ XUẤT)

Đề thi gồm có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XIII - NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN – LỚP 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f x có tập xác định và tập giá trị đều là  

i 2x f x  0;1 với mọi x 0;1 ;

ii f 2x f x     với mọi x x 0;1 

Câu 2 (4,0 điểm) Xét các số thực , , x y z thoả mãn điều kiện 0 , ,x y z2

2

x  y y  z z  x  

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không là tam giác cân Gọi H A B C lần lượt là trực tâm, o, o, o

và trung điểm của các cạnh BC CA AB của tam giác ABC Các đường thẳng lần lượt qua , ,, , A B C và

vuông góc với HA HB HC cắt các đường thẳng , ,o, o, o BC CA AB lần lượt tại A B C Chứng minh rằng1, , 1 1

ba điểm A B C thẳng hàng.1, ,1 1

Câu 4 (4,0 điểm) Tìm các số nguyên tố , x y thỏa mãn phương trình

3 3

Câu 5 (4,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng

hàng Gọi S là tập các đoạn thẳng được nối từ hai điểm nào đó trong 2023 nói trên Một đoạn thẳng trong tập S được gọi là “độc lập” khi đoạn thẳng đó không có điểm chung với bất kì đoạn thẳng nào trong S (trừ điểm chung là đầu mút) Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn nhất có thể có.

Hết

-Lưu ý: - Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên học sinh: ……… Số báo danh: ………

Họ và tên, chữ ký của giám thị: ……… ………

TRƯỜNG THPT CHU VĂN

AN

HÀ NỘI

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XIII - NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN – LỚP 10

Câu 1 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm f x có tập xác định và tập giá trị đều là  

i 2x f x  0;1 với mọi x 0;1 ;

ii f 2x f x     với mọi x x 0;1 

1

Bổ đề: Với mọi x 0;1 và với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có:

i1 n1x nf x   0;1

với mọi x 0;1 ;

i2 f  n1x nf x    nx n1  f x

- Giả sử bổ đề đúng với n = k Nghĩa là

i k1x kf x   0;1

với mọi x 0;1 ;

ii f  k1x kf x    kx k1  f x

1,0

Đặt yk1 x kf x  , ta có

và f 2y f y     y k1x kf x  

Do đó, bổ đề đúng với n = k + 1 Vậy bổ đề được chứng minh.

1,0

Giả sử tồn tại x để o f x o xo

thì n1xo  nf x o n x o f x o xo 0;1

ĐÁP ÁN ĐỀ ĐỀ XUẤT

Câu 2 (4,0 điểm) Xét các số thực , , x y z thoả mãn điều kiện 0 , ,x y z2.

2

x  y y  z z  x  

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2.

Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P không trùng với

A, B, C sao cho AM x BN, z CP,  Như vậy 0y. x y z, , 2.

1,0

Nghĩa là,

2AM AP A2CP CN C2BN BM B2AB AC A

1,0

2  2  2  7

2

1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC không là tam giác cân Gọi H A B C lần lượt là trực tâm, o, o, o

và trung điểm của các cạnh BC CA AB của tam giác ABC Các đường thẳng lần lượt qua , ,, , A B C và

vuông góc với HA HB HC cắt các đường thẳng , ,o, o, o BC CA AB lần lượt tại A B C Chứng minh rằng1, , 1 1

ba điểm A B C thẳng hàng.1, ,1 1

Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh , , A B C của tam

giác ABC Do tam giác ABC không là tam giác cân nên M Ao. Qua H kẻ tia

Hx song song với BC (như hình vẽ); ta có chùm Hx HA HB HC, o, , 

là chùm điều hòa

1,0

Xét phép quay H;90o

biến chùm Hx HA HB HC, o, , 

thành một chùm với các tia tương ứng song song với các tia của chùm A M A C B , , ,1 

và chùm đó cũng là chùm điều hòa, và ta có

1 1

A C  MC

1,0

Tương tự, ta cũng có

1 1

;

B A NA

1 1

Hơn nữa, do AM, BN, CP đồng quy tại H nên

1

A C B A C B   MC NA PB  

Áp dụng định lý Menelaus, suy ra ba điểm A B C thẳng hàng.1, ,1 1

1,0

Câu 4 (4,0 điểm) Tìm các số nguyên tố , x y thỏa mãn phương trình

3 3

Nhận xét 3 m  k k3mk131

Số các số m thỏa mãn điều kiện trên là k13 k3 3k23k1

1,0

Vậy, phương trình đã cho tương đương với

1

1

x k k









Do Sk có cùng tính chẵn, lẻ với k nên nếu x là số nguyên tố lẻ thì

1

1

x k k









là một số chẵn lớn hơn 2 nên y không là số nguyên tố

1,0

Câu 5 (4,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2023 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng

hàng Gọi S là tập các đoạn thẳng được nối từ hai điểm nào đó trong 2023 nói trên Một đoạn thẳng trong tập S được gọi là “độc lập” khi đoạn thẳng đó không có điểm chung với bất kì đoạn thẳng nào trong S (trừ điểm chung là đầu mút) Tìm số đoạn thẳng “độc lập” lớn nhất có thể có.

4,0 đ

Xét một đa giác lồi H có k đỉnh (với 3 k 2023) được lấy từ 2023 điểm đã

cho và chứa tất cả các điểm còn lại

Ta thấy rằng, khi số đoạn thẳng “độc lập” nhiều nhất thì đa giác H sẽ được

chia thành các tam giác nhỏ không có điểm trong chung

1,0

Số tam giác nhỏ nói trên bằng

Vậy số đoạn thẳng “độc lập” vẽ được bằng

2

2

1,0

Do 3 k 2023 nên S 2 6066 3 6063. 

Vậy số đoạn thẳng “độc lập” nhiều nhất là 6063 đạt được khi đa giác lồi là

một tam giác

1,0