ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM CHƯƠNG I ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Vận tốc chuyển động của chất điểm dt rdv r r = ; 222 zyxr ++= (1 1) với 222 zyx vvvv ++= r trong đó dt dxvx = ; dt dyvy = ; dt dzvz[.]
Trang 1CHƯƠNG I : ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Vận tốc chuyển động của chất điểm:
dt
r d v
r
z y x
với vr = v x2 +v y2 +v z2
trong đó:
dt
dx
v x = ;
dt
dy
v y = ;
dt
dz
v z =
2 Gia tốc chuyển động của chất điểm:
2
2
dt
r d dt
v d a
r r
với
2 2
2 2
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= + +
=
dt
dv dt
dv dt
dv a
a a
z y x
3 Chuyển động thẳng biến đổi đều:
const
vận tốc của vật tại thời điểm t:
vt = v0 + at (1-4) Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t:
2 0
2
1
t v
Vị trí của vật tại thời điểm t:
2 0
0
2
1
t v x
Mối liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và quãng đường:
as v
0
4 Chuyển động cong:
dt
dθ
dt
dω
Mối liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc:
Mối liên hệ giữa gia tốc dài và gia tốc góc:
[ ]r
Trang 2Chuyển động tròn biến đổi đều:
t
2 0
0
2
1
t
ω θ
(1-14)
βθ ω
0
t
5 Chuyển động với gia tốc không đổi:
⎩
⎨
⎧
−
=
=
g a
a a y
x 0
⎩
⎨
⎧
+
−
=
=
α
α
sin
cos
0
0
v gt v
v v v y
x
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
=
2 0
0
2
1 sin
cos
gt t
v y
t v x M
α
α
(1-18)
B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
1.1 Một ôtô chuyển động trên đoạn đường AB Trong nửa đoạn đường đầu, ôtô chuyển động với vân tốc v1 = 60 km/h, trong nửa đoạn đường còn lại, ôtô chuyển động với vân tốc v2 = 40 km/h Tìm vận tốc trung bình của ôtô trên đoạn đường AB
Giải
Thời gian ôtô đi hết nửa đoạn đường đầu:
60 2
2 1 1
AB v
AB
Thời gian ôtô đi hết nửa đoạn đường còn lại:
40 2
2 2 2
AB v
AB
Vận tốc trung bình của ôtô trên đoạn đường AB:
) / ( 48 40 2 60 2
2 1
h km AB
AB
AB t
t
AB
+
= +
=
1.2 Một ôtô chạy qua điểm A lúc 8h sáng với vận tốc 36 km/h, chuyển động chậm dần đều với gia tốc 0,2 m/s2 Cùng thời điểm đó tại điểm B cách A một khoảng 560m, một ôtô khác bắt đầu khởi hành theo hướng ngược chiều với ôtô thứ nhất, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc 0,4 m/s2 Tìm:
Trang 3a Khoảng thời gian đi để hai ôtô gặp nhau
b Thời điểm để hai ôtô gặp nhau
c Vị trí lúc hai ôtô gặp nhau
Giải
Chọn điểm A làm gốc tọa độ, chiều dương là chiều từ A đến B, gốc thời gian là lúc 8h sáng Đối với ôtô đi từ A ta có: v0 = 36 km/h = 10 m/s; a = -0,2 m/s2, phương trình chuyển động của ôtô là:
xA = 10t – 0,1t2 (1) Đối với ôtô đi từ B ta có: x0 = 560m; v0 = 0 m/s; a = -0,4 m/s2, phương trình chuyển động của ôtô là:
xB = 560 – 0,2t (2) B
2 Hai ôtô gặp nhau khi xA = xB Từ (1) và (2) suy ra: B
t2 + 100 t – 5600 = 0 Giải phương trình trên ta được t1 = 40s; t2 = -140s (loại vì t2<0)
