026 10 chuyên toán hải dương 23 24

Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B C, của đường tròn  O lần lượt tại M N,.. a Chứng minh rằng MB NC.. Điểm M thay đổi trên cung lớn »AB của đường tròn O.. Đường tròn nội tiếp tam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN (chuyên)

Ngày thi: 03/06/2023

Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề

Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

1 Cho hai số a b, thoả mãn các điều kiện a b. =1, a b+ ¹ 0 Rút gọn biểu thức:

( )3 3 3 ( 2 2 )2 2 2 ( )4

2

Q

2 Cho hai số dương x y, thoả mãn x y2 1 y x2 1 15 Tính giá trị của biểu thức:

Câu 2 (2,0 điểm)

1 Giải phương trình:

2

x

2 Giải hệ phương trình: 2 2

ïï

íï + + + = ïî

Câu 3 (2,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 2p4- p2+16là số chính phương

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2+7xy+2y2+ + -x y 2=0

Câu 4 (3,0 điểm)

1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O , điểm E thuộc cung nhỏ AB của

đường tròn   O EA E B,   Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B C, của đường tròn

 O lần lượt tại M N,

a) Chứng minh rằng MB NC. AB2

b) Gọi F là giao điểm của MC và BN , H là trung điểm BC Chứng minh rằng ba điểm , ,

2 Cho đường tròn ( )O

và hai điểm A B, cố định nằm trên đường tròn ( )O

sao cho

· 1200

AOB= Điểm M thay đổi trên cung lớn »AB của đường tròn ( )O

Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA MB, lần lượt tại E F, Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Câu 5 (1,0 điểm)

rằng:

( )2

-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:

………

Cán bộ coi thi số 1 ………Cán bộ coi thi số 2

……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: TOÁN (chuyên)

(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

1

(2

điểm)

1

Cho hai số a b, thoả mãn các điều kiện a b. =1,a b+ ¹ 0 Rút gọn biểu thức: ( )3 3 3 ( 2 2 )2 2 2 ( )4

2

Q

Ta có: 2 2 ( )2

2

a + + = +b a b

Nên

( )

( )

4

Q

a b

+ +

=

+

0,25

2

2

2

2

=

+ +

=

+ +

0,25

2

2

2

2

2

=

+ +

=

+ +

0,25

2

2

2 2 1

+ +

= + +

=

0,25

2

Cho hai số dương x y, thoả mãn x y2 1 y x2 1 15 Tính giá trị của biểu thức:

0,25

2

0,25

16 M 4

2

(2

điểm)

1

Giải phương trình:

2

x

Điều kiện:

2

2

0

x

ìïï

ïï

íï

ïï +

ïïïî

0,25

Phương trình trở thành

( ) ( )

3

3

1 1

1 0

2 2

x

x x

x

x

x

ç

÷

+

é

-ê ê

ê

ê +

ê ê

0,25

( )1 Û x2= - Ûx 1 x2- + =x 1 0 (vô nghiệm) 0,25 ( )2 x 3 4 x 3 4x x 1

x

+

(Thoả mãn điều kiện) 0,25

2

Giải hệ phương trình: 2 2

ïï

íï + + + = ïî

Hệ phương trình đã cho trở thành

( ) ( ) ( )2 ( )2

ïïï

íï + + + = ïïî

Đặt

1 2

ì = + ïï

íï = +

ïî ta được hệ 2 2

8

a b

ïï

íï + = ïî

0,25

( ) ( )

( ) ( )

4 1 4

4 4

4

4

ab ab

a b

a b

ab

a b

a b

éì =ïïê

Û íê+ = Û ê

ïê + =- ï

=-0,25

3

(2

điểm)

1

Tìm tất cả các số nguyên tố p lẻ sao cho 2p4- p2+16là số chính phương Đặt A=2p4- p2+16

Với p=3 thì A=169 13= 2 là số chính phương Vậy p=3 thoả mãn

0,25

Với p>3 thì p2º 1 mod 3( ) Suy rap4=( )p2 2º 1 mod 3( ) 0,25 Suy ra A=2p4- p2+ º16 2.1 1 16- + º 2 mod 3( ) 0,25

Do các số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1 nên A không là

2

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2+7xy+2y2+ + -x y 2=0

Ta có phương trình

( )

0,25

 

 

1

2

x y

x y

   









   

 

  

 



0,25

4

x y





 



6

x y





 



4

(3

điểm)

1

1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn  O , điểm E thuộc cung nhỏ AB của đường tròn   O EA E B,   Đường thẳng AE cắt các tiếp tuyến tại B C, của đường tròn  O lần lượt tại M N,

a) Chứng minh rằng MB NC. AB2

I H F

N

M

O E

C B

A

Ta có ABM ACB BAC 600  BM / /AC BMA CAN   1 0,25 Tương tự ta có CN/ /AB BAM CNA  2 0,25

Từ (1) và (2) ta có AMB đồng dạng NAC (g-g) 0,25

2

2 b) Gọi F là giao điểm của MC và BN, H là trung điểm BC Chứng minh rằng ba điểm E F H, , thẳng hàng

I H F

N

M

O E

C B

A

Gọi I là giao điểm của EF và BC Từ a) suy ra

 

2

MB NC BC

Mặt khác MBC MBA ABC   600600 1200 Tương tự BCN 1200

Suy ra MBC BCN 4

Từ (3) và (4) ta có MBC đồng dạng BCN(c-g-c) Suy ra

0,25

Ta có BFM BCF FBC  BCF BMC 1800 MBC 60 50 

Do BEACnội tiếp nên BEM BCA 600  6

Từ (5) và (6) ta có BFM BEM Suy ra BMEF nội tiếp

0,25

0,25

Chứng minh tương tự ta có IC2 IE IF.  8

Từ (7) và (8) suy ra IB IC  I H Vậy E F H, , thẳng hàng

0,25

2 Cho đường tròn ( )O

và hai điểm A B, cố định nằm trên đường tròn ( )O

sao cho ·AOB=1200 Điểm M thay đổi trên cung lớn »AB của đường tròn ( )O Đường tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA MB, lần lượt tại E F, Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

I D

O

F J E

K H

M

B A

Gọi I là trung điểm của AB Vẽ AH IJ BK, , cùng vuông góc EF

Ta có AOB1200  AMB600, hơn nữa ME MF nên tam giác

MEF đều

0,25

.sin 60 1

0,25

Cộng vế (1) và (2) ta có

2

không đổi

0,25

Vì điểm I cố định nên EF tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I , bán kính

3

4 AB

0,25

5

(1

điểm)

Cho a b c, , là các số không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

( )2( )

*

Giả sử cmin , ,a b c Khi đó :

2

2

2

2

c

c

      

0,25

( )* 2 1 2 1 2 1 2

VT

ç + ÷+ +ç ÷ ç + ÷ ç + ÷

Khi đó x>0,y>0 và x+ = + +y a b c

0,25

Ta có VT( )* 2 1 2 12 12

+

2

VP xy

0,25

Dấu bằng xảy ra khi

î î Do vai trò của a b c, , bình đẳng nên dấu “=” của ( )*

xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a b c, , có một số bằng 0 và hai số còn lại bằng nhau

0,25

Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.