ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG

Động lực học vật rắn

• Nếu mối quan hệ giữa hai trong số 4 biến α ω θ , , và t đã biết thì biến thứ

ba có thể được xác định bằng cách sử dụng một trong các công thức động

học thể hiện mối quan hệ giữa các biến này

d dt

• Khi lời giải đã thu được, thì hướng của α ω θ , ,

được xác định bằng dấu đại số giá trị số của

chúng

Chuyển động của điểm P

• Trong hầu hết các trường hơp, vận tốc và hai

giây Xác định độ lớn vận tốc và gia tốc của điểm A trên đĩa khi t=0.5 s

⇒

( ) ( )2 2 9 , 35 ( / 2)

s m a

a

aA = t + n =

16-13 Một môtơ truyền cho đĩa A một gia tốc góc ; với t tính bằng giây Nếu vận tốc góc ban đầu của đĩa là

thay t = 2s tính được ω = 9,1(rad/s), α =3,15(rad/s2)

Do khối B chuyển động tịnh tiến thẳng

vB = ωr = 9,1.0,15= 1,365 (m/s)

) / ( 472 , 0 15 , 0 15 ,

r

aB = α = =

16-17 Cánh quạt trên cối xay gió có trục nằm ngang đang quay với vận tốc

góc ω0 = 2rad s/ Nếu cho trước gia tốc góc , hãy xác định vận tốc góc và độ lớn gia tốc của điểm P trên đầu mút của cánh quạt khi t =3s

16-19 Bắt đầu từ trạng thái đứng yên khi s=0, Puli A quay với gia tốc góc không đổi Hãy xác định vận tốc của khối nặng B khi nó được nâng lên một đoạn s = 6 m Puli có trục D được gắn cố định với C và quay cùng với C

,0

605

,

0

15,

ω

16-22 Một môtơ tạo cho bánh răng A một gia tốc góc

, 0

8 , 62 0

4 2

0

4

25 , 0 ( 2

1 2

§8.4 Chuyển động phẳng tổng quát của vật rắn

8.4.1 Phân tích sự liên hệ chuyển động: Vận

véc tơ định vị tương đối rB/A

• Nếu các độ lớn của vA, vB hoặc ω chưa biết, hãy phán đoán và giả thiết hướng của các véc tơ đó

Phương trình vận tốc

• Để áp dụng , ta biểu diễn các véc tơ trong tọa độ Đề các rồi thay các véc tơ này vào phương trình Tính tích hữu hướng rồi cân

bằng các thành phần i, j để nhận được hai phương trình vô hướng

BÀI TẬP

16-50 Nếu đã biết h và θ và vận tốc của A và B là v A = v B = v, xác định vận

tốc góc ω của vật và hướng φ của vB

i v

v rB = − cos φ r + sin φ r

j v

i v

v i v

j v

i

sin

cos sin

=

16-54 Một máy tiện được thiết kế để các chu kỳ cắt chậm hơn và nhanh

chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C Xác định vận tốc của

con trượt tại C khi θ = 600, nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s

Bài giải:

• Phân tích véc tơ

• Sơ đồ động học: Thanh AB chuyển động

quay xung quanh trục cố định tại A Do

đó, vận tốc tại điểm B ∈ thanh AB sẽ có

phương vuông góc với thanh AB chiều

theochiều quay của ω Con chạy C

chuyển động tịnh tiến dọc theo rãnh nên

vC có phương theo phương nằm ngang

chiều từ phải sang trái

* Áp dụng CT liên hệ vận tốc

B C B

o

A B BA

B

r r

r

r r

r

0

/

60 sin 3 , 0 60

cos 3 , 0

,

=

B C B C

2 125 , 0

vC = − 1 , 04 − 0 , 0884 ωCB

0 = 0 , 6 − 0 , 0884 ωCB

) / ( 79 , 6 0884 , 0

6 , 0

s rad

Thay vào trên tính được: vC = - 1,64 (m/s)

của thanh AB và CB tại vị trí như trong hình 16-58

Bài giải:

Sơ đồ động học: Thanh AB chuuyển động quay xung quanh trục cố định qua A Điểm B ∈ AB, vận tốc điểm B có phương vuông góc với AB chiều theochiều quay của ωAB Thanh CD chuyển động quay xung quanh trục cố định qua D Điểm C ∈ CD, vận tốc điểm

