[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHềNG
ĐỀ CHÍNH TH Ứ C
Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2012 – 2013 Môn thi : toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm)
H y chọn chỉ 1 chữ cái ủứng trước cõu trả lời ủỳng
Câu 1 Điều kiện xỏc ủịnh của biểu thức x 1ư là:
A x≥ 1; B x= 1; C x≤ 1; D x≤ 1 và x ≠ 0
Câu 2 Điểm thuộc ủồ thị hàm số y 1x 1
2
= + là:
A 2; 1
2
ư
; B (2;2); C (0 ; -1) ; D (-2 ; -1)
Câu 3 Nghiệm của hệ phương trỡnh x 3y 2
2x y 1
ư + = ư
A (ư ư 3; 1); B (1 ; -1); C (1 ; 1); D (1 ; -2)
Câu 4 Phương trình (2m – 1)x2 – mx – 1 = 0 là phương trỡnh bậc hai ẩn x khi:
A m≠ 1
2; B m 1≠ ; C m 2≠ ; D m≠ ư1
Câu 5: Tam giác ABC vuông tại A, AH ⊥ BC, BH = 3, CH = 12 (Hỡnh 1) Độ dài
ủoạn thẳng AH là:
A 8 ; B 12;
C 25; D 6
Câu 6: Tam giỏc MNP vuụng tại M biết MN = 3a, MP 3 3a= Khi ủú tanP bằng:
A 3a
3 ; B 3
3 ; C 3; D 3
Câu 7: Trong hỡnh 2, biết 0
DBA=40 , sốủo ACD b ằng
A 600; B 1300;
C 700; D 650
Câu 8: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 4cm, BC = 3cm Quay hỡnh chữ nhật ủú xung quanh AB ta ủược một hỡnh trụ Thể tớch của hỡnh trụủú bằng:
A 36π cm3; B 48π cm3; C 24π cm3; D 64π cm3
12
H B A
Hỡnh 1
B C
D
Hỡnh 2
Trang 2PhÇn II: PhÇn tù luËn (8,0 ®iÓm)
Bài 1 (1,5 ñiểm)
1 Rót gän c¸c biÓu thøc sau
a) N=(12 2 3 18 2 8 : 2 − + ) b) N 5 5 4
−
2 Xác ñịnh hàm số y = (a + 1)x2, biết ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A(1 ; -2)
Bài 2 (2,5 ñiểm)
1 Giải phương trình x2 + 2x – 3 = 0
2 Cho phương trình x2 +mx− − =m 1 0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm
b) Tìm các giá trị của m ñể phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không
dương
3 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 8 và số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai
Bài 3. (3,0 ñiểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB = AC Đường tròn tâm O ñường kính AB = 2R cắt các cạnh BC, AC lần lượt tại I, K Tiếp tuyến của ñường tròn (O)
tại B cắt AI tại D, H là giao ñiểm của AI và BK
a) Chứng minh tứ giác IHKC nội tiếp
b) Chứng minh BC là tia phân giác của DBH và tứ giác BDCH là hình thoi
c) Tính diện tích hình thoi BDCH theo R trong trường hợp tam giác ABC ñều
Bài 4. (1,0 ñiểm)
1 Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 4
x + ≥y x y
+ Dấu «=» xảy ra khi nào ?
