Chuyên đề 11 phép cộng và phép trừ các phân thức đại số

PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A.. Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.. Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau,

Trang 1

Chương II

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề 11 PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Kiến thức cần nhớ

1 Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu

thức

2 Cộng hai phân thức có mẫu số khác nhau

- Quy tắc Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân

thức có cùng mẫu thức vừa tìm được

- Chú ý Phép cộng các phân thức có các tính chất sau:

+ Giao hoán:A C C A;

B D DB

1 Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0

- Phân thức đối của phân thứcA

B được kí hiệu bởi

A B



2 Phép trừ

Quy tắc: Muốn trừ phân thức A

B cho phân thức

C

D, ta cộng

A

B với phân thức đối của :

C D

    

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Thực hiện phép tính:

2

1

A

Giải Tìm cách giải Quan sát kĩ các phân thức, nhận thức tử thức của mỗi phân thức đều phân tích đa thức thành

nhân tử được, do vậy ta nên phân tích thành nhân tử cả tử thức và mẫu thức và rút gọn phân thức trước khi thực hiện phép cộng

Trình bày lời giải.

Ta có:

Trang 2

   

2

1 1

1

A

x x

A

x x

 

Nhận xét Trong khi thực hiện phép cộng, trừ các phân thức đại số, nếu phân thức nào rút gọn được, bạn

nên rút gọn trước khi thực hiện

Ví dụ 2 Cho a, b, c thỏa mãnabc 1 Tính giá trị

M

Giải

Thay 1 abc vào biểu thức, ta có:

1

M

ab a bc abc b abc ac c abc

M

ab a

M

ab a

 

Nhận xét.

 Lời giải trên tinh tế khi giữ nguyên một phân thức và thay số 1 vào vị trí hợp lí để rút gọn phân thức, đưa các phân thức về cùng mẫu

 Sử dụng kĩ thuật trên bạn có thể giải được bài toán sau: Cho a, b, c, d thỏa mãnabcd 1 Tính giá trị của biểu thức:

N

a ab abc b bc bcd

3 4c cd 2cda 4 d 2da 3dab

Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức:

B

Giải Tìm cách giải Quan sát các phân thức, chúng ta nhận thấy không có mẫu của hạng tử nào phân tích được

thành nhân tử nên việc quy đồng mẫu thức tất cả các hạng tử là không khả thi Nhận thấy mẫu của hai phân thức đầu có dạng a – b và a + b, thực hiện trước tổng của hai phân thức này cho ta kết quả gọn.Với suy luận

ấy, chúng ta tiếp tục cộng kết quả ấy với phân thức tiếp theo

Trình bày lời giải

Ta có:

B

Trang 3

3 3 7 7 7 15

Ví dụ 4 Choa b c  2 a2b2c2 Rút gọn biểu thức:

P

Giải Tìm cách giải Nhận thấy nếu quy đồng mẫu trực tiếp là không khả thi bởi các mẫu hiện tại không phân tích

thành nhân tử được và nếu quy đồng thì biểu thức rất phức tạp, mặt khác chưa khai thác được giả thiết Phân tích giả thiết ta được ab bc ca  0, khai thác yếu tố này vào mẫu thức ta được:

a  bc a  bc ab bc ca   và phân tích thành nhân tử được Do vậy ta có lời giải sau:

Từa b c  2 a2b2c2 ta có:a2b2c22ab bc ca  a2b2c2 nênab bc ca  0

Xét a22bc a 22bc ab bc ca a    2 ab ca bc  a b a c    

Tương tự ta có:b22acb a b c c    ; 22abc a c b    

Do đó ta có:

P

a b a c b a b c c a c b

a b c b c a c a b

P

a b b c c a

Phân tích tử thức thành nhân tử, ta có:      

a b b c c a P

a b b c c a

Ví dụ 5 Tìm A, B thỏa mãn:

2

Giải Tìm cách giải Để tìm hệ số A và B, chúng ta biến đổi vế phải Sau đó đồng nhất hệ số hai vế.

x  x x  x x  x x x  x

   

2 2

Từ đó suy ra:

2

2 2



Trang 4

     

3x 3x 3 B 1 x A B 2 x 2A 2B 1

Đồng nhất hệ số ta có:

1 3

3

2 3

2

B

A

A B

B

 













Ví dụ 6 Thực hiện phép tính:

A

x y x z y z y x x z y z

Giải Tìm cách giải Suy nghĩ trước bài này, ta có hai hướng phân tích:

Hướng thứ nhất Quy đồng mẫu, thực hiện phép cộng như thường lệ.

