Động học chất điểm

Giả sử phản lực của băng lên cậu bé có giá trị không đổi thực tế lực này thay đổi mỗi khi cậu bé chạm chân xuống mặt băng, nhưng ở đây ta lấy giá trị trung bình 1 Tìm thời gian tối thiểu

Động học chất điểm

1.1 Hai cái lược (Estonia)

Hai cái lược nằm đè lên nhau như trên hình 1.1 Chiếc lược xám được kéo dịch chuyển với vận tốc

1 cm/s

v  , còn chiếc lược đen giữ đứng yên tại chỗ Điểm tối đen sẽ chuyến động về phía nào, với vận tộc bằng bao nhiêu?

Hình 1.1

1.2 Cuộc đua gay cấn (Nga)

Một xe ô tô đua chạy trên một đoạn đường thử thẳng với tốc độ trung bình v Biết rằng trên toàn bộ ac

đoạn đường xe chuyển động biến đổi đều chỉ về một hướng Tính vận tốc cực đại và cực tiểu khả dĩ của

xe đua (vmax và v tương ứng) khi nó ở giữa đoạn đường thử.min

1.3 Chạy trên băng (Estonia)

Một cậu bé chạy trên một mặt băng rộng với vận tốc v 5 m/s về hướng Bắc Hệ số ma sát giữa chân cậu bé và băng là =0.1 Giả sử phản lực của băng lên cậu bé có giá trị không đổi (thực tế lực này thay đổi mỗi khi cậu bé chạm chân xuống mặt băng, nhưng ở đây ta lấy giá trị trung bình)

1) Tìm thời gian tối thiểu để cậu bé có thể chuyển hướng sang hướng Đông với vận tốc cuối cùng cũng là

5 m/s

2) Quỹ đạo chuyển động tôi ưu nhất là đường gì?

1.4 Hai vật ném xiên (Trung Quốc)

Từ cùng một điểm trên mặt đất hai vật A và B được ném đi với cùng vận tốc đầu v và cùng chạm đất0

tại một điểm Biết thời gian chuyển động của A là T A, tìm thời gian chuyển động T của vật B Gia tốc B trọng trường là g, bỏ qua sức cản của không khí.

1.5 Súng cao su (Nga)

Một súng cao su có thể bắn ra cùng một lúc hai viên đạn nhỏ với cùng vận tốc v theo hai hướng khác0

nhau Các góc mà các véctơ vận tốc các viên đạn tạo với phương ngang có thể thay đổi tùy ý Khẩu súng

có cấu tạo sao cho sau khi bắn khỏi mặt đất, hai viên đạn rơi xuống cùng một vị trí Sau vài lần thử nghiệm người ta nhận ra rằng khoảng cách xa nhất giữa hai viên đạn khi chúng còn ở trên không là

L  Hãy xác định vận tốc v của các viên đạn Lấy 0 g 10 m/s2

1.6 Ném bóng lên mái nhà (Czech)

Trên hình 1.6 có vẽ một cậu bé đang ném một quả bóng nhỏ lên mái nhà theo phương làm với phương ngang một góc  , còn mái nhà nghiêng một góc  so với phương ngang Tay phải của cậu bé khi ném ở

độ cao h so vơi mặt đất, còn quả bóng chạm mái nhà tại điểm P cách cậu bé một khoảng d theo phương ngang và ở độ cao H Quả bóng va chạm đàn hồi với mái nhà, nảy lên và sau đó rơi xuống đất Xác định:

1) Vận tốc ban đầu v của quả bóng.0

2) Góc  mà vận tốc của quả bóng tạo với phương

ngang khi nó va chạm với mái nhà, góc  mà vận

tốc sau va chạm tạo với phương ngang và độ lớn vận

tốc v của quả bóng trước va chạm.1

3) Vị trí quả bóng rơi xuống mặt đất

Câu 1) đầu tiên hãy giải tổng quát, sau đo áp dụng số

với trường hợp H 3.5 m, h1.5 m, d 5.0 m;

60

  ,  30, các câu 2) và 3) chỉ cần giải cho

trường hợp cụ thể trên Lực cản của không khí không

đáng kể Va chạm của quả bóng coi là hoàn toàn đàn hồi

1.7 Hai vòng kim loại (Estonia)

Hai vòng kim loại giống nhau có bán kính R nằm cạnh

nhau và tiếp xúc nhau tại các điểm A và B sao cho mặt

phẳng chứa các vòng luôn song song Góc từ tâm nhìn cung

AB, tại thời điểm đang xét bằng  Vòng ở dưới đứng yên,

vòng ở trên quay với vận tốc góc  quanh trục đi qua điểm

A và vuông góc với các mặt phẳng chứa các vòng Tìm vận

tốc điểm tiếp xúc B tại thời điểm này

1.8 Quả bóng nảy (Trung Quốc)

Một quả bóng nhỏ khối lượng m được ném theo phương ngang từ độ cao h so với mặt đất với vận tốc ban đầu 2gh , bỏ qua sức cản của không khí Sau mỗi lần va chạm với mặt đất, quả bóng nảy trở lại với

vận tốc theo phương ngang không đổi, còn vận tốc theo phương thẳng đứng giảm theo tỷ lệ như nhau Tính từ lần nảy lên đầu tiên, diện tích của hình giới hạn bởi quỹ đạo quả bóng trong tất cả các lần nảy sau

