Chuyên đề các bài toán về phân số (53 trang)

TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phân số là sự biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tỉ lệ của hai số nguyên, trong đó số ở trên được gọi là tử số, còn số ở dưới được gọi là mẫu số.. Muốn so sá

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa: Phân số là sự biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng tỉ lệ của hai số nguyên, trong đó số ở trên

được gọi là tử số, còn số ở dưới được gọi là mẫu số Điều kiện bắt buộc là mẫu số phải khác 0

Kí hiệu a

b trong đó: a là tử số; blà mẫu số (a,blà số nguyên, b0)

Tính chất phân: 1 1

a a

Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu dương rồi so sánh các tử lại với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Từ lý thyết cơ bản ta rút ra nhận xét sau:

Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0

Phân số có tử và mẫu là 2 số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0

Nếu hai phân số có cùng mẫu số thì phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn

Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn

Kết hợp vận dụng Tính chất bắc cầu của thứ tự: a c

b d và c m

d  n thì a m

b  n , trong đó việc phát hiện ra một số trung gian để làm cầu nối là rất quan trọng

Phân tích: Để giải quyết bài này ta cần phân tích tử và mẫu thành tích bằng cách áp dụng tính chất

phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ

10.11 5.10.11.5 7.10.11.711.12 11.5.12.5 11.7.12.7

b k b

a b



( loại)

164

- Đối với bài toán trên với n5;3;11 đều là số nguyên nhưng khi thay vào A thì không được giá trị nguyên vì: theo bài ra thìn10 2n8n10 n4 nhưng không có điều

Nếu a1 ta tìm được n và kết luận

Nếu a1 ta tìm được n cần thử lại rồi kết luận

Ví dụ 1.4: Chứng minh rằng phân số 2 3

n n

Nếu d 2 ta thấy 6n4 2 n còn 21n3 2 khi n lẻ

Nếu d 11 thì 21n3 11 22n n 3 11 n3 11   n 3 11k  n 11k3k  Với n11k3 thì 6n 4 6 11 k  3 4 66k22 11 6n4 11

Vậy n lẻ hoặc n11k3 thì phân số 21 3

n A n

12 4

21 7611

S

Ví dụ 2.3: Tính tổng sau

11 19 29 41 55 71 89 1091

6 12 20 30 42 56 72 90

S          Lời giải:

11 19 29 41 55 71 89 1091

3 4 5 101 101 .

11

Phân tích: Vế trái là tích của các phân số với tử số là những số tự nhiên liên tiếp, còn mẫu số là 2

Vế phải là tích của các số tự nhiên lẻ liên tiếp Từ nhận xét này, ta nghĩ đến việc biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách thêm bớt các số chẵn xen kẽ giữa chúng

Lời giải

1.2.3.4.5 17.18.19.20 1.2.3.4.5 17.18.19.201.3.5 17.19

Bình luận: Đây là dạng toán hay gặp khi chứng minh đẳng thức liên quan đến phân số, giá trị cụ thể

của từng vế khó tính, có nhiều chữ số Tuy nhiên bằng cách sử dụng thêm bớt, tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân, ta vẫn có thể chứng minh đẳng thức mà không cần tính giá trị cụ thể của

Phân tích: Tử số và mẫu số của vế trái đều có dạng là tổng của các tích, vì thế ta nghĩ ngay tới việc

phân tích tử, mẫu để được nhân tử chung và rút gọn

Phân tích: Nhận thấy mẫu số của vế trái là tổng của các phân số có tử bằng 1, còn mẫu số là các số

tự nhiên liên tiếp, nên việc tính kết quả của mẫu số sẽ gặp nhiều khó khăn, hơn nữa việc phân tích mẫu số cũng không khả thi, từ đó ta nghĩ đến việc phân tích tử số theo mẫu số Tử số là tổng của các

phân số có tính chất đặc biệt: tử cộng mẫu của các phân số trên tử đều giống nhau và bằng 20, vậy nên ta nghĩ đến việc cộng tất cả các phân số trên tử số cho 1

