Chương: Sử dụng Maple pot

Cở sở của không gian con • basisS: Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các vectơ của tập hợp S.. • basisA, 'rowspace': Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các vectơ dòng của ma trận A.. Kết

Chương III - Sử dụng Maple

1 Tạo vectơ Để tạo ra vectơ v = (x1, x2, , xn), ta sử dụng một trong các lệnh sau:

> v:= vector([x1,x2 , xn]);

> v:= vector(n,[x1,x2, ,xn]);

Ngoài ra

• vector(n,element): Tạo ra vectơ n chiều với các phần tử có giá trị là ele-ment

• randvector(n): Tạo ngẫu nhiên vectơ n chiều với các phần tử có giá trị nguyên nằm trong [−99, 99].

• v[i]: Xác định thành phần thứ i của vectơ v.

>u := vector(4, [1, 2, -1, 2]);

u := [1 2 − 1 2]

>v:= vector(4, 2);

v := [2 2 2 2]

>u[3];

−1

2 Các phép toán trên vectơ

• u+v: Cộng hai vectơ u và v.

• c*v: Nhân c với vectơ v.

• dotprod(u,v): Tính tích vô hướng hai vectơ u và v.

Lưu ý: Để in ra giá trị của vectơ v ta dùng lệnh evalm(v)

>u := vector(4,[1, 2, -1, 2]);

u := [1 2 − 1 2]

>v := vector(4,[2, 3, 1, -2]);

[2 3 1 − 2]

>evalm(3*u);

[3 6 − 3 6]

[3 5 0 0]

>dotprod(u,v);

3

Ví dụ 1 Xét xem các vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

a) (0, 1, 1), (1, 2, 1) và (1, 5, 3);

b) (0, 3, 3, 6), (2, 2, 0, 2) và (−3, 0, 3, 3).

>A:= matrix(3,3,[0,1,1,1,2,1,1,5,3]);

A :=









0 1 1

1 2 1

1 5 3









>rank(A);

3

>B:=matrix(3,4,[0,3,3,6,2,2,0,2,-3,0,3,3]);

B :=









0 3 3 6

2 2 0 2

−3 0 3 3









>rank(B);

2

Dựa vào kết quả tính toán, chúng ta so sánh giữa số vectơ và hạng của ma trận ta có :

- Các vectơ (0, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 5, 3) độc lập tuyến.

- Các vectơ (0, 3, 3, 6), (2, 2, 0, 2) và (−3, 0, 3, 3) phụ thuộc tuyến tính.

3 Cở sở của không gian con

• basis(S): Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các vectơ của tập hợp S Kết quả trả về là các vectơ thuộc S.

• basis(A, 'rowspace'): Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các vectơ dòng

của ma trận A Kết quả trả về là danh sách các vectơ dòng của ma trận A.

• basis(A, 'colspace'): Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các vectơ cột của

ma trận A Kết quả trả về là danh sách các vectơ cột của ma trận A.

• rowspan(A): Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các dòng của ma trận A Kết quả trả về là các vectơ khác 0 của ma trận dạng bậc thang của A.

• rowspace(A): Tìm cơ sở của không gian sinh bởi các dòng của ma trận A Kết quả trả về là các vectơ khác 0 của ma trận dạng bậc thang rút gọn của A.

• nullspace(A): Tìm cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến

tính AX = 0.

• sumbasis(S1, S2, ): Tìm cơ sở của không gian tổng các không gian sinh

bởi các tập hợp S1, S2,

Ví dụ 2 Trong không gian vectơ K4 xét các vectơ sau đây:

u1 = (1, 2, 0, 1), u2 = (2, 1, 3, 1), u3 = (7, 8, 9, 5),

u4 = (1, 2, 1, 0), u5 = (2, −1, 0, 1), u6= (−1, 1, 1, 1),

u7 = (1, 1, 1, 1).

Đặt U = hu1, u2, u3i, W = hu4, u5, u6, u7i. Hãy tìm một cơ sở cho mỗi không gian

con U, U + W.