đó với mặt đất có giá trị bằng 8h2 / 21 Hãy tìm tổng xung lượng quả bóng trao đổi với mặt đất trong tất

cả các lần va chạm

Gợi ý: giữa hai lần va chạm liên tiếp, quỹ đạo của quả bóng tạo với mặt đất hình có diện tích tính

bằng cách lấy hai phần ba độ cao cực đại của quỹ đạo nhân với khoảng cách giữa hai điểm chạm bóng

1.9 n quả bóng (Estonia)

1

n  quả bóng đàn hồi được thả rơi tự do sao cho chúng luôn ở trên đỉnh của nhau và cách nhau

những khe rất nhỏ Quả bóng dưới cùng có khối lượng m , quả trên nó có khối lượng 0 fm , quả tiếp0 0

n

f m , và cứ tiếp tục như vậy, quả trên cùng có khối lượng f m n 0, trong đó f 1 Khi quả dưới cùng va

chạm với đất, tất cả các quả cùng chuyển động với vận tốc v.

1) Sau khi hai quả dưới cùng va chạm, quả thứ hai từ dưới lên có vận tốc v bằng bao nhiêu?1

2) Vận tốc quả trên cùng v bằng bao nhiêu sau tất cả các va chạm? n

3) Quả bóng này bay tới độ cao cực đại gấp bao nhiêu lần độ cao ban đầu h mà nó được thả ra? Lấy

0.5

f  và n  10

Cho biết dãy số bắt đầu bằng a  , và quy luật 0 1 a k1a k sẽ có số hạng tổng quát là

1 1

n n

n

a  





 , trong đó  và  là các hằng số

1.1 Hai cái lược (Estonia)

Khi chiếc lược xám dịch đi một răng, hình ảnh mới giống hệt hình ảnh cũ, chỉ khác là điểm tối dịch

đi một “bước sóng” (xem hình 1.1S) Một bước sóng của điểm tối này bằng bảy răng lược, do đó vận tốc

của điểm tối bằng bảy lần vận tốc của lược xám: v = 7 cm/s.

1.2 Cuộc đua gay cấn (Nga)

Cách 1: Giải bằng đồ thị

Thời gian chuyển động của xe đua t0 = L/vαv, với L là độ dài đoạn

đường Đồ thị v(t) của các phương án chuyển động khả dĩ là những

đường thẳng với các góc nghiêng khác nhau (gia tốc) nhưng diện tích

bên dưới đồ thị (chính là độ dài đoạn đường) đều bằng nhau (hình 1.2S)

Ký hiệu thời điểm mà xe đua ở chính giữa đoạn đường là t’ Trên đồ

thị, điểm này nằm ở vị trí sao cho diện tích chắn bởi đồ thị ở hai phía

của nó phải bằng nhau Dễ thấy, khi gia tốc α tăng lên thì t’ dịch về phía

có vận tốc lớn và vận tốc ở giữa đường v cũng tăng lên.

Vận tốc nhỏ nhất vmin bằng vận tốc trung bình vαv, đạt được khi α = 0, và vận tốc lớn vmax đạt được khi gia tốc có giá trị cực đại và vận tốc đầu bằng không Vận tốc cuối là vt’ = 2vαv Độ dài cả đoạn đường:

2 f

L v / 2 

Độ dài nửa đoạn đường:

2 max

v L

2  2

Từ đây suy ra vận tốc cực đại ở giữa đường vmax v / 2f  2vv

Cách 2: Giải bằng đại số

Gọi vận tốc đầu của xe đua là v0, gia tốc chuyển động là α Khi đó độ dài đoạn đường thử là:

L 2





Nửa đoạn đường:

0

L





Từ (1) và (2) ta tìm được vận tốc ở giữa đoạn đường:

2 vf v0

v

2



 Chuyển động biến đổi đều nên vận tốc trung bình biểu diễn qua vận tốc đầu và vận tốc cuối

