7 ôn tập toán

Ta cũng làm tương tự với căn thức Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 5... Sử dụng casio, tìm được nghiệm duy nhất của phương trình là 1 2 x  nên dựa vào điể

Trang 1

Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS Lê Văn Đoàn

II Sử dụng bất đẳng thức cổ điển để giải phương trình vô tỷ

1 Ý tưởng giải bài toán

 Biến đổi phương trình về: ( )f x  ( a const a,  hoặc a h x ( )), mà trong

đó ta dùng bất đẳng thức chứng minh được kết quả ( )f x  hoặca

( )

f x  Lúc đó, nghiệm là tất cả các giá trị x thỏa mãn dấu " " a  xảy ra

 Biến đổi phương trình về dạng ( )f x g x( ), mà trong đó ta dùng BĐT

chứng minh được: ( ) hay ( ) ,

♦ Lưu ý Thông thường, tôi sẽ sử dụng casio để đi tìm nghiệm của phương

trình (điểm rơi) Dựa vào điểm rơi này để ghép hợp lý khi sử dụng BĐT

 Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Cauchy – Schwarz

Trang 2

dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc Cauchy – Schwarz Nếu sử dụng Cauchy, thì chỉ

số căn thức bấy nhiêu thì trong căn sẽ có bấy nhiêu hạng tử tích số bằng nhau

Đối với căn thức x  4 có một hạng tử, cần thêm một hạng tử hằng số dạng

.( 4)

m x  với m x 4 5 1 (do dự đoán được nghiệm duy nhất x  bằng5

casio và phù hợp với dấu " " xảy ra ở vế phải) Ta cũng làm tương tự với căn thức

Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 5

 Lời giải 2 Sử dụng Cauchy – Schwarz dạng 2 2 2 2

Trang 3

 Phân tích Do VT( ) 16x4 5 0,    nên phương trình có nghiệm thì cần x ,

điều kiện kéo theo là 3 3 3 2

4x x x x(4 1)0 x0. Sử dụng casio, tìm được

nghiệm duy nhất của phương trình là 1

2

x  nên dựa vào điểm rơi này để tìm trọng số

hợp lý sao cho khi áp dụng Cauchy đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra tại 1

đó có lời giải chi tiết như sau:

 Lời giải Điều kiện: x 0

căn thức sẽ có 4 hạng tử tích số bằng nhau Tức có 4 4

8 4x4 (4x4).16.16.16 và

có lời giải chi tiết như sau:

 Lời giải Điều kiện: 4 x4 0  x1

Trang 4

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848

Phân tích Sử dụng casio, tìm được phương trình có nghiệm duy nhất x  Hình0

thức bài toán khó cho việc sử dụng liên hợp, hoặc hàm số nên ta sẽ nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Nhưng nếu sử dụng Cauchy thì biểu thức trong căn thức (bậc ba) phải dương Với điều kiện 1 2 0 1

áp dụng BĐT Cauchy với điểm rơi là x  và các hạng tử tích trong căn thức bằng0

nhau nên a b  1 3.0 1,  c 1 2.0 1. Từ những định hướng này, ta có lời giải chi tiết như sau:

 Lời giải Điều kiện: 1 1

Từ (1), (2), suy ra:

2 3

Phân tích Sử dụng casio, nhận thấy phương trình có nghiệm duy nhất x  Bài1

toán có dạng A B  đa thức, ta hoàn toàn có thể giải bằng bất đẳng thức Cauchy cho từng căn thức sau đó cộng lại và dựa vào đó chứng minh vế còn lại hoặc sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Hiển nhiên cả 2 cách cần dựa vào điểm rơi

Trang 5

trình ( ) là các giá trị làm cho dấu " " trong (3), (4) đồng thời xảy ra1

x

 Lời giải 2 Sử dụng Cauchy – Schwarch dạng a x b y   (a2b2)(x2y2)

x

x x

Trang 6

Suy ra: (1) (2) (3)   x3 3x 1 4 5 x12 (4)

Từ ( ), (4), suy ra nghiệm phương trình là các giá trị làm cho dấu đẳng thức trong (1), (2), (3) đồng thời xảy ra  x1

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

 Lời giải 2 Cauchy – Chwarz dạng 2 2 2 2 2 2

Phân tích Nhận thấy x  là một nghiệm của phương trình và vế trái có nhiều1

căn phức tạp nên ta sẽ nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz bộ ba

số để đánh giá VTf x( ). Rồi dựa vào ( ) f x và điểm rơi x  để tách ghép vế phải1

nhằm chứng minh VPf x( ) bằng bất đẳng thức Cauchy dạng a b 2 ab.

