131 đề hsg toán 8 sóc sơn 22 23

6,0 điểm a Cho tam giác ABCvuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến.. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BDcắt BC tại E.. Chứng minh rằng EB2EC b Cho tam giác ABCvuông tại A.. Từ một đ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SÓC SƠN

ĐỀ THI HSG TOÁN 8 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (5,0 điểm) Cho các biểu thức

1



a) Tính C D

b) Tìm các cặp số nguyên x y, để C D 10

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, sao cho số A4x4y4là một số nguyên tố

b) Cho a2  a 1 0.Tính giá trị biểu thức

2020 2020

1

P a

a

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình :

b) Cho x y z xy yz zx       xyz Chứng minh rằng  

2019

2019 2019 2019

Bài 4 (6,0 điểm)

a) Cho tam giác ABCvuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BDcắt BC tại E Chứng minh rằng EB2EC

b) Cho tam giác ABCvuông tại A Từ một điểm M trong tam giác vẽ

,

cho tổng MI2MJ2MK2đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 (1,0 điểm) Cho các số x y , 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

A

  



ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm) Cho các biểu thức

1



c) Tính C D

Ta có :

C

   



d) Tìm các cặp số nguyên x y, để C D 10

Với x1,y1,x yđược xác định thì C D được xác định

Mà C D 10 x y xy  10 x xy   y1  9 x1 1  y 9

Do x Z y Z ,  nên ta có

x

x

y

y

Các cặp số này đều thỏa ĐKXĐ nên

x y ;  2;8 , 0; 10 , 4;2 , 2; 4 , 10;0 , 8; 2             

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y, sao cho số A4x4y4là một số nguyên tố

Ta có A 0với mọi x y,

Do A là số nguyên tố nên

2 2

2 2

2 2

2 2

    

 



 









   

 Giải các trường hợp trên ta được x y ,  1,1

d) Cho a2  a 1 0.Tính giá trị biểu thức

2020

2020

1

P a

a

Ta có

2

a    a a   

  (vô nghiệm do

2

0

a

  

  với mọi a) Vậy biểu thức P không có giá trị

Bài 3 (4,0 điểm)

c) Giải phương trình :

Ta có :

2014 2015 4023 4024 2014 2015 4023 4024

2012 2012 2012 2012 2012

           

2012

012 1 2 3 2011 2012

503 2012 4

x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S  4

d) Cho x y z xy yz zx       xyz Chứng minh rằng

2019 2019 2019

Ta có :

2

2

0 0









 

 Với

2019

2019 2019 2019 2019 2019 2019

2019

2019 2019 2019





Chứng minh tương tự như trên với trường hợp yxvà z x Ta suy được đpcm

2019

2019 2019 2019

Bài 4 (6,0 điểm)

c) Cho tam giác ABCvuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BDcắt BC tại E Chứng minh rằng EB2EC

E H D

C

B

A

Kẻ CF/ /AE F AB Khi đó ta có B1A1(vì cùng phụ với A2)

Mặt khác A1C1(hai góc so le trong) 1 1 ( )

Mà

Mà

1

2

d) Cho tam giác ABCvuông tại A Từ một điểm M trong tam giác vẽ

,

cho tổng MI2MJ2MK2đạt giá trị nhỏ nhất

H

I

J K

B

A

M

C

Kẻ đường cao AHcủa tam giác vuông ABC Qua M kẻ MH / /BCcắt AHtại M'

Ta có MI M H' Tứ giác AKMJlà hình chữ nhật nên KJ MA

Mặt khác MJ2MK2 KJ2(định lý Pytago)

Do đó MI2MJ2MK2 MI2MA2 Có M A' 2 MA2

2

1

2

Dấu bằng xảy ra khi M H' M A'

Vậy MI2MJ2MK2có giá trị nhỏ nhất khi M là trung điểm của đường cao AHtrong tam giác ABC

Bài 5 (1,0 điểm) Cho các số x y , 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

A

  



Ta có

3

A



Do x0,y0nên

2 2

2 2

4

xy





Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có :

2 2

4 2

A





Dấu bằng xảy ra khi x y 0

Bất đẳng thức sử dụng :

2 2

2 2 2

2

và a b 2ab