Động lực học chất điểm

Hãy tìm tọa độ điểm mà tại đó hạt bay ra khỏi hình vuông, thời gian hạt chuyển động trong hình vuông, và vẽ quỹ đạo chuyển động của hạt.. Hãy tìm tọa độ các điểm mà quỹ đạo hạt giao với

Động lực học chất điểm

1.10 Chuyển động trong ô vuông (Belarus)

1) Một hạt khối lượng m chuyển động với vận tốc v dọc theo trục Ox vào một vùng hình vuông cạnh l tại0

vị trí có tọa độ x  , 0 0 0

2

l

y  Các trục tọa độ trùng với ranh giới của hình vuông (hình 1.10a) Trong

vùng này, lực F tác dụng lên hạt có hướng dọc theo trục Ox Độ lớn vận tốc ban đầu của hạt là 0

l v



 ,

còn độ lớn của lực F 2ml2



 (trong hai công thức này,  là một tham số đã biết)

Hãy tìm tọa độ điểm mà tại đó hạt bay ra khỏi hình vuông, thời gian hạt chuyển động trong hình vuông, và vẽ quỹ đạo chuyển động của hạt

2) Làm lại câu trên với tường hợp lực F hướng dọc theo trục Oy, thay vì theo trục Ox như trước (hình

1.10b), còn độ lớn không thay đổi F 2ml2



3) Vẫn câu hỏi và giả thiết như hai câu trên, nhưng bây giờ lực F luôn luôn hướng vuông góc với véctơ vận tốc (hình 1.10c) và có độ lớn

2 0

4mv F

l

4) Vẫn giữ điều kiện về vận tốc đầu của hạt như các phần trước nhưng bây giờ lực F có độ lớn không đổi

2

0

mv

F

l

 , còn hướng thì thay đổi liên tục theo quy luật 2v0 t

l

  , trong đó  là góc tạo bởi phương

của vận tốc và chiều âm của trục Oy (hình 1.10d).

Hãy tìm tọa độ các điểm mà quỹ đạo hạt giao với ranh giới của vùng, xác định các thời điểm xảy ra giao nhau, và vẽ quỹ đạo chuyển động của hạt

1.12 Quyển sổ trên hình lăng trụ (Bulgaria)

Trên một mặt phẳng nhẵn người ta đặt một chiếc nêm hình

lăng trụ khối lượng M, các mặt bên tạo thành các mặt nhẵn

nghiêng với các góc so với phương ngang như trên hình 1.12 Từ

điểm cao nhất của nêm người ta thả không vận tốc đầu hai quyển

sổ nhỏ khối lượng m và 1 m 2

1) Tỷ số khối lượng m m phải bằng bao nhiêu để nêm không1/ 2

dịch chuyển?

2) Tìm biểu thức của gia tốc chuyển động a của nêm với các giá trị bất kỳ của các góc nêm Tương tự,0 tìm biểu thức các gia tốc a , 1 a của các quyển sổ trong chuyển động dọc theo mặt nêm.2

3) Cho   1 30 ,  2 60, 1 0.1

M

m

 , 2 0.2

M

m

 , gia tốc trọng trường g 10 m/s2 Tính giá trị số các gia tốc a , 0 a , 1 a ? Nêm chuyển động theo hướng nào?2

4) Cần bao nhiêu thời gian để quyển sổ thứ hai (bên phải) đến được mặt phẳng ngang, nếu quãng đường cần vượt qua làd 50 cm?

1.13 Ba ròng rọc (Nga)

Hai vật nặng khối lượng m và 1 m được nối với hai ròng rọc động, nhẹ Các ròng rọc và vật được đặt2 trên các sợi dây không giãn như hình vẽ Người ta giữ các vật nặng để hệ ở trạng thái cân bằng, khi đó góc tạo bởi các sợi dây treo ròng rọc gắn với vật m so với phương nằm ngang là  Thả hệ ra, tìm gia1

tốc của từng vật Giả thiết bán kính các ròng rọc r L

ĐÁP ÁN

1.10 Chuyển động trong ô vuông (Belarus)

1) Vì lực F

và vận tốc đầu của hạt v có cùng hướng nên hạt sẽ chuyển động thẳng biến đổi đều Trong0 trường hợp này, quỹ đạo của hạt là đường thẳng AB và hạt sẽ rời hình vuông ở điểm B(l, )l

