De thi da vao 10 chuyen toan nam 22 23 tp hcm

Chứng minh APAQ Câu 4.. Đường thẳng EFcắt đường thẳng BCtại I.. Đường thẳng qua Avuông góc với IHtại K và cắt BC tại M.. a Chứng minh tứ giác IFKCnội tiếp và BI CI BD CD b Chứng minh M

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2022-2023 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn xy 1 x2 1 y2  1

Tính giá trị của biểu thức M x 1 y2 y 1 x2

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: x  4 x x2  x 4

b) Giải hệ phương trình :

x

x

y z y y

z x z z

x y



 













 



Câu 3 (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh BCvà CD lần lượt lấy các điểm M N, sao cho MAN  45 

a) Chứng minh MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB

b) Kẻ MP/ /AN P AB  và kẻ NQ song song với AM Q AD  . Chứng minh

APAQ

Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa a b c   3

a) Chứng minh rằng ab bc ca   3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P

Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng EFcắt đường thẳng BCtại I Đường thẳng qua Avuông góc với IHtại K và cắt BC tại M

a) Chứng minh tứ giác IFKCnội tiếp và BI CI

BD CD

b) Chứng minh M là trung điểm của BC

Câu 6 (1,0 điểm) Số nguyên dương n được gọi là “số tốt” nếu n 1 và 8n 1 đều là các số chính phương

a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2,3 chữ số

b) Tìm các số nguyên kthỏa mãn k 10 và 4n k là hợp số với mọi n là “số tốt”

ĐÁP ÁN

Câu 1 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số thực thỏa mãn xy 1 x2 1 y2  1

Tính giá trị của biểu thức  2  2

M  x y y x

Ta có :

   

2

1

0

1 1

xy xy

x y

xy xy













Ta được

Câu 2 (2,5 điểm)

a) Giải phương trình: x  4 x x2  x 4

Điều kiện : x 4

2 2

0

4

2

4 1 0

2











 



x

x

x

Vậy phương trình có nghiệm 1 13; 3 21

b) Giải hệ phương trình:

x

x

y z y y

z x z z

x y



 













 



Từ giả thiết, suy ra x y z , , 0

2 1 2 1 2

 

 

 

Đặt xy a yz b xz c ,  ,  Ta có:

a b a c a c b







Nên:

1

11









Vậy 239; 239; 239

Câu 3 (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh BCvà CD lần lượt lấy các điểm M N, sao cho MAN  45 

2 1

1

1

2 1

1

F

E

Q

P

H

N

B

C

A

D

M

a) Chứng minh MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB

Kẻ AH MN H MN   Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BDvới AM AN,

Xét tứ giác ABMFcó MAN FBM  45  và MAN, FBM cùng nhìn cạnh FM nên

tứ giác ABMF nội tiếp 1 1   

1

1 2

A F sd BM

    và AFM  90 

Xét tứ giác AENDcó MAN EDN  45 và MAN, EDNcùng nhìn cạnh EN nên tứ giác AENDnội tiếp  AEN  90 (vì ADN  90 ) 

Ta có MEN MFN  90 nên tứ giác MEFN nội tiếp

  

1

2 2

F N sd EN

   

Mặt khác A2 N1(cùng phụ AMN) 3 

Từ (1), (2), (3) suy ra A1 A2  ABM AHM ch gn(  )  ABAH

Vậy MNtiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB

b) Kẻ MP/ /AN P AB  và kẻ NQ song song với AM Q AD  .Chứng minh

APAQ

Ta có : AMPMAN ANQ 45 (so le trong)

45

Nên tứ giác PBMEnội tiếp  PEM  90 

  mà NEAM cmt( )  P E N, , thẳng hàng

Chứng minh tương tự : Q F M, , thẳng hàng

90

PNQ QMP

   nên tứ giác PQNMnội tiếp  P1 M1

Lại có tứ giác FEMNnội tiếp  E1 M1mà E1 E2(đối đỉnh)