Hai ôtô gặp nhau lúc 8h40’
Vị trí lúc 2 ôtô gặp nhau:
xA = 10t – 0,1t2 =10.40 – 0,1.402 =240 (m)
1.3 Một vật được thả rơi từ một khí cầu đang bay ở độ cao 300m Hỏi sau bao lâu vật rơi tới mặt đất, nếu:
a Khí cầu đang bay lên theo phương thẳng đứng với vận tốc 5m/s
b Khí cầu đang hạ xuống theo phương thẳng đứng với vận tốc 5m/s
c Khí cầu đang đứng yên
Giải
Chọn trục tọa độ có chiều dương hướng xuống dưới:
a Áp dụng công thức 0 2
2
1
gt t
v
Khi vật rơi đến mặt đất thì x = h
2 0
2
1
gt t
v
0 300 5
5 t2 − t − = Thay các giá trị vào (1) và giải ta được:
t1 = 8,26 s
t2 = -7,26 s<0 loại
b
2 0
2
1
gt t
v
Trang 40 300 5
5 t2 + t − = Thay các giá trị vào (1) và giải ta được:
t1 = 7,26 s
t2 = -8,26 s<0 loại
c
2 2
1
gt
h =
s g
h
t = 2 = 7 , 75
⇒
1.4 Một vật được thả rơi tự do từ độ cao h=19,6m Tính:
a Quãng đường mà vật rơi được trong 0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi
b Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của độ cao h Giải
a Quãng đường vật rơi được trong 1s đầu:
) ( 049 , 0 10
8 , 9 2
1 2
m gt
Thời gian để vật rơi xuống đất:
s g
h
t = 2 = 2
⇒
Quãng đường vật rơi được trong thời gian 1,9s dầu:
) ( 69 , 17 9
, 1 8 , 9 2
1 ' 2
1
m gt
Δh = h – h’= 19,6 – 17,69 = 1,91(m)
b Thời gian để vật rơi 1 m đầu:
) ( 45 , 0 8 , 9
2 2
s g
h
⇒
Thời gian để vật rơi 18,6 m đầu:
) ( 95 , 1 8 , 9
6 18 2 2
s g
h
⇒
Thời gian để vật rơi 1 m cuối:
Δt = t – t’ = 2 – 1,95 = 0,05(s) 1.5 Một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc v0=15m/s Tính gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của vật sau lúc ném 1s
Trang 5Giải
Ta có a2 = at2 + an2 (1)
Vì vật chuyển động với gia tốc không đổi nên a = g và:
dt
dv
at = với 2 2 2
0 g t v
2 2 2 0
2
t g v
t g dt
dv
a t
+
=
=
thay t = 1s vào , ta được:
at = 5,55(m/s2)
Từ (1) suy ra:
) / ( 3 8 55 , 5
2 2
s m a
g
1.6 Một vật được ném từ mặt đất với vận tốc v0=10m/s theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc α=300 (hình 1.1) Hỏi:
a Độ cao lớn nhất mà vật đạt được
b Tầm xa của vật
c Thời gian từ lúc ném tới lúc vật chạm đất
Giải
Gọi M là điểm có độ cao cực đại mà vật đạt được:
) ( 25 , 1 10 2
5 , 0 10 2
2 0
m g
v
M
x
y
O
Hình 1.1
Tầm xa của vật:
) ( 33 , 4 10 2 2
3 10 2
2
2 0
m g
v
Thời gian
) ( 1 10 2
1 10 2 sin
2 0
s g
v
1.7 Từ một đỉnh tháp cao H=30m, người ta ném một hòn đá xuống đất với vận tốc v0=10m/s theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc α=300 (hình 1.2) Tìm:
a Thời gian từ lúc ném tới lúc vật chạm đất
b Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi của hòn đá
c Dạng quỹ đạo của hòn đá
Trang 6Giải
a Ta có:
v0y = v0sinα
2 0
2 0
2
1 sin 2
1
gt t
v gt t
v
y = y + = α+ vr0
α
O
y
x
Thay các giá trị vào, ta được:
5t2 + 5t – 30 = 0 giải phương trình trên ta được:
t1 = 2s
t2 = -3s <0 loại