 Lời giải Điều kiện:

2 2

30

nghiệm của phương trình đã cho là tất cả các giá trị làm cho dấu đẳng thức

trong (1), (2) đồng thời xảy ra

Trang 7

x      Từ đó có lời giải như sau:

 Lời giải Điều kiện: x 1

11

Trang 8

 Lời giải Điều kiện: 2 x 4.

    ( )

Phân tích Sử dụng casio, tìm được phương trình có nghiệm duy nhất x  Do đó2

ta cần thêm trọng số để áp dụng được bất đẳng thức Cauchy đảm bảo dấu " " xảy ra tại vị trí x  Với 2 8 2 (8 2) 1 1 (8 2) 4

 Lời giải Điều kiện: 2 2 2

x x

Trang 9

2

2 2

2

x

x x

x

x x

phương trình ( ) là các giá trị làm cho dấu " " trong (3), (4) xảy ra  x 2

 Lời giải Điều kiện: 4 4 4

1

112

Trang 10

Phân tích Sử dụng casio, tìm được nghiệm duy nhất của phương trình là x  Vế1.

trái có dạng phân số với tử số dạng căn nên sẽ nghĩ đến việc áp dụng BĐT Cauchy dạng A Bf x( ). Nên cần đánh giá mẫu số ?  để cả phân số cùng dấu  và biểu thức mẫu có chứa 2 2 2 2 2

2(x 1) (1 1 )(x 1 ) , gợi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Chwarz viết ngược dạng: 2 2 2 2

(a b )(x y )a x b y  Kiểm tra lại thấy dấu " " xảy ra khi x  phù hợp với dự đoán bằng casio nên hướng đi là đúng.1,

 Lời giải Điều kiện: 0 x 1

Trang 11

( ) là các giá trị làm cho dấu " " trong (3), (4) đồng thời xảy ra  x1

Từ (1), (2), suy ra nghiệm phương trình tại vị trí dấu " " ở (1), (2)  x1

Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

Trang 12

12

Phân tích Để ý các biểu thức trong và ngoài căn có thể đưa về dạng hằng đẳng thức

dạng a22ab b 2 (a b )2 và kết hợp với dự đoán nghiệm duy nhất 0 x 1

bằng casio nên sẽ có lời giải chi tiết như sau:

 Lời giải Điều kiện: 2

Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Trang 13

Ví dụ 249 Giải phương trình: 4 x22.3x4 4x34x2 (x1)2 1 x ( )

Đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 lần 2 – THPT Chuyên Đại học Vinh

 Lời giải Điều kiện: 2

Dấu đẳng thức trong (4) xảy ra khi và chỉ khi x  hoặc 0 x 2

Suy ra nghiệm của phương trình (1) là các giá trị làm cho dấu đẳng thức trong (2) và trong (4) đồng thời xảy ra x0, x2

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình là x2, x0, x2

 Các ví dụ sử dụng bất đẳng thức véctơ

Ví dụ 250 Giải phương trình: 2 2

x  x  x  x  ( )

Phân tích Các biểu thức trong căn thức đưa được về dạng bình phương, nhưng ta sẽ

không làm được như ví dụ trên do điểm rơi của bài toán là 1

5

x  khi dò bằng casio Nhưng để ý, biểu thức trong căn thức có dạng tổng của 2 bình phương (môđun của véctơ) gợi ta sử dụng bất đẳng thức véctơ dạng: u v  u v.