2 xem hình 1.10Sa

Để tính thời gian chuyển động của hạt, ta cần tìm gia tốc của nó

  , rồi sau đó sử dụng công thức của chuyển động biến

đổi đều:

2

   

Nghiệm của phương trình bậc hai này là

t 2

 

Trong đó ta chỉ lấy nghiệm dương ứng với dấu “+” Như vậy hạt sẽ rời khu vực hình vuông sau khoảng thời gian

5 1

2



2) Vì lực Fvà vận tốc đầu của hạt v0

 , nên hạt sẽ chuyển động theo nhánh parabol hướng lên trên (hình 1.10Sb) Chuyển động theo trục Oy sẽ là

chuyển động nhanh dần đều không vận tốc đầu với gia tốc a F 2l2

m

 Như vậy hạt sẽ lên đến ranh giới trên của vùng sau thời gian:

2 t



Độ dời của hạt theo trục x sau khoảng thời gian này:

l  l

2 2

Từ (6), ta thấy hạt sẽ rời vùng tại gốc tọa độ với vận tốc hướng ngược vận tốc ban đầu sau khoảng thời gian

0

0

R

4) Ở thời điểm ban đầu lực F

hướng vuông góc với véctơ vận tốc v0

 Nhưng sau đó thì góc giữa chúng

sẽ thay đổi liên tục theo thời gian

Ta dựa trên một chuyển động tương tự để đoán chuyển động của hạt Xét chuyển động của một điểm trên vành của bánh xe đang lăn không trượt với vận tốc v theo phương ngang, vận tốc của điểm ở trên đỉnh quỹ đạo sẽ là 2v, theo công thức cộng vận tốc

Bây giờ xét chuyển động của bánh xe bán kính R = l/4, có tâm chuyển động lăn không trượt theo phương ngang với vận tốc v0

 /2 Khi đó vận tốc tại điểm trên cùng của bánh xe sẽ trùng với vận tốc ban đầu v0



của hạt cả về hướng và độ lớn Vận tốc góc của bánh xe:

v / 2 v

2

l / 4 l

Lực tác dụng lên chất điểm khối lượng m trên vành bánh xe sẽ là

F ma m R m 2

Hình chiếu của lực này lên các trục là

2

x

2

y

(10)

Như vậy điều kiện đầu (tọa độ và vận tốc) cũng như sự phụ thuộc của gia tốc vào thời gian ở hai bài toán

là giống nhau, suy ra quy luật chuyển động là như nhau Hạt sẽ chuyển động theo quỹ đạo là đường Cycloid - quỹ đạo của điểm trên bánh xe lăn không trượt trên một đường thẳng (hình l.l0Sd)

Từ đây suy ra hạt sẽ gặp ranh giới của vùng sau khi quay được nửa vòng với thời gian

0

l t 2v



điểm B l, 0

4



 (hình 1.10Se)

[Có thể giải trực tiếp bài này mà không cần đoán trước dạng quỹ đạo là chuyển động của bánh xe Chiếu lực F

lên các trục tọa độ

2

x

2

y

Từ đây tìm được phương trình chuyển động:

Lấy tích phân hai biểu thức trên ta được:

Sử dụng điều kiện đầu v (0) v ; v (0) 0x  0 y  ta dễ dàng tìm được hằng số

0 ox

v

v

2

 và voy 0

Viết lại

x

dx

Thay vào điểu thức trên rồi cho t nhận vài giá trị ta sẽ tìm được vị trí của hạt ở các thời điểm khác nhau, nối chúng lại ta sẽ được quỹ đạo cycloid.]