   Ta có PQ BD/ /  APQABD 45 

APQ

  vuông cân tại A nên APAQ

Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa a b c   3

a) Chứng minh rằng ab bc ca   3

Ta có: a b c   3

2

a b c   ab bc ca    a b  b c  c a 

a b c2 3ab bc ca ab bc ca 3

          (vì a b c   3)

Dấu bằng xảy ra khi a b c   1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

P

2

a

b    b 

 

2

Từ (1) và (2) 2  *

a b

Chứng minh tương tự :

c    a   

ab bc ca

Vậy GTNN của P = 3/2 khi a b c   1

Câu 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABCnhọn AB AC có các đường cao AD BE CF, ,

cắt nhau tại H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BCtại I Đường thẳng qua A

vuông góc với IHtại K và cắt BC tại M

T

A 1

O

M

K I

H D

F

E A

a) Chứng minh tứ giác IFKCnội tiếp và BI CI

BD CD

Ta có: AFH AKH AEH  90   F H K E A, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính

AH FKH FEH hay FKI FEB 1

Cũng có BFCBEC 90   B F E C, , , cùng thuộc đường tròn đường kính BC

 2

Từ (1), (2) suy ra FKI FCBhay FKI FCI IFKCnội tiếp

Ta có : Tứ giác BFECnội tiếp nên FEBFCB(3)

Ta có HDCHEC 90   Tứ giác HDCEnội tiếp đường tròn đường kính HC

Từ (3) và (4) suy ra FEBFCB EBlà phân giác trong góc E của IED

Mà ECEB EClà phân giác ngoài góc E của IED

BI CI EI

BD CD ED

   (tính chất đường phân giác)

b) Chứng minh M là trung điểm của BC

Xét AIM có hai đường cao ADvà IKcắt nhau tại H H là trực tâm

  hay MT AI  HTA 90   Tthuộc đường tròn đường kính AH

Mà F H E A, , , thuộc đường tròn đường kính AH

Nên 5 điểm T F H K E, , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AH

 

IT IA IF IE

Mặt khác, tứ giác BFECnội tiếp (cmt) IF IE IB IC   **

Từ (*) và (**)  IT IA IB IC   TACBlà tứ giác nội tiếp

T

 thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ABC

Kẻ đường kính AA1của (O)

Ta có ATA1  90   AT AT1  AT1 IAmà MT  AI

1 , , ,

A T H M

Mà ta dễ chứng minh A BHC1 là hình bình hành và M là giao điểm của BC và A H1 nên

M là trung điểm của BC

Câu 6 (1,0 điểm) Số nguyên dương nđược gọi là “số tốt” nếu n 1và 8n 1đều là các số chính phương

a) Hãy chỉ ra ví dụ ba “số tốt” lần lượt có 1, 2,3chữ số

Ta có n  3 n  1 4;8n  1 25đều là các số chính phương

15 1 16,8 1 121

n  n  n  đều là các số chính phương

120 1 121,8 1 961

n  n  n  đều là các số chính phương

Vậy n 3,n 15,n 120là ba số tốt

b) Tìm các số nguyên kthỏa mãn k 10và4n k là hợp số với mọi n là “số tốt”

Ta có n 1và 8n 1là hai số chính phương

Nếu n 1 mod 3  n  1 2 mod 3 không thỏa mãn

Nếu n 2 mod 3  8n  1 2 mod 3 không thỏa mãn

Vậy n3

* Với k 1; 1;5; 5;7; 7; 9; 10       thì 4k 1là số nguyên tố

* Với k 0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10      

+ Nếu k chẵn thì 4n+k chẵn và 4n+k ≥ 4.3-8=4 nên 4n+k là hợp số

+ Nếu k lẻ (tức là k = -3; 3; 9) thì 4n + k chia hết cho 3 và 4n + k ≥ 4.3-3 = 9 nên 4n+k là hợp số

Vậy k 0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10      