2 Cho x > 0, y > 0 và 2x + 3y ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+
A
-Hết -
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Dự kiến)
M«n thi : to¸n PhÇn I: Tr¾c nghiÖm (2,0 ®iÓm)
(Mỗi câu ñúng ñược 0,25 ñiểm)
PhÇn II: PhÇn tù luËn (8,0 ®iÓm)
Bài 1 (1,5 ñiểm)
1 Rót gän c¸c biÓu thøc sau
a) N=(12 2 3 18 2 8 : 2 − + ) b) N 5 5 4
−
2 Xác ñịnh hàm số y = (a + 1)x2, biết ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A(1 ; -2)
N 12 2 3 18 2 8 : 2
12 2 9 2 4 2 : 2
7 2 : 2 7
0,25
0,25
N
−
0,25
0,25
2 Vì ñồ thị hàm số y = (a + 1)x2 ñi qua ñiểm A(1 ; -2) nên
- 2 = (a + 1).1 ⇔ a = -3
Vậy với a = -3 thì ñồ thị hàm số y = (a + 1)x2 ñi qua A(1 ; - 2)
0,25 0,25
Bài 2 (2,5 ñiểm)
1 Giải phương trình x2 + 2x – 3 = 0
2 Cho phương trình x2 +mx− − =m 1 0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có nghiệm
b) Tìm các giá trị của m ñể phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không
dương
3 Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 8 và số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai
Trang 4Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -3
2a Ta có ∆ = m2 – 4(- m - 1)
= m2 + 4m + 4 = (m + 2)2≥ 0 với mọi m
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi m
0,25
0,25 1b Để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không dương khi và chỉ khi
+) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
⇔ P < 0 ⇔ - m - 1 < 0 ⇔ m > - 1
+) Phương trình có một nghiệm bằng 0, tức là
P = 0 ⇔ - m – 1 = 0 ⇔ m = -1
+) Phương trình có hai nghiệm âm, tức là:
Vậy với m ≥ -1 thì phương trình có ít nhất một nghiệm không dương
0,25
0,25
0,25
2 Gọi số thứ nhất là a, số thứ hai là b (a > b)
+ Vì tổng của chúng bằng 8 nên ta có a + b = 8 (1)
+ Số thứ nhất gấp 3 lần số thứ hai nên có a = 3b (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình a b 8 a 6
⇔
(TMĐK)
Vậy số thứ nhất là 6 và số thứ hai là 2
0,25
0,25
0,25
Bài 3. (3,0 ñiểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB = AC Đường tròn tâm O ñường kính AB = 2R cắt các cạnh BC, AC lần lượt tại I, K Tiếp tuyến của ñường tròn (O)
tại B cắt AI tại D, H là giao ñiểm của AI và BK
a) Chứng minh tứ giác IHKC nội tiếp
b) Chứng minh BC là tia phân giác của DBH và tứ giác BDCH là hình thoi
c) Tính diện tích hình thoi BDCH theo R trong trường hợp tam giác ABC ñều
Trang 5D
K
I
O
C B
A
3a Ta có 0
AIB=90 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn (O))
AIC 90
⇒ = (kề bù với AIB=900)
Và AKB=900 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn (O))
HKC 90
⇒ = (kề bù với AKB=900)
Tứ giác IHKC có
HKC+HIC=90 +90 =180 ; mà hai góc này ở vị trí ñối nhau
Nên tứ giác HKCI nội tiếp
0,25
0,25
0,25 3b +) Trong (O) có
DBC=BAI (hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) (1)
KBC=IAC (góc nội tiếp cùng chắn cung IK) (2)
∆ABC cân tại A có AI ⊥ BC nên AI là tia phân giác của BAC
BAI CAI
Từ (1), (2) và (3) suy ra DBC=KBC
⇒ BC là tia phân giác của DBK
+) Xét ∆BHD có BI là tia phân giác HBD mà BI ⊥ HD
Nên ∆BHD cân tại I ⇒ BI là ñường trung tuyến ⇒ HI = ID
Xét tứ giác BHCD có BC ∩ HD = { I }, IB = IC; IH = ID
Nên tứ giác BHCD là hình bình hành
Lại có HD ⊥ BC tại I
Vậy tứ giác BHCD là hình thoi
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
3c Khi ∆ABC ñều ⇒ AB = BC = AC = 2R BI 1BC R
2
Xét ∆AIB có AIB=900 nên AI= AB2 −BI2 = 3R
Dễ thấy H là trọng tâm của ∆ABC IH 1AI 3R
2 3R
HD 2HI
3
0,25
0,25
Trang 6Vậy diện tích hình thoi BHCD là
2 BHCD
Bài 4. (1,0 ñiểm)
1 Cho x > 0, y > 0 Chứng minh rằng 1 1 4
x + ≥y x y
+ Dấu «=» xảy ra khi nào ?
2 Cho x > 0, y > 0 và 2x + 3y ≤ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+
A
4a Ta thấy :
x y 4xy x y 0
x y x y xy x y
+
Với mọi x, y > 0
Dấu «= » xảy ra khi x = y
0,5
4b Ta thấy
A
quả câu a) (1)
Lại có 2x + 3y ≤ 2 ⇔ (2x + 3y)2≤ 4 ⇔ 4x2 + 9y2 + 12xy ≤ 4 (2)
Mặt khác 4x2 + 9y2≥ 12xy (Bất ñẳng thức Côsi cho x, y > 0) (3)
Từ (1) và (2) suy ra 12xy + 12xy ≤ 4 ⇔ 3xy ≤ 1
2 (4)
Từ (1) và (4) suy ra A 16 26 4 52 56
1 4 2
Vậy minA = 56 khi khi x 1 và y 1
0,25
0,25
(Giáo viên: Trần Thị Ngọc Lan – NBN)