Cuối cùng ta vẽ quỹ đạo của cả bốn trường hợp để so sánh (hình 1.10Sf)

1.11 Hai lực kéo (Nga)

Ròng rọc làm tăng lực F 2 lên gấp đôi Nếu chọn trục x hướng sang phải, thì hình chiếu của tổng hợp

lực lên phương ngang:

F 2F  F

Đồ thị của hình chiếu F được biểu diễn trên hình l.11Sa.x

Vật sẽ bắt đầu dịch chuyển khi tổng ngoại lực lớn hơn giá trị

lực ma sát nghỉ Ff mg 4N Từ đồ thị thấy (Hình 1.11Sb),

chuyển động bắt đầu vào thời điểm t 0 = 4 s Vật sẽ chuyển

động với gia tốc không đổi ax1Fx F / m 4m / s1  2, cho

đến thời điểm t 1 = 8 s thì đây không còn tác dụng lực nữa Vận

tốc của vật tại thời điểm này là vx1ax1F F1 0 16m / s

Sau t 1 = 8 s vật sẽ chuyển động dưới tác dụng của lực ma sát với gia tốc ax 2 4m / s2 Tại thời điểm t2

=10 s vận tốc của vật là vx 2 vx1ax 2t2 t1 8m / s

Độ dời ∆x của vật chính là diện tích chắn bởi đồ thị v (t) (hình 1.11Sc) Sau 10 s độ dời là:x

x (1/ 2) 16 4 (1/ 2) (16 8) 2 56

         m

1.12 Quyển sổ trên hình lăng trụ (Bulgaria)

1) Khi nêm đứng yên thì áp lực tác dụng lên hai mặt bên của

nêm có giá trị

N m g cos và N2 m g cos2 2(hướng như trên hình

1.12S) Tổng các lực theo phương ngang phải bằng không, từ

đây điều kiện cân bằng là

m g cos sin m g cos sin hay

1 1 1 1

2) Khi các góc của lăng trụ có thể nhận giá trị bất kỳ, không thể xác định được hướng chuyển động của nêm Giả sử gia tốc của nó hướng sang trái Nếu nêm chuyển động sang phải thì 0sẽ nhận giá trị âm mà cách giải bài toán không cần thay đổi Tiện nhất là chọn hệ quy chiếu gắn với nêm:

Phương trình chuyển động của hai quyển sổ theo phương dọc mặt nêm:

m a m g sin m a cos

m a m g sin m a cos

Độ lớn các áp lực của hai quyển sổ lên hai mặt nêm là:

N m gcos m a sin

N m gcos m a sin

Định luật hai Newton cho chuyển động theo phương ngang của nêm

Ma N sin  N sin

Từ ba phương trình trên giải ra được

m sin cos m sin cos







2) Thay số vào ta được a0 =0.37 m/s2, a1 = 4.7 m/s2 và a2 = 8.8 m/s2 a0 có giá trị dương, tức là nêm chuyển động sang trái

3) Quyển sổ chuyển động nhanh dần đều không vận tôc đầu, d = at2/2 Từ đây t 2d / a2 0.34s

1.13 Ba ròng rọc (Nga)

Vì dây không giãn và các ròng rọc rất nhẹ nên sức căng T của

dây tại mọi điểm dọc theo dây là như nhau Viết phương trình

chuyển động theo phương thẳng đúng cho vật 1, chọn chiều

dương hướng xuống:

[Mối liên hệ này có thể tìm được bằng cách xét chiều dài sợi dây Gọi chiều dài nửa đoạn dây treo vật m 1

là l1, quan hệ tam giác vuông cho ta:

2

2 2

1 1

L

l y

4

 

Lấy vi phân ta được: 2l dl1 1 2y dy1 10

1

 ]

Từ đây, chia cả hai vế cho t1ta được liên hệ vận tốc:

v sin v 0

Tiếp tục lấy vi phân biểu thức trên:

           

Nhưng vì ban đầu các vận tốc v1v2 0nên biểu thức trên chỉ còn lại:

    

Chia 2 vế cho t1ta được mối liên hệ gia tốc:

Giải hệ phương trình (1), (2), và (3) ta có:

m m sin

m m sin



m m sin

a g sin

m m sin

[Có thể giải bằng phương pháp năng lượng

Cơ năng của hệ tại thời điểm bất kỳ:

Thay v2 v sin1 từ trên vào ta được:

1

2

Đạo hàm biểu thức này

2

0 (m m sin ) v a  m gv  m gv

2

0 (m m sin ) v a  gv (m m sin ) 

m m sin

m m sin



 ; rồi thay trở lại (10) tìm nốt a ]2