2

L



Vận tốc đầu và cuối không âm nên 0 < v0 < 2vαv

Vận tốc ở giữa đoạn đường v có thể biểu diễn qua v0 và vαv:

v 2v  2v v v (v  v ) v

Vận tốc nhỏ nhất vmin = vαv đạt được khi v0 = vαv

Vận tốc lớn nhất đạt được khi v0 = 0 và khi đó vmax  2vv

1.3 Chạy trên băng (Estonia)

1) Trong quá trình chuyển hướng, vecto vận tốc cần xoay một góc 90° Hãy tưởng tượng vẽ trên hệ trục

tọa độ mà trục tung và trục hoành là vx , v y Ta cần dịch chuyển từ điểm A có tọa độ (0,v) sang điểm B có tọa độ (v;0) với “vận tốc” không đổi “Vận tốc” của điểm trong mặt phẳng vx , v y chính là gia tốc của cậu

bé trong hệ trục tọa độ thực và nó có độ lớn không đổi bằng μg Dễ thấy, nhanh nhất là chuyển động theo

đường thẳng có độ dài v 2 , suy ra thời gian chuyển động là t v 2 / g 7.2s  

2) Vì gia tốc có hướng và độ lớn không đổi nên quỹ đạo của cậu bé giống như của vật ném xiên trong trọng trường, tức là đường parabola

1.4 Hai vật ném xiên (Trung Quốc)

Chọn gốc tọa độ tại điểm ném, trục x nằm ngang, trục y hướng thẳng đứng, góc ném là θ Gốc thời gian

kể từ khi ném (t = 0), phương trình chuyển động:

0

2 0

1

2

Khử t ta thu được phương trình quỹ đạo

2

0

g

2v cos

Khi y = 0, tạo độ x của điểm chạm đất là d, ta có:

2 0

v sin 2 d

g



Từ (4) tính được thời gian chuyển động

0 0

2v sin d

T



Gọi θA là góc ném vật A, θB là góc ném vật B Hai vật chạm đất cùng một điểm nên từ (4) ta có

Từ (5) ta có các biểu thức tính thời gian bay của hai vật:

A

2v sin T

g



B

2v sin T

g



Từ (7), (8), (9) ta có:

B

4v (T g) T

g



1.5 Súng cao su (Nga)

Tầm xa của quả cầu bắn đi từ súng cao su dưới góc φ là

Vì các quả cầu có vận tốc ban đầu bằng nhau và cùng rơi xuống một điểm nên các góc ném 1và 2

tương ứng phải thỏa mãn điều kiện 2 1 180 2 2, hay

Tức là ban đầu các véctơ vận tốc đối xứng qua phương 45° (hình 1.5S) Thời gian cả hai quả cầu ở trong không khí bằng thời gian bay của quả thấp hơn (quả trên bay lâu hơn):

p p

2v sin(45 ) t

g

 





(8) Xét trong hệ quy chiếu gắn với quả cầu thấp hơn, quả cầu trên chuyển

động thẳng đều với vận tốc tương đối

0

v 2v sin

Sau thời gian tp chúng cách xa nhau

p

Giá trị cực đại của biểu thức trên đạt được khi cos(2  45 ) 1  , tức là khi α = 22.5° Khoảng cách xa nhất cần tìm

2 0 max

Từ đây tìm được vận tốc đầu

max 0

L g

1.6 Ném bóng lên mái nhà (Czech)

1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như ở hình 1.6Sa

Tọa độ điểm va chạm của bóng:

x = d, y = H

Phương trình chuyển động của quả bóng:

0

0

1

2

Từ phương trình của x suy ra thời gian chuyển động

0

x

t

v cos



 và thay vào y.

Sau khi biến đổi ta được

2

0

2 v cos

Thay vào (1) các giá trị của x và y, được:

2

0

2 v cos



Từ đây tìm được biểu thức của v0

0

v



Thay số vào ta được v0 = 8.582 m/s

2) Thời gian của bóng kể từ khi được ném đi đến lúc va chạm với mái

nhà 1

0

x

v cos

 s Vận tốc của quả bóng tại thời điểm này

v v cos 4.29 m/s, v1y v sin0   gt1 4.00 m/s

và phương tạo với phương ngang một góc 1y

1x

v

v

Từ hình 1.6Sb dễ thấy quả bóng sau va chạm với mái nhà sẽ nảy lên dưới góc  180  2 y 77so với phương ngang

3) Chọn gốc tọa độ mới tại điểm va chạm của quả bóng với mái nhà, trục x hướng sang trái (hình 1.6Sb), trục y hướng lên Ta có thể viết tọa độ của quả bóng kể từ khi va chạm

1

1

1

2

Khi quả bóng rơi tới đất, tọa độ của nó là y = −H Thay vào trên:

2 1

1

Từ đây tính được thời gian của quả bóng từ lúc va chạm với mái nhà đến lúc rơi xuống đất

2

v sin v sin 2gH

g

Khoảng cách từ cậu bé đến chỗ bóng rơi d ' d v t cos  1  2.9m

Cách giải khác của ý 2):

