Toán 10 Duyên Hải - Thpt Khoa Học Giáo Dục.docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRƯỜNG THPT KHOA HỌC GIÁO DỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2022 2023 Môn thi Toán 10 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đ[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRƯỜNG THPT KHOA HỌC GIÁO DỤC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán 10

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho 2023 n chia hết 1

cho n2

Câu 2: Giải phương trình

3 6 2 13 12 4 33 4

x  x  x  x

Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm ( ) O , có đường

cao AH và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường

tròn ( )O tại điểm thứ hai là P Gọi A là điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng PA

cắt các đường thẳng AH BC theo thứ tự tại Q và K ,

a) Chứng minh rằng tứ giác QHIK nội tiếp đường tròn.

b) Đường thẳng A I cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là M Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AM và BC Chứng minh rằng nếu 2BC AB AC thì I là trọng

tâm của tam giác AKN

Câu 4: Với , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca   3

Chứng minh rằng

1 3

b  bc c  c  ca a  a  ab b 

Có 2023 người xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1011 người sao cho không có

hai người liên tiếp trên hàng dọc đó được chọn?

-

HẾT -(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Người ra đề: Nguyễn Anh Tuấn

Số điện thoại: 0336171443

Mail: tuannguyenqbu@gmail.com

Mã đề thi: ……

Đề thi có: 01 trang

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV, NĂM HỌC 2022 – 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: Toán 10

(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)

Câu 1: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho 2023n1chia hết cho 2

n

Lời giải:

Đặt S là tập hợp tất cả các số nguyên dương n sao cho 2023n1chia hết cho n2 Hiển nhiên

1S Giả sử phản chứng rằng S là một tập hữu hạn Gọi m là số nguyên dương lớn nhất trong S Vì 2023m1

chia hết cho m2nên tồn tại số nguyên dương k sao cho 2023m 1 m k2



Dễ thấy k 1 do đó tồn tại một ước nguyên tố p của k Đặt l mp ,ta sẽ chứng minh l S

Thật vậy, ta thấy 2023m 1(mod k), nói riêng ta suy ra 2023m 1

 (mod p) Điều này dẫn

đến:

( 1) ( 2)

2023m p 2023m p 2023 1 p 0

      (mod p).

Nói cách khác 2023m p( 1)2023m p( 2)  2023 1  chia hết chop Mặt khác

2023 1 2023 1 (2023 1)(2023 2023 2023 1)

(2023 2023 2023 1)

m k

Kết hợp các điều trên, với chú ý k chia hết cho p, ta nhận được 2023l 1

 chia hết cho

2 2 2

m p  l Nghĩa là, l S Mà hiển nhiênl mp m  ,do đó ta nhận được mâu thuẫn Điều này chứng tỏ rằng Sphải là một tập vô hạn và do đó bài toán được chứng minh.

Câu 2: Giải phương trình

3 6 2 13 12 4 33 4

Điều kiện:

4 3

x 

3

ta được hệ phương trình

3

3







Trừ (1) cho (2)

x y x  x y  y    xy

Thay (3) vào (2) ta được

3

3 2

2

1( )

4( )





  



Vậy phương trình có 1 nghiệm x 1

Câu 3: Cho tam giác nhọn ABCkhông cân nội tiếp đường tròn tâm ( )O , có đường cao AHvà

I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC Đường thẳng AI cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là P Gọi A là điểm đối xứng với Aqua O Đường thẳng PAcắt các đường

thẳng AH BC, theo thứ tự tại Q và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác QHIK nội tiếp đường tròn

b) Đường thẳng A I cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai là M Gọi N là giao điểm của hai

đường thẳng AM và BC Chứng minh rằng nếu 2BC AB AC  thì I là trọng tâm của tam

giác AKN.

Lời giải

a) Ta có:  ABC AA C     HAI OAI   

Gọi AP BC  L

HKQ  HQK HAP LAA Nên tứ giác

ALA K  nội tiếp  PA PK PL PA 

Mà: PL PA PC.  2 (Do PCL vàPAC đồng

dạng)

Do I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên

Nên: PL PA PI  2 QIK 90o

Vậy tứ giác QHIK nội tiếp

b) Vì tứ giác QHIK nội tiếp nên IHK IQK IA Q IAM    

Suy ra tứ giác AIHN nội tiếp   AIN  90o Gọi T là trung điểm của NA (1)

Ta có: TIA TAI  IQK PIK   3 điểm T I K, , thẳng hàng

Lại có: ;

IL BL LC AC  BC AB AC

Mà

1

(2)

Xét tam giác ANL với cát tuyến TIK, theo định lý Menelaus ta có: . . 1

TA KN IL

TN KL IA (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: KN 2KL Hay L là trung điểm của KN

Vậy I là trọng tâm của tam giác AKN.

Câu 4: Với a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  3

Chứng minh rằng

1 3

b  bc c  c  ca a  a  ab b 

Lời giải Gọi vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là P.

b c

b  bc c  b  bc c  b c  b c  

c a

a b

a  ab b  

Từ đó, suy ra

1

3

b c c a a b

hay

1

3

P

b c c a a b

  (1) Mặt khác, từ bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có

2

b c c a a b

2

3

Kết hợp với bất đẳng thức    

2

a b c   ab bc ca    hay a b c  3

Từ đó

1

 

.1

hay

1 3

b  bc c  c  ca a  a  ab b  và ta có điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  1

Câu 5: Có 2023 người xếp thành hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 1011 người sao

cho không có hai người liên tiếp trên hàng dọc đó được chọn?

Lời giải Ta đánh số 2023 người bằng các số thứ tự 1, 2, , 2023. Một cách chọn thích hợp chính là bộ số 1   a1 a2   a1011 2023 thỏa mãn điều kiện ai1 ai  2. Vậy ta cần tìm

số phần tử của:

Xét ánh xạ

1 2 1011 1 2 1011

( , , , ) ( , , , )

Thì rõ ràng ta có

1 b1   a1 1

2 bi1 bi  ( ai1 ( 1) 1) ( i    a ii   1) ai1 ai  1 0

3 b1011 a1011 1010 1013 

Suy ra ( , , , b b1 2 b1011)là phần tử của tập hợp

( , , , 1 2 1011 ) 1 1 2 1011 1013 

Dễ thấy ánh xạ f là song ánh Vậy

1011

1013 512578

A B C 