b x = v0tcosα
) ( 3 , 17 2
3 2
c Ta có x = v0tcosα (1)
2
1
t v
y= α+ (2)
Từ (1) suy ra v0 cosα
x
t = thay vào (2) ta được:
α
0
2
cos 2
1
v
x g xtg
Quỹ đạo là một nửa parabol (x≥0)
1.8 Một vô lăng sau khi bắt đầu quay được 1 phút thì thu được vận tốc 700vòng/phút Tính gia tốc góc của vô lăng và số vòng mà vô lăng đã quay được trong phút ấy nếu chuyển động của vô lăng là nhanh dần đều
Giải
Vận tốc góc của vô lăng tại lúc t = 1phút:
) / ( 27 , 73 60
700 14 , 3 2
= π ω
60
27 , 73
s rad t
β β ω
Ta lại có: .1.22.60 2196( ) 349,68
2
1 2
Vậy: β = 1 , 22 rad / s
68 , 349
2196 =
Trang 71.9 Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 3,14 rad/s2 Hỏi sau giây thứ nhất:
a Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe
b Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên vành bánh xe
c Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe
Hướng dẫn
a Áp dụng công thức: ω = βt để tính vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe được tính theo công thức:
v = ωR
b Để tính gia tốc pháp tuyến ta dùng công thức:
R
v
an
2
=
Dùng công thức at = βR để tính gia tốc tiếp tuyến, sau đó tính gia tốc toàn phần:
2 2
t
a
a = +
c Góc giữa véc tơ gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe được tính theo công thức:
n
t
a
a
tg α = Kết quả: a ω = 3,14 (rad/s); v = 0,314(m/s)
b 0,99( / 2); a
s m
a n = t =0,314(m/s2); 1,04( / 2)
s m
a =
c α =17041' 1.10 Một bánh xe quay chậm dần đều, sau một phút vận tốc của nó giảm
từ 300 vòng/phút xuống 180 vòng/phút Tìm gia tốc góc của bánh xe
và số vòng mà bánh xe đã quay được trong phút ấy
Hướng dẫn
Dùng công thức ω = 2 π n để tính vận tốc tại thời điểm ban đầu (lúc bắt đầu quay chậm dần) và vận tốc góc của bánh xe sau 1 phút
Gia tốc góc của bánh xe được tính theo công thức:
t
0
ω ω
β = −
Trang 8Dùng công thức 0 2
2
1
t
ω
θ = + để tính góc quay của bánh xe sau 1
phút, sau đó tính số vòng quay của bánh xe theo công thức π
θ
2
=
n
Kết quả: 0,21( / 2);
s rad
−
=
1.11 Một đoàn tàu bắt đầu chạy vào một đoạn đường tròn, bán kính 1km, dài 600m, với vận tốc 54km/h Đoàn tàu chạy hết quãng đường đó trong 30s Tìm: vận tốc dài, gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến, gia tốc toàn phần và gia tốc góc của đoàn tàu ở cuối quãng đường đó Coi chuyển động của đoàn tàu là nhanh dần đều
Hướng dẫn
Áp dụng công thức:
2 0
2
1
t a t
v
S = + t
để tính gia tốc tiếp tuyến
Vận tốc dài của đoàn tàu cuối quãng đường tròn được tính theo công thức:
v = v0 + att Gia tốc góc của đoàn tàu được tính theo công thức: at = β.R
Dùng công thức :
R
v
an
2
=
để tính gia tốc pháp tuyến của đoàn tàu
Gia tốc toàn phần của đoàn tàu được tính theo công thức a = an2 + at2
Kết quả: v = 24,9 (m/s); 0 , 62 ( / 2); ;
s m
s m
a t =
) / ( 7 ,
s m
a = ; β = 3,3.10-4 (rad/s2)