Bình luận: Tử số là tổng các phân số có tính chất đặc biệt, nếu tổng của tử và mẫu của từng phân

thức bằng nhau thì ta cộng mỗi phân thức cho 1, nếu hiệu của tử và mẫu của mỗi phân thức bằng

nhau thì ta trừ mỗi phân thức cho 1

Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Phân tích: Vế trái là tổng hiệu xen kẽ của các phân số mà mẫu số là các số tự nhiên liên tiếp, vế

phải là tổng của các phân số mà mẫu số là các số tự nhiên liên tiếp Từ đó ta nghĩ đến việc biến đổi

vế trái thành vế phải bằng cách tách các tổng các hiệu với nhau và thêm bớt các đại lượng thích hợp

Tổng quát hóa: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Phân tích: Biểu thức A và B có dạng tổng của các phân số, trong đó mẫu số là tích của các cặp số

tự nhiên cách đều nhau Vì vậy gợi ta tới công thức

Phân tích: Trong ngoặc của vế phải có 100 số hạng, vậy nên ta nghĩ đến việc tách 100 thành 100

số 1, mỗi số 1 kết hợp với 1 hạng tử trong ngoặc

2 2 21.3 3.5 1001.1003

Dạng 5: Tìm phân số biết mối liên hệ giữa tử và mẫu

Một số điều kiện cho trước thường gặp:

 Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và nhỏ hơn phân số kia

 Viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc cùng số mẫu)

 Liên hệ về phép chia giữa phân số cần tìm với phân số đã cho

 Biết phân số bằng phân số nào đó và biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) hoặc tổng (hiệu) của tử và

mẫu

 Cộng một số vào tử hoặc mẫu được một phân số mới

Ví dụ 5.1: Tìm phân số có tử là 5, biết rằng phân số đó lớn hơn 11

12

 và nhỏ hơn 11

15



Phân tích: (Do phân số có tử số bằng 5 nên ta có thể gọi dạng số cần tìm là 5

x , sau đó ta biến đổi cả

ba phân số trên có cùng tử số Khi so sánh hai phân số cùng tử, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì nhỏ hơn Khi đó ta tìm được khoảng giá trị của x và chọn được giá trị x phù hợp

Bình luận: Bài toán thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn hơn phân số này và

nhỏ hơn phân số kia

Tổng quát hóa: Nếu bài toán cho tử số (mẫu số), biến đổi sao cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu)

rồi so sánh các phân số ta tìm được mẫu số(tử số) còn thiếu

Tương tự hóa: Tìm phân số tối giản có mẫu là 12 , biết rằng phân số đó lớn hơn 7

13 và nhỏ hơn

11

5

Ví dụ 5.2: Hãy viết phân số 11

15 dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng 1 và có mẫu số khác

nhau

Phân tích: Nhận thấy nếu mẫu số bằng 15, Ö(15)1;3;5;15 ta không tìm được bộ ba số nào có tổng bằng 11 Lặp lại cách thử này đối với mẫu và tử của phân số khi nhân cả tử và mẫu của phân số với cùng một số cho đến khi tìm được bộ số thỏa mãn Dễ thấy khi nhân cả tử và mẫu phân số với 4

Bình luận: Bài toán thuộc dạng viết phân số dưới dạng tổng các phân số đã biết cùng số tử (hoặc

cùng số mẫu) Ở dạng toán này ta phải tìm được bộ số thuộc các ước của mẫu sao cho tổng của chúng bằng tử Khi đó ta tìm được bộ phân số có tổng bằng phân số ban đầu, các phân số này có tử

số là ước của mẫu nên khi viết dưới dạng tối giản đều có tử số bằng 1

Tương tự hóa: Hãy viết phân số 5

3 dưới dạng tổng của 3 phân số có tử số đều bằng 1 và có mẫu số

khác nhau

Ví dụ 5.3: Tìm phân số tối giản a

a

b là số nguyên, vâỵ a chia hết cho

12, 25 chia hết cho b Do tính chất của phân số tối giản và lớn hơn 0 nên ta có aBCNN(7,12) và

