42 toan 9 hsg 22 23 ninh thuan

1 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa cả hai tính chất sau: a Chữ số cuối cùng bằng 6.. b Nếu bỏ chữ số cuối cùng ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận được gấp 4 lầ

Tỉnh Ninh Thuận

Câu 1.

1) Tính tổng: A   1 2 22 23  2 2022 22023

2) Chứng minh rằng số:

3

3

1

7 5 2

7 5 2

 là nghiệm của phương trình:

Câu 2.

1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa cả hai tính chất sau:

a) Chữ số cuối cùng bằng 6

b) Nếu bỏ chữ số cuối cùng ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận

được gấp 4 lần số ban đầu

2) Giải phương trình: 2x2  5x2 5 x2  x 20 x1

Câu 3.

1) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 ab bc ac  với mọi , ,a b c

2) Cho , ,x y z thỏa xyz  và 0

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

P

x y z



Câu 4.

Cho tam giác ABC đều cạnh a với đường cao AH M là một điểm bất

kỳ trên cạnh BC Vẽ ME AB MF, AC Gọi O là trung điểm của AM

1) Chứng minh rằng 5 điểm , , ,A E H M F cùng nằm trên một đường tròn, Tứ giác , OEHF là

hình gì?

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi M di động trên cạnh BC

-Hết -9

Học sinh giỏi

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

1) Tính tổng: A   1 2 22 23  2 2022 22023

2) Chứng minh rằng số:

3

3

1

7 5 2

7 5 2

 là nghiệm của phương trình:

Lời giải 1) Tính tổng: A   1 2 22 23  2 2022 22023

2024

Vậy A 22024 1

2) Chứng minh rằng số:

3

3

1

7 5 2

7 5 2

 là nghiệm của phương trình:

Ta có:

3

3 3

3

2 1





Với x 2 thì x3 3x 14 2 3 3.2 14 8 6 14 0    

Vậy:

3

3

1

7 5 2

7 5 2

 là nghiệm của phương trình: x3 3x 14 0

Câu 2.

1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa cả hai tính chất sau:

a) Chữ số cuối cùng bằng 6

b) Nếu bỏ chữ số cuối cùng ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận

được gấp 4 lần số ban đầu

2) Giải phương trình: 2x2  5x2 5 x2  x 20 x1

Lời giải 1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa cả hai tính chất sau:

a) Chữ số cuối cùng bằng 6

b) Nếu bỏ chữ số cuối cùng ấy và thêm chữ số 6 vào trước các chữ số còn lại thì số mới nhận

được gấp 4 lần số ban đầu

Gọi số cần tìm là 6a , trong đó a là số tự nhiên có n chữ số Theo đề bài ta có:

6a4 6a  6.10n a4 10a6  6.10n a40a24 6.10n  24 39 a

2.10 8 13

n

Với

2.10 8 12 1

(Loại)

Với

2 2.10 8 192 2

(Loại)

Với

3 2.10 8 1992 3

(Loại)

Với

4 2.10 8 19992 4

(Loại)

Với

5 2.10 8 199992

(Thỏa mãn)

Vì số cần tìm là nhỏ nhất nên số đó là 153846

2) Giải phương trình: 2x2  5x2 5 x2  x 20 x1

(1)

x

x





 1  2x2  5x2 5 x 5 x1 x4

2 x 4x 5 3 x 4 5 x 4x 5 x 4

(2) Đặt: a x2  4x 5; b  ; x 4 ab  , ta có:0

 2  2a3b5 ab

(để phương trình có nghiệm thì 2a3b0)

4a 12ab 9b 25ab

4a 13ab 9b 0

4a 4ab 9ab 9b 0

a b 4a 9b 0

a b





Với

2

(thỏa mãn)

Với 4a9b 4x2  4x 5 9x4  4x2  25x 56 0  4x7 x 8 0

7 4 8

x x















 (thỏa mãn)

Vậy phương trình có tập nghiệm là

7

;8 4

S  

 

Câu 3.

1) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 ab bc ac  với mọi , ,a b c

2) Cho , ,x y z thỏa xyz  và 0

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

P

x y z



Lời giải 1) Chứng minh rằng: a2 b2 c2 ab bc ac  với mọi , ,a b c

Với mọi , ,a b c xét hiệu

2

 2  2  2

1

0

  với mọi , ,a b c  a2 b2 c2 ab bc ca  với mọi , ,

a b c

Dấu “ ” xảy ra khi a b c 

2) Cho , ,x y z thỏa xyz  và 0

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3

P

x y z



Với , ,x y z thỏa xyz  và 0

3

x y z  , ta có:

P

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

3

Tương tự, ta có:

3 3

3 3

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều trên, ta có:

 2 2 2

P

Vậy MinP 3 khi x   y z 1

Câu 4.

Cho tam giác ABC đều cạnh a với đường cao AH M là một điểm bất

kỳ trên cạnh BC Vẽ ME AB MF, AC Gọi O là trung điểm của AM

1) Chứng minh rằng 5 điểm , , ,A E H M F cùng nằm trên một đường tròn, Tứ giác , OEHF là

hình gì?

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi M di động trên cạnh BC

Lời giải

F E

H

A

1) Chứng minh rằng 5 điểm , , ,A E H M F cùng nằm trên một đường tròn, Tứ giác , OEHF là

hình gì?

Theo bài ra ta có: AEM AFM AHM 90 nên 5 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính

AM , có tâm là trung điểm O của AM

ABC

 đều cạnh A có AH là đường cao nên cũng là phân giác

30

BAC

;

OEH

 có OE OH (bán kính của  O

); EOH 2.EAH 2.30 60 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn EH )  OEH đều  OE OH EH;

Tương tự: OFH có OF OH (bán kính của  O ); FOH 2.FAH 2.30 60 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn FH )  OFH đều  OF OH FH;

Tứ giác OEHF có: OE OF HE HFOH

nên là hình thoi

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác OEHF theo a khi M di động trên cạnh BC.

Ta có OHM vuông tại H có HO là trung tuyến 2

AM OH

OEH

 đều có cạnh là

2 3 2 3

OEH

;

OFH

 đều có cạnh là

2 3 2 3

OFH

; Diện tích tứ giác OEHF là:

2 3 8

OEHF OEH OFH

AM

; Lại có

2 3 8

OEHF

AH

;

Mà ABC đều có AH là đường cao nên

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của tứ giác OEHF bằng

23 3 32

a

đạt được khi AM AH hạy M là trung điểm

của BC