C có phương vuông góc với

CD chiều theo chiều quay

của ωDC Thanh BC chuyển

động song phẳng

Áp dụng CT liên hệ vận tốc

C B C

v r = r + r /

A B A

cos 15 ,

16-60 Thanh AB có vận tốc góc là 2 rad/s Xác định vận tốc của khối C khi θ =

450 Vẽ vị trí của thanh BC khi θ = 600, 450 và 300 để chứng tỏ chuyển động phẳng tổng quát của nó

Bài giải:

Sơ đồ độnghọc:

Thanh AB chuyển động quay xung

quanh trục cố định qua A, vB có

phương vuông góc với AB chiều

trên hình vẽ Con chạy C chuyển

v r = r + r / (1)

Chiếu (1) lên phương BC

o C

v = cos 45

) / ( 30 15

2

và B và vận tốc của khối D Giả sử rằng dây

thừng không trượt trên các ròng rọc

) / (

4 30

120

s

rad r

ω

16-75 Khối trụ B lăn không trượt trên một khối trụ A cố định Nếu thanh

nối CD quay với vận tốc góc ωCD = 5 rad/s, hãy xác định vận tốc góc của khối

D∈ tay quay CD CD chuyển động

quay xung quanh

trục cố định qua A nên vD = ωCD.AD

hay vD = 5.0,4 = 2(m/s) và v vD ⊥ A D

Áp dụng CT liên hệ vận tốc

I D I

2

s rad

ω

8.4.2 Tâm tức thời có vận tốc bằng không ( Tâm vận tốc tức thời)

Vận tốc của một điểm trên vật chịu ràng

buộc chuyển động phẳng tổng quát, có thể

được xác định bằng cách xác định vị trí của

tâm quay tức thời có vận tốc bằng không,

miễn là vị trí của IC được xác định đầu tiên

bằng cách sử dụng một trong ba phương

pháp đã nêu trên

• Khi vẽ trên sơ đồ động học trong hình

16-19, vật được hình dung là “kéo dài

và chốt” tại IC sao cho tại thời điểm

khảo sat, nó quay quanh chốt này với

vận tốc góc ω

• Độ lớn vận tốc của các điểm A, B và C bất kì trên vật có thể được xác định

bằng cách sử dụng phương trình v = ωr, trong đó, r là khoảng cách theo

các tia từ IC tới mỗi điểm đó

Phương chiều của mỗi véc tơ vận tốc v vuông góc với đường thẳng theo các

tia liên quan r, và vận tốc có hướng - dẫn tới làm di chuyển điểm đó theo hướng

nhất quán với vận tốc góc ω của đường thẳng theo các tia

chóng quay trở về lưỡi tiện được gắn vào con trượt tại C Xác định vận tốc của

con trượt tại C khi θ = 600, nếu thanh AB quay với vận tốc góc 4 rad/s

Bài giải:

2 125 2

1200

s

rad BQ

vB = =

Điểm C∈BC YvC = ωBC.CQ YvC =6,8.239,3 =1624(mm/s) = 1,63 (m/s)

16-81 Tại vị trí như hình 16-61/62, xe tải chuyển động sang phải với vận tốc

3 m/s trong khi tại B ống lăn không trượt ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc

ω = 8 rad/s Xác định vận tốc tâm G của ống

16-87 Đĩa có bán kính r được giới hạn lăn k

ài giải:

hông trượt tại hai điểm A và B

Nếu các tấm có vận tốc như hình vẽ, hãy xác định vận tốc góc của đĩa

B

16-90 Chứng minh rằng nếu vành bánh xe và trục bánh xe luôn tiếp xúc với

ba thanh khi bánh xe quay thì sẽ xảy ra hiện tượng trượt tại A nếu không xảy ra hiện tượng trượt tại B Với những điều kiện này, nếu vận tốc góc của bánh xe là

ω thì vận tốc của điểm A bằng bao nhiêu

ài giải:

B

ếu không xảy ra hiện tựơng trượt tại B thì tại B sẽ có vận tốc vB = 0 Khi

đó điểm B chính là tâm vận tốc tức thời B ẽ sơ đồ động học nhận thấy

tại A có vận tốc vA, do đó tại A sẽ xảy ra hiệ ng trượt

o o

c

b

45 sin 75

sin = ⇒ c = 256 , 2 mm

o o

d

b

60 sin 75

sin = ⇒ d = 313 , 8 mm

= 500mm

a

16-102 Nếu con trượt A chuyển động sang phải với vận tốc vA = 8 ft/s, hãy xác định vận tốc của con trượt B và C tại vị trí như trong hình