Bình luận: Đây là dạng toán tìm phân số tối giản rất hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi Từ các

dữ kiện bài toán ta vận dụng linh hoạt các tính chất của phân số tối giản với tính chia hết để giải

Ta thấy ÖCLN(20,39) 1 Suy ra phân số 20

39 là phân số tối giản

Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là 36

Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành 20

39 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 36 Vậy phân số cần

tìm là 20.36 720

39.361404

Tổng quát hóa: Tìm phân số bằng phân số a ( ,a b 0)

đó là c Tìm phân số tối giản của a

b sau đó nhân cả tử và mẫu phân số tối giản với c ta được số cần tìm

Tương tự hóa: Tìm phân số bằng phân số 15

20, biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là 14

Ví dụ 5.5: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số

của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ?

Lời giải:

Gọi phân số tối giản lúc đầu là a

b Nếu chỉ cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số

Tương tự hóa: Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng tử số vào tử số và cộng tử số vào mẫu

số của phân số ấy thì được một phân số mới, giảm 6 lần phân số ban đầu ?

 có giá trị nguyên thì

n3 2n2 n3 2 n1 n3 n1n 1 4 n14 n1Suy ra n1 là ước của 4



Loại

52

Loại

32

81

8

Vậy n5 thì phân số 3

n n



 có giá trị nguyên thì

( loại)

52

( loại)

32

81

8

Vậy n5 thì phân số 3

n n

n n n

Vậy phân số 3 2

n n



 tối giản với mọi số tự nhiên n

Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số 18 3

21 7

n n

Với d 7 thì 21n7 7n nên để phân số 18 3

21 7

n n



 tối giản

Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:

58

n ;

6

;9

n

7

;10

n

17 ;

7

;10

n

17 ;





Bài 12: Tìm số tự nhiên n để phân số 8 193

n A n







a) Có giá trị là số tự nhiên

b) Là phân số tối giản

c) Phân số A rút gọn được với 150 n 170

Bài 13: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là các phân số tối giản:

7

;3

;4

;5

n 10

;6

.7

Bài 15: Cho ba phân số 15 49 36; ;

42 56 51 Biến đổi ba phân số trên thành các phân số bằng chúng sao cho mẫu của phân số thứ nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ 3

2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101

2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101

Phân tích: Nhận thấy các mẫu số đều là tích của hai số tự nhiên có tổng bằng 100, vậy nên ta nghĩ đến việc làm tử số xuất hiện số 100

    

n n

  và 7a4b1994

Phân tích: Ta đi tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 7a4b1994 sau đó cho các nghiệm

a b

 

Lời giải:

Do a nguyên dương nên 4t   2 0 t 1 (1)

Do b nguyên dương nên 502 7   t 0 t 71 (2)

14637

24338

150236

a b t

a t

b t

a b

Bình luận: Muốn tìm được phân số trong bài toán trên ta phải vận dụng thành thạo tìm nghiệm

nguyên dương của phương trình bậc nhất thoả mãn điều kiện cho trước

Tương tự hóa: Tìm phân số a

b thoả mãn điều kiện:

a b

Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68 Cộng thêm vào tử số của phân số đó 4

đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số 3

Bài 22 So sánh giá trị của biểu thức: 3 8 9999

2012 2013

a)

2008 2009



 có giá trị lớn nhất

HƯỚNG DẪN

 là phân số tối giản

Gọi dlà ước chung của 12n 1 và 30n2ta có:

b) Tìm nđể Alà phân số tối giản

Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68 Cộng thêm vào tử số của phân số đó 4

đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số 3

a n2 , vì các phân số này đều tối giản nên n2 và a phải là

hai số nguyên tố cùng nhau

Như vậy n2 phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7;8;9; ;100 và n2 phải là số nhỏ nhất

Nên n2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100





a) Tìm nnguyên để Alà một phân số

+Nếu d 3 không xảy ra vì 21n7không chia hết cho 3

+Nếu d 7khi đó, để phân số có thể rút gọn được thì:

a)

2008 2009



 là phân số tối giản

Lời giải