 Lời giải Ta có: 2 2 2 2

( )  (x 1) 2  (x1) 3  29 (1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai véctơ , u(1 x; 2), v(x1; 3)

Trang 14

 

thì x sẽ triệt tiêu phù hợp với vế phải là hằng số và có lời giải như sau:

 Lời giải Tập xác định: D 

( )  (x 1) 2  (x 3) 1  5 (1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai véctơ: , u(x 1; 2), v(x 3;1)

Trang 15

Trang 16

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x 1.

Nhận xét Qua các ví dụ, nhận thấy dấu hiệu nhận dạng giải phương trình vô tỷ bằng

(ax b )   ( ). Lúc đó, ta cần chọn tọa độ véctơ dựa vào ( )  theo công thức tính môđun véctơ hợp lý.

Ví dụ 255 Giải phương trình: 2

x x   x x  x ( )

Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Bình Phú – Tp HCM Phân tích VTx 3x2 1 4  x làm ta nhớ đến "hoành nhân hoành + tung nhân tung", nghĩa là tích hai véctơ u vx 3x2 1 4  x

và có lời giải như sau:

 Lời giải Điều kiện: 2 4

3 x

2( )  x 3x2 1 4  x x 1 2x6 (1)

Chọn:

2

1( ;1)

Trang 17

 Lời giải Điều kiện: 2 3 x0 Chọn: u ( x;1), v( 2 3 ; 1 x  x)

Suy ra:

21

Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất: x 2

III Đưa về tổng các số không âm hoặc dạng n n

Dấu hiện nhận dạng: Hệ số trước căn thức thường là những số chẵn.

1 Đưa về tổng các số không âm

Trang 18

Dùng các biến đổi hoặc tách ghép (chủ yếu là hằng đẳng thức) để đưa

về dạng tổng các số không âm 2 2

Phân tích Nhận thấy hệ số trước dấu căn là số chẵn nên có rất nhiều khả năng đưa

được về dạng tổng hai số không âm bằng hằng đẳng thức: a22ab b 2(a b )2 và khi phân tích nên xuất phát từ 2 . a b để thêm bớt dễ dàng hơn.

 Lời giải Điều kiện: x  1

x x

Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

 Lời giải 2 Liên hợp khi sử dụng casio tìm được nghiệm duy nhất x 1.( )  4( x3 2) 2( 3 2   x 1) ( x 1) 0

Trang 19

hay VT  nên phương trình ( )( )i 2 i vô nghiệm.

Nhận xét Qua hai lời giải, nhận thấy lời giải 1 ngắn gọn và dễ dàng hơn Do đó khi

bắt gặp phương trình vô tỷ mà hệ số trước căn thức là những số chẵn, bạn hãy ưu tiên phương pháp đưa về tổng các số không âm hoặc dạng n n

Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1

Bình luận Đây là một bài toán khá đơn giản nếu nhìn nhận với góc độ tổng các số

không âm với dấu hiệu là có hằng số chẵn trước căn thức Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, khi tôi đưa bài toán này ra, đa số các bạn học sinh đều sử dụng liên hợp do

đã quen tay với thao tác casio và tìm được nghiệm duy nhất x  Hiển nhiên sẽ gặp1

nhiều rắc rối cho dù đó là liên hợp thông thường hay truy ngược dấu ?!

Trang 21

4 4

3 2

4 4



 2

x x

x

x x





Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 1

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định

 Lời giải Điều kiện: 2 x 4

Trang 23

không chọn nhân lượng liên hợp Phép biến đổi tương đương về dạng tổng hai số không âm cũng không tồn tại và hướng giải quyết kế đến là đưa về dạng n n

a b với

2

n  bằng cách tách ghép hằng đẳng thức và có lời giải sau:

53

 sau khi chuyển vế nên ta phân tích thành hằng đẳng thức và có lời giải sau:

Phân tích Phương trình có đa thức bậc ba và biểu thức chứa căn có thể viết về dạng

(x1) x2[( x2)  1] x2( x2)  x2. Do

đó, ta tách ghép để đưa ( )  về dạng n n

a b với n  và có lời giải sau:3

 Lời giải Điều kiện: x 2

Trang 24

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng

Trang 25

(x  )

Tiêu đề	7 ôn tập toán
Tác giả	ThS. Lê Văn Đoàn
Trường học	Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài viết
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	2,07 MB