Góc va chạm của quả bóng với mái nhà có thể xác định bằng cách lấy đạo hàm phương trình (1) theo x:

0

g

v cos



Thay x = d và vo từ (2) ta có:

Suy ra γ = −43°

Độ lớn của vận tốc va chạm tới mái nhà có thể xác định từ định luật bảo năng

lượng

1.7 Hai vòng kim loại (Estonia)

Cách 1:

Xét trong hệ quy chiếu quay với vận tốc góc ω/2; hai vòng sẽ quay ngược

chiều nhau theo hướng lại gần nhau với cùng vận tốc góc ω/2 Do đó giao

điểm sẽ không quay mà chỉ chuyển động xuyên tâm đi xuống Như vậy, khi

chuyển về hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, dây cung AB sẽ quay với vận tốc

góc ω/2 Ta có d OAB



 , mà trong tam giác cân OAB có

OAB

2

  

 , suy ra d

dt



 Vậy bán kính OB sẽ quay với vận tốc góc ω1 và từ đây tìm được vận tốc của giao điểm B là ωR

Cách 2:

Dễ nhận thây OABO' là hình thoi, do đó OB luôn song song vói AO' Hay nói cách khác bán kính OB quay quanh B với vận tốc góc bằng vận tốc góc của AO' quanh A, và bằng ω

1.8 Quả bóng nảy (Trung Quốc)

Trong quá trình chuyển động, vận tốc quả bóng theo phương x có giá trị không đổi và bằng 2gh Ngay

trước khi chạm đất, vận tốc theo phương thẳng đứng của quả bóng là

0

Gọi  là hệ số hồi phục (tỷ lệ giữa vận tốc quả bóng sau và trước va chạm, 0 <  < 1) Vận tốc ngay sau

va chạm lần đầu là:

1

Độ cao của quỹ đạo sau va chạm lần một

2 2 1 1

v

2g

Thời gian chuyển động của quả bóng cho đến khi nó va chạm tiếp lần 2 là

1 1

Quãng đường mà quả bóng dịch chuyển được theo phương ngang (tầm xa) trong khoảng thời gian này là

x  2ght  4 h (5)

Theo bài ra, diện tích chắn bởi quỹ đạo quả bóng và trục x là

3 2

2



[Thực ra diện tích này có thể tính được mà không cần đề bài cho sẵn Phương trình mô tả quỹ đạo parabol có đỉnh ở (2lh,l 2 h) và cắt trục x ở hai điểm có hoành độ 0 và 4  h có dạng 1 2

4h

Diện tích hình chắn bởi đồ thị y(x) và trục hoành cho bởi công thức

Vận tốc đầu, độ cao của quỹ đạo, thời gian chuyển động, độ dời theo phương ngang và diện tích hình chắn bởi quỹ đạo của quả bóng ở các quỹ đạo thứ n và n + 1 liên hệ với nhau

2

n 1 n

3

Tổng các diện tích chắn bởi quỹ đạo

x

n 1



 

Từ (6) và (12) suy ra

1 2

Gọi In là xung lượng trao đổi giữa quả bóng và sàn nhà ở lần va chạm thứ n

Định luật biến thiên động lượng cho ta

I mv  m( v ) m(1    )v  (14) Tổng động lượng trao đổi của quả bóng và sàn trong tất cả các lần va chạm là

x

2

n 1

1

1



 

 

Thay (13) vào (15) thu được kết quả cuối cùng

0

I 3mv 3m 2gh

1.9.n Quả bóng (Estonia)

1) Trong quá trình va chạm với sàn, quả bóng dưới cùng chỉ đổi chiều chuyển động hướng lên nhưng vẫn

giữ nguyên vận tốc vo = v Giả sử quả thứ k chuyển động lên với vận tốc v k; ta xét va chạm của nó với quả thứ (k+ l) đang lao xuống với vận tốc v

Vận tốc khối tâm của hệ hai quả bóng này là vk fv

u

1 f





 , hướng lên trên

Trong hệ quy chiếu khối tâm, vận tốc của quả (k + 1) là (−u−v) Sau va chạm, vận tốc các hạt trong hệ quy chiếu khối tâm chỉ đổi dấu Như vậy trong hệ quy chiếu trái đất, quả (k + 1) sẽ chuyển động lên trên

với vận tốc:

k



Với vo = v, ta có thể tìm được 1

2) Ta có thể dùng công thức truy hồi sau n bước để tìm ra

n n

2

1 f



3) Bây giờ ta sử dụng mối liên hệ độ cao và vận tốc v2 2gh0và v2n 2ghn, suy ra:

n

2

1 f



Thay số f = 0.5 và n = 10 ta được độ cao cuối cao hơn độ cao ban đầu 1200 lần.