Hướng thứ hai Tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phan thức, rồi khử liên tiếp Trong bài này, cách này

không ngắn, song thể hiện được nét đẹp và sáng tạo

Cách 1 Ta có:

A

x y x z y z y x x z y z

0

y z

x yz y z y xz x z z xy x y

A

x y x z y z

x y x z y z yz xy x z xz yz x y xy

A

x y x z y z



Cách 2 Ta có:

(1)

x x y y x z

Tương tự

2

(2) (3)

y z y x x y y z

z x z y y z x z



Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được A 0

Ví dụ 7 Choa a a được xác định bởi công thức:1, 2 9

2 3 2

k

a

k k



 với mọi k 1 Hãy tính giá trị của tổng:1a1a2 a9

( Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội, năm học 1999 – 2000)

Giải

Trang 5

Tìm cách giải Bài toán có tính quy luật, thay số vào tính là không khả thi Do vậy chúng ta nghĩ đến việc

tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức, rồi khử liên tiếp Nhận thấy3k23k 1 k13 k3, nên chúng ta có lời giải sau:

Ta có:

2

1

k

a

k

k k



Do đó:

9

S  a a  a

           

Ví dụ 8 Rút gọn biểu thức:

M

Giải

M



C Bài tập vận dụng

11.1 Xác định các số a, b biết:



Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

x bx a b

11.2 Rút gọn biểu thức:

A

Ta có:

Trang 6

 

2

A

2



11.3 Cho

2

P

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

a) Ta có:

2

P

2 2

2 1

a

a a



 

Điều kiệna 2

b) P a 2 3a2, 25 1,75 1,75  a1,52 1,75.Dấu" " xảy ra a 1,5. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,25 đạt được khi a 1,5.

11.4 Cho biểu thức:

2

Q

a) Rút gọn biểu thức Q;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

a) Ta có:

2

1

Q

2

1

b) Q x 2 x0, 25 0, 25 x 0,52 0, 250, 25

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là -0,25 đạt được  x 0,5.

11.5 Thực hiện phép tính:

M

Trang 7

Ta có:

M

2

1



11.6 Đặt

a

Tính giá trị của biểu thức:

M

a

2

a

2

x y

M

11.7 Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên

A

x





Ta có:  2   

2

1

ĐểA Z thì 4 2 1  1 0; 1 

2x1Z  x    x 

Trang 8

11.8 Chox y 1 vàxy  Rút gọn biểu thức:0 3 3 22 2 

x y

A



2

3

x y

xy y y x x



    (do x y  1 y1x vàx1 y)

2

3 1

x y

xy x y y x y yx xy y x x



3 2

x y

xy x y xy x y x y xy



2

0

xy x y x y

11.9 Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãnx y z  0 vàxyz 0

Tính

P

( Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015)

Từx y z   0 x3y3z3 3xyz

2

y z x y z  x  xy

Làm tương tự, thay vào P, ta được:

3

2

P





11.10 Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện 1 1 1 0

x y z 

Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2 2 2

A

(Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên TP Hồ Chí Minh, năm học 2013 – 2014)

Trang 9

Ta có:1 1 1 0 xy yz zx 0 yz xy zx.

x y z        

x  yz x  xy zx yz   x y x z 

Tương tự:

y  zx  y z y x z   xy  z x z y 

A

x y x z y z y x z x z y

yz z y xy y x zx x z

x y y z z x



11.11 Choax by c by cz a cz ax b  ;   ;   và a b c  0 Tính giá trị của biểu thức:

P

Từ giả thiết suy ra:

a b c   ax by cz   a b c   c cz  c z

1

c

z a b c 

1

x a b c y z   a b c 

P

11.12 Cho a, b thỏa mãn 4a22b2 7ab và 0 4a2 b2 0

Tính giá trị của biểu thức: 3 5 3

A

a b a b

Ta có:

2

11.13 Tính giá trị của biểu thức:

Xét phân thức tổng quát:

2

1

n



Trang 10

Do đó:A 3.1 1   3.2 1   3.3 1  3.5 1 

3 1 2 3 50     50 3875.

11.14 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 2

6

x y z

TínhP x 2020y2020z2020

Từ giả thiết chuyển vế, ta có:

2

1

x

z z







                  











1 1 1 3

P

    

n B

n n



Ta tách từng phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp, ta được:

1

k



Do đó

2

n n B



11.16 Cho biểu thức 2 1 5

A

3

x  )

Tính giá trị biểu thức A biết rằng 10x25x3

A



 

2 2 2

1

x





Từ điều kiện10x25x 3 5x 3 10x2 thay vào (1) ta có:

Trang 11

 2 2   2

3

A

2 2

A

Ta có:

2

A

2



0

11.18 Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, tính.

S

b c c a c a a b a b b c

Ta có:

S

b c c a c a a b a b b c

ab a b bc b c ac c a

a b b c c a



Xét tử thức, ta có:

2 2

ab a b bc b c ac c a

ab a b b c bc ac a c

ab a b c a b a b c a b

a b ab ac bc c

a b b c a c a b b c c a

a b b c c a

S

a b b c c a

11.19 Rút gọn

A

Trang 12

b) 2 2 2 4 2 3

B

A

b) Ta có

B

Tiêu đề	Chuyên đề 11 Phép cộng và phép trừ các phân thức đại số
Trường học	Đại học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	499 KB