>u1:= vector(4,[1,2,0,1]): #Nhập 7 vectơ

u2:= vector(4,[2,1,3,1]):

u3:= vector(4,[7,8,9,5]):

u4:= vector(4,[1,2,1,0]):

u5:= vector(4,[2,-1,0,1]):

u6:= vector(4,[-1,1,1,1]):

u7:= vector(4,[1,1,1,1]): >A := matrix([u1,u2,u3]); #Lập ma trận A từ u1, u2, u3

A :=









1 2 0 1

2 1 3 1

7 8 9 5









>rowspan(A);

{[0, −3, 3, −1], [0, 0, −9, 0], [1, 2, 0, 1]}

>B := matrix([u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7]):

>rowspan(B);

{[1, 2, 0, 1], [0, −3, 3, −1], [0, 0, −9, 0], [0, 0, 0, 9]}

Từ kết quả tính toán, ta có:

• Không gian U có cơ sở



(0, −3, 3, −1), (0, 0, −9, 0), (1, 2, 0, 1)

.

• Không gian tổng U + W có cơ sở



(1, 2, 0, 1), (0, −3, 3, −1), (0, 0, −9, 0), (0, 0, 0, 9)

.

Ví dụ 3 Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính sau:







4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0.

>A := matrix(3,4,[2,-4,5,3,3,-6,4,2,4,-8,17, 11]);









4 −8 17 11









>nullspace(A); 

[2, 1, 0, 0], [ −2

5 , 0, 1,

−7

5 ]



Vậy không gian nghiệm có số chiều là 2, và có cơ sở:

n

(2, 1, 0, 0),



− 2

5, 0, 1, −

7 5

o

.

4 Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở

Bài toán Cho V là không gian con của Kn, B := {u1, u2, , um} là cơ sở của V và u ∈ V Tính [u] B

Giải Tọa độ của u trong B chính là nghiệm của hệ phương trình (u >

1 u >

2 u >

m| u >)

Trong Maple, để tìm [u] B ta dùng các lệnh sau:

>B:=matrix([u1,u2, ,un]);

>B:=transpose(B);

>linsolve(B,u);

Ngoài ra, nếu B := {u1, u2, , um} và B 0 := {v1, v2, , vm} là hai cơ sở của V thì việc tìm ma trận (B → B 0)được thực hiện thông qua việc tính [v1]B , [v2]B [vm]B

Ví dụ 4 Trong K4, cho u1 = (1, 1, −1, 0), u2 = (−2, 3, 4, 1), u3 = (−1, 4, 3, 2), v1 =

(1, 1, −1, −1), v2 = (2, 7, 0, 3), v3 = (2, 7, 0, 2) Đặt A = {u1, u2, u3} , B = {v1, v2, v3}

a) Kiểm tra A và B là hai cơ sở của một không gian vectơ W

b) Tìm [u] B nếu biết [u] A =



 51 4





c) Tính (B → B 0)

>u1 := vector(4,[1,1,-1,0]): #Nhập 6 vectơ

u2 := vector(4,[-2,3,4,1]):

u3 := vector(4,[-1,4,3,2]):

v1 := vector(4,[1,1,-1,-1]):

v2 := vector(4,[2,7,0,3]):

v3 := vector(4,[2,7,0,2]):

>A:=matrix([u1,u2,u3]);



 −2 3 1 1 −1 04 1





>rank(A);

3

>B := matrix([v1,v2,v3]):

>equal(gaussjord(A),gaussjord(B));

true

Từ kết quả trên ta được r(A) = 3 nên A độc lập tuyến tính, và do đó A là cơ sở của W Ma trận A và ma trận B có cùng ma trận rút gọn nên không gian dòng của

B chính là không gian dòng của A.

>A:=transpose(A); 











1 −2 −1













>B := transpose(B);

B :=













1 2 2

2 7 7

1 0 0

0 3 2













>uA := vector(3,[5,1,4]);

uA := [5 1 4]

>u := evalm(A.uA)

u := [−1 24 11 9]

uB := [−11 − 12 17]

Từ kết quả tính toán trên ta có: [u] B =



 −11 −12

17





> v1A:= linsolve(A,v1):#Tính các tọa độ vi theo A

v2A:= linsolve(A,v2):

v3A:= linsolve(A,v3):

>P := matrix([v1A,v2A,v3A]):

P := transpose(P);

P :=









1 −1 0









Từ kết quả tính toán trên ta có:

P = (B → B 0) =









1 −1 0







.