Bài giải:

8.4.3 Phân tích mối liên hệ chuyển động: Gia tốc

hệ gia tốc có thể áp dụng cho hai điểm A và B trên một vật

bằn

c góc

T rình tự phân tích

Phương trình liên

g cách hoặc sử dụng phép phân tích vectơ Đề các, hoặc bằng cách viết trực

tiếp phương trình các thành phần vô hướng x và y

Phân tích vận tốc

• Xác định vận tố ω của vật bằng cách sử dụng phương pháp phân tích

Phân tích vectơ

ng cho các toạ độ x, y cố định và vẽ sơ đồ động học của vật

vectơ như đã thảo luận trong phần 16.5 hoặc 16.6 Đồng thời xác định vận

tốc vA và vB của các điểm A và B nếu các điểm này chuyển động trên các quỹ

đạo cong

Sơ đồ động học

• Thiết lập hướ

Biểu diễn các thành phần aA, aB, ω, α, và rB/A

Nếu các điểm A và B chuyển đ ng theo các q

• Áp dụng phương α × rB/A rB/A để biểu diễn các vectơ

• ết quả âm đối với một biến chưa biết nào đó thì ta phải

Phân tích vô hướng

ụng phương trình aB = aA + (aB/A )t + (aB/A)n thì cần phải thiết

2ω

−

dưới dạng vectơ Đề các và thay chúng vào phương trình Tính tích hữu

hướng và cân bằng(đồng nhất) các thành phần i và j để thu được hai phương

trình vô hướng

Nếu bài toán cho ta k

đổi hướng của vectơ trong sơ đồ động học

Sơ đồ động học

• Nếu muốn áp d

lập độ lớn và hướng của các thành phần gia tốc tương đối (aB/A )t và (aB/A)n

Để làm được điều này, ta phải vẽ sơ đồ động học như trong hình 16-23c Do vật được coi là bị chốt tức thời tại điểm cơ sở A, nên độ lớn của các thành phần gia tốc là (aB/A)t = αrB/A và (aB/A)n = ω2rB/A Hướng của chúng được

thiết lập từ sơ đồ động học đó là, (aB/A )t có phương vuông góc với rB/A, tuân

theo chuyển động quay của vật, và (a α B/A)n có hướng từ B đến A.*

Phương trình gia tốc

• Biểu diễn các vectơ trong phương trình aB = aA + (aB/A )t + (aB/A)n dưới dạng

đồ thị bằng cách biểu diễn hướng và độ lớn của chúng dưới mỗi số hạng Các

phương trình vô hướng được xác định từ các thành phần x và y của các vectơ

này

16-107 Tại thời điểm cho trước, đỉnh thanh tại A có vận tốc và gia tốc như

hình 16-107 Hãy xác định gia tốc của chân thanh tại B và gia tốc góc của thanh

tại thời điểm đó

o t

A B

o t

A

a sin 30 sin 60 7

10 2

3

1 10

có vận tốc v C = 4 ft/s và gia tốc a C = ft/s3 2 như trên hình 16-110

Bài giải:

16-114 Đĩa chuyển động sang trái với gia tốc góc α = 8 rad/s2 và vận tốc góc ω = 3 rad/s tại thời điểm như hình vẽ Nếu không xảy ra trượt tại A; Hãy xác định gia tốc của điểm D

Bài giải:

16-121 Tại thời điểm cho trước, thanh AB chuyển động quay như hình vẽ

Hãy xác định vận tốc và gia tốc của con trượt C tại thời điểm này

16-126 Đĩa lăn không trượt có gia tốc góc α = 4 rad/s2 và vận tốc góc ω = 2

rad/s tại thời điểm như hình vẽ Hãy xác định gia tốc của điểm A, B trên thanh và gia tốc góc của thanh tại thời điểm trên Giả sử rằng điểm A nằm trên vành đĩa cách tâm C 150mm

• Chọn một vị trí thích hợp của gốc toạ độ và hướng hợp lý của các trục đối

với cả hệ toạ độ X, Y, Z và hệ toạ độ động x, y, z

• Thông thường lời giải có được dễ dàng nhất nếu chú ý các điểm sau:

(1) Các gốc toạ độ trùng nhau

(2) Các trục tương ứng cùng nằm trên một đường thẳng

(3) Các trục tương ứng song song với nhau

• Hệ toạ độ động nên chọn cố định với vật rắn hoặc các thiết bị mà dọc theo đó xảy ra chuyển động tương đối

Các phương trình động học

• Sau khi xác định gốc toạ độ A của hệ toạ độ động và xác định điểm B chuyển

động, phương trình 16-24 và 16-27 nên được viết dưới dạng kí hiệu (symbolic form)

vB = vA + Ω × rB/A + (vB/A)xyz

aB = aA + Ω& × rB/A + Ω × (Ω × rB/A) + 2 Ω × (vB/A)xyz + (aB/A)xyz

• Các thành phần Đề các của tất cả các véc tơ này có thể được biểu diễn dọc

theo các trục X, Y, Z hoặc các trục x, y, z Các vectơ đơn vị ta chọn tuỳ ý, nhất

quán

• Chuyển động của hệ toạ độ động được biểu diễn bằng các thành phần vA, aA,

, và ; và chuyển động của điểm B trong hệ toạ độ động được biểu diễn

bằng các thành phần r

Ω Ω&

B/A, (vB/A)xyz và (aB/A)xyz

BÀI TẬP

16-131 Khối A gắn với một dây thừng nhỏ chuyển động dọc theo một rãnh

của thanh hình chữ U nằm ngang Tại thời điểm khảo sát, dây thừng bị kéo

xuống qua một lỗ tại O với gia tốc 4 m/s2 và vận tốc của nó là 2 m/s Hãy xác

định gia tốc của khối A tại thời điểm này Thanh quay quanh O với vận tốc góc

không đổi ω = 4 rad/s

Bài làm:

*Các trục toạ độ: Gốc toạ độ của

các hệ toạ độ đặt tại O Chuyển động

của khối A trong rãnh là chuyển

đối Hệ toạ độ động ox được

a A = aO + × r Ω& A/O + Ω × (Ω × rA/O) + 2 Ω × (vA/O)xyz + (aA/O)xyz (2) Xác định các thành phần trong biểu thức (2)

Chuyển động của hệ toạ độ di động

Từ phương trình 2, gia tốc Coriolit được xác định như sau:

aCor = 2 × (vΩ A/O)xyz = 2 (4 k) × (-2i) = {-16j} m/s2

a r { } { k r k r i r } { r j } i r

3 16

1 , 0 4

4 0

16-134 Khối B chuyển động dọc theo rãnh trên tấm tròn với tốc độ không

đổi là 2 ft/s được tính tương đối so với tấm theo hướng như trên hình vẽ Nếu tấm quay với vận tốc góc không đổi ω = 5 rad/s, hãy xác định vận tốc và gia tốc của khối tại thời điểm θ = 600

Bài giải:

Các trục toạ độ. Gốc toạ độ của hệ toạ độ cố định và chuyển động được đặt tại

điểm O Hệ trục cố định X, Y, Z và hệ động x, y, z chọn như trên hình vẽ

Các phương trình động học

vB = vO + Ω × rB/O + (vB/O)xyz (1)

aB = aO + × rΩ& B/O + Ω × (Ω × rB/O) + 2Ω × (vB/O)xyz + (aB/O)xyz (2)

Tất cả các vectơ được biểu diễn dưới dạng các thành phần i, j, k

Chuyển động của hệ toạ

Thay vào phương trình (1) và (2) được:

vB = vO + × rΩ B/O + (vB/O)xyz

3

2 5

2 2

3

2 5

5 0

+

=

( 2)

m/s } 70 9

, 28

a rB = − r − r

16-139 Thanh AB quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc không đổi

ω = 3 rad/s Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm C nằm trên vòng trượt

kép khi θ = 450 Vòng trượt bao gồm hai con trượt được gắn chốt với nhau và bị

ràng buộc chuyển động dọc theo quỹ đạo tròn và thanh AB

Bài giải:

16-141 Khối B của cơ cấu trên hình 16-141

bị ràng buộc chuyển động dọc theo rãnh của

thanh CD Nếu thanh AB quay với vận tốc góc

không đổi ωAB = 3 rad/s, hãy xác định vận tốc

góc và gia tốc góc của thanh CD tại thời điểm

khảo sát

Bài giải: