Chuyên đề Ôn vào 10 Chuyên HSG Toán 9 (24 chuyên đề)

LIÊN H PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PH Ệ ƯƠ NG.

Ch ươ ng 1 CĂN B C HAI CĂN B C BA Ậ Ậ

Chuyên đề 1 CĂN B C HAI, CĂN TH C B C HAI Ậ Ứ Ậ

A Ki n th c c n nh ế ứ ầ ớ

1 Căn b c hai s h c ậ ố ọ

 Căn b c hai s h c c a s th c ậ ố ọ ủ ố ự a không âm là s không âm ố x mà

 V i ớ

Phép toán tìm căn b c hai s h c c a m t s g i là phép khai ph ng.ậ ố ọ ủ ộ ố ọ ươ

V i hai s ớ ố a, b không âm, thì ta có:

2 Căn th c b c hai ứ ậ

 Cho A là m t bi u th c đ i s , ng i ta g i ộ ể ứ ạ ố ườ ọ là căn th c b c hai c a ứ ậ ủ A, còn A đ c g i làượ ọ

bi u th c l y căn hay bi u th c d i d u căn.ể ứ ấ ể ứ ướ ấ

 xác đ nh (hay có nghĩa) khi ị

Tìm cách gi i ả Khi so sánh hai s ố và không dùng s máy tính, ta có th :ố ể

đ i Đ tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ch a d u giá tr tuy t đ i, ta s d ng:ố ể ị ỏ ấ ủ ể ứ ứ ấ ị ệ ố ử ụ

ta bi n đ i ph n trong căn th c ph n k t lu n thành d ng bình ph ng V i suy nghĩ y, cũng ế ổ ầ ứ ở ầ ế ậ ạ ươ ớ ấ

nh khai thác ph n gi thi t Chúng ta có hai h ng suy lu n:ư ầ ả ế ướ ậ

H ng th nh t ướ ứ ấ Dùng th a s 2 trong m i căn đ cân b ng b c.ừ ố ỗ ể ằ ậ

H ng th hai ướ ứ T gi thi t suy ra: ừ ả ế , dùng ph ng pháp th , đ m i căn th c ươ ế ể ỗ ứ

ch còn m t bi n.ỉ ộ ế

Trình bày l i gi i ờ ả

Cách 1 Thay vào (1) ta có:

V trái: ế

V trái b ng v ph i Suy ra đi u ph i ch ng minh.ế ằ ế ả ề ả ứ

Cách 2 T gi thi t suy ra: ừ ả ế thay vào (1) ta đ c:ượ

(thi h c sinh gi i toán l p 9, t nh H i D ng, năm h c 2007 – 2008) ọ ỏ ớ ỉ ả ươ ọ

(thi h c sinh gi i toán l p 9, TP, H Chí Minh, năm h c 2014 – 2015) ọ ỏ ớ ồ ọ

Ch ươ ng 1 CĂN B C HAI CĂN B C BA Ậ Ậ

Chuyên đề 2 LIÊN H PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PH Ệ ƯƠ NG

Tìm cách gi i ả Quan sát kĩ đ bài, ta th y có hai bi u th c trong căn có d ng ề ấ ể ứ ạ và

nên ta dùng tính ch t giao hoán và th c hi n phép tính.ấ ự ệ

Trình bày l i gi i ờ ả

Tìm cách gi i ả V i nh ng bài toán có nhi u căn “ớ ữ ề ch ng ch t ồ ấ ”, ta có th gi m b t s căn, b ng cách ể ả ớ ố ằ

đ a các căn phía trong v d ng ư ở ề ạ sau đó dùng h ng đ ng th c ằ ẳ ứ và gi i nh các ả ư

ví d trên.ụ

Trình bày l i gi i ờ ả

Ta có

.Suy ra

Ví d ụ 6: Rút g n: ọ

Gi i ả Tìm cách gi i ả

Tìm cách gi i ả Nh n xét gi thi t ậ ả ế x, y có vai trò nh nhau Phân tích t k t lu n đ có ư ừ ế ậ ể , chúng

ta c n phân tích gi thi t xu t hi n nhân t ầ ả ế ấ ệ ử

Xét

Gi i ả Tìm cách gi i ả N u thay giá tr c a ế ị ủ a và b vào bi u th c và bi n đ i thì bài toán s ph c t p, có th ể ứ ế ổ ẽ ứ ạ ể

d n đ n sai l m Bài toán có d ng đ i x ng c b n, ta có th tính t ng và tích c a ẫ ế ầ ạ ố ứ ơ ả ể ổ ủ a và b, sau đó

Nhân hai v v i ế ớ ta đ cượ

Nhân hai v c a đ ng th c (*) v i ế ủ ẳ ứ ớ ta đ cượ

b) Ch ng minh r ng s ứ ằ ố là s nguyên d ng.ố ươ

(Tuy n sinh l p 10, chuyên toán ĐHSP Hà N i, năm h c 2010 – 2011) ể ớ ộ ọ

H ướ ng d n gi i – đáp s ẫ ả ố

Bình ph ng hai v không âm, ta đ c:ươ ế ượ

.Bình ph ng hai v không âm, ta đ c:ươ ế ượ

Do a, b là hai s d ng khác nhau nên ố ươ

hay Đi u ph i ch ng minh.ề ả ứb) Đ t ặ , ta có:

Nhân hai v c a đ ng th c (*) v i ế ủ ẳ ứ ớ , ta đ c:ượ

Nhân hai v c a đ ng th c (*) v i ế ủ ẳ ứ ớ , ta đ c:ượ

Xét bình ph ng hai v ta đ c:ươ ế ượ

Xét bình ph ng hai v ta đ c:ươ ế ượ

 N u ế S đó là 64 (đã cho)ố

Ch ươ ng 1 CĂN B C HAI CĂN B C BA Ậ Ậ

Chuyên đề 3 BI N Đ I Đ N GI N – BI U TH C CH A CĂN TH C B C HAI Ế Ổ Ơ Ả Ể Ứ Ứ Ứ Ậ

m u đ c Do v y, chúng ta tìm cách gi m b t s căn m u b ng h ng đ ng th c:

.Sau đó kh th ng m u b ng cách nhân c t và m u c a m u v i bi u th c liên h p.ử ườ ẫ ằ ả ử ẫ ủ ẫ ớ ể ứ ợ

Trình bày l i gi i ờ ả

Ví d 3: ụ Th c hi n phép tính.ự ệ

b)

Gi i ả Tìm cách gi i ả Đ th c hi n phép tính, b n luôn chú ý:ể ự ệ ạ

th c hi n rút g n, chúng ta nên khai căn “ch ng ch t” tr c đã Quan sát th y, đ bi n đ i căn ự ệ ọ ồ ấ ướ ấ ể ế ổ

“ch ng ch t” này, chúng ta ch c n làm xu t hi n ồ ấ ỉ ầ ấ ệ

Do v y chúng ta có hai h ng bi n đ i nh m xu t hi n yêu c u đó:ậ ướ ế ổ ằ ấ ệ ầ

Cách 1 M i phân th c nhân c t và m u v i ỗ ứ ả ử ẫ ớ

Cách 2 Nhân hai v v i ế ớ

Gi i ả Tìm cách gi i ả Khi rút g n bi u th c ch a căn th c, chú ý các b c:ọ ể ứ ứ ứ ướ

Sau đó rút g n bi u th c v i bi n ọ ể ứ ớ ế x.

Trình bày l i gi i ờ ả

Đ t ặ , bi u th c có d ng: ể ứ ạ

V y ậ

Ví d ụ 7: Cho các s d ng ố ươ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ

Tính giá tr c a bi u th c:ị ủ ể ứ

Gi i ả Tìm cách gi i ả Quan sát gi thi t và k t lu n, chúng ta nh n th y gi a s 100 và s 10 có liên quan ả ế ế ậ ậ ấ ữ ố ố

t i nhau: ớ Do v y, suy lu n t nhiên chúng ta thay 10 bi u th c b ng ậ ậ ự ở ể ứ ằ và

bi n đ i ti p.ế ổ ế

Trình bày l i gi i ờ ả

Thay vào bi u th c ể ứ A, ta có:

th y m i bi u th c là m t dãy các phân th c vi t theo quy lu t M t khác quan sát các thành ph n ấ ỗ ể ứ ộ ứ ế ậ ặ ầtrong căn ta có: bi u th c ở ể ứ A, còn bi u th c ở ể ứ B là:

t i kĩ thu t làm tr i đ sau khi tr c căn th c có th kh liên ti p đ c Do v y, chúng ta có hai cách ớ ậ ộ ể ụ ứ ể ử ế ượ ậ

gi i sau:ả

Trình bày l i gi i ờ ả

Cách 1 Đ t ặ

TXĐ: b) Ta có: Vì

b) Tìm t t c các giá tr ấ ả ị sao cho P là s nguyên t ố ố

(Thi h c sinh gi i l p 9, TP Đà N ng, năm h c 2012 – 2013) ọ ỏ ớ ẵ ọ

H ướ ng d n gi i – đáp s ẫ ả ố

Đ t ặ khi đó bi u th c ể ứ P có d ng: ạ

a) Do đó

Suy ra

Theo câu a, ta có nên

, P là s nguyên t nên ố ố P ph i là s nguyên d ng.ả ố ươ

(3)Ư

V y bi u th c ậ ể ứ P không ph thu c vào v trí c a các bi n.ụ ộ ị ủ ế

M i s th c ỗ ố ự đ u có hai căn b c ch n đ i nhau Căn b c ch n d ng kí hi u là ề ậ ẵ ố ậ ẵ ươ ệ (g i là căn ọ

b c ậ 2k s h c c a ố ọ ủ a), căn b c ch n âm kí hi u là ậ ẵ ệ

- Công th c (1 ) dùng đ h b c m t căn th c ho c quy đ ng ch s các căn th c.ứ ể ạ ậ ộ ứ ặ ồ ỉ ố ứ

- Công th c (2) dùng đ khai căn m t căn th c.ứ ể ộ ứ

- Công th c (3) dùng đ khai căn m t tích, nhân các căn th c cùng ch s , đ đ a m t th a s ra ứ ể ộ ứ ỉ ố ể ư ộ ừ ốngoài ho c vào trong d u căn.ặ ấ

- Công th c (4) dùng đ khai căn m t th ng và chia các căn th c cùng ch s , đ kh m u c a bi u ứ ể ộ ươ ứ ỉ ố ể ử ẫ ủ ể

th c l y căn.ứ ấ

- Công th c (5) dùng đ nâng m t căn th c lên m t lũy th a.ứ ể ộ ứ ộ ừ

Tìm cách giải Đ th c hi n phép tính nhân căn b c 3 ta s d ng tính ch tể ự ệ ậ ử ụ ấ

Trình bày lời giải

Tìm cách gi i ả Bài này thú v và khó h n ví d tr c, không th ị ơ ụ ướ ể đ a v d ng ư ề ạ Do đó, đ ểtính giá tr bi u th c có d ng ị ể ứ ạ chúng ta nghĩ t i vi c l p ph ng hai v và s ớ ệ ậ ươ ế ử

d ng h ng đ ng th cụ ằ ẳ ứ sau đó phân tích đa th c thành nhân t r i tìm ứ ử ồ

B.

Trình bày l i gi i ờ ả

Áp d ng h ng đ ng th c ụ ằ ẳ ứ ta có:

mà Suy ra

Ví d 4: ụ Hãy tính giá tr bi u th c: ị ể ứ bi t:ế

Gi i ả

Tìm cách gi i ả B n ch t c a bài toán là rút g n ả ấ ủ ọ x Quan sát bi u th c ế ứ x, chúng ta nh n th y tr c h tậ ấ ướ ế

c n rút g n căn b c ba t th c và m u th c tr c B ngầ ọ ậ ở ử ứ ẫ ứ ướ ằ k thu t c a hai ví d trên, chúng ta bi n ỹ ậ ủ ụ ế

đ iổ b ng cách đ a vằ ư ề hàng đ ng th c lũy th a b c ba; đ ng th i đ tẳ ứ ừ ậ ồ ờ ặ

và xác đ nh ị a Sau đó xác đ nh ị x.

Trình bày l i gi i ờ ả

Xét

Tìm cách gi i ả Nh n th y r ng đây là nhân hai căn th c không cùng b c Do v y chúng ta c n ph i ậ ấ ằ ứ ậ ậ ầ ả

đ a v cùng b c D th y ư ề ậ ễ ấ do v y chúng ta có th ậ ể đ a căn b c 10 v căn b c 5 d a theo ư ặ ề ậ ự

công th c:ứ V i cách suy ớ lu n đó, chúng ta bi n đ i ậ ế ổ v d ng bình ph ngề ạ ươ

Tìm cách gi i ả Bài toán này có nhi u y u t gi ng nhau, do v y chúng ta có th đ t bi n m i nh m ề ế ố ố ậ ể ặ ế ớ ằ

đ a v bài toán đ n gi n h n V i cách suy lu n y chúng ta đ t ư ề ơ ả ơ ớ ậ ấ ặ (căn nh nh t) thìỏ ấ

Trong các bài toán v b t đ ng th c và c c tr thì b t đ ng th c Cô-si đ c ví nh viên kim c ng ề ấ ẳ ứ ự ị ấ ẳ ứ ượ ư ươ

b i tính u vi t trong vi c ch ng minh các b t đ ng th c khác cũng nh tìm c c tr Trong ch ng ở ư ệ ệ ứ ấ ẳ ứ ư ự ị ươtrình THCS ch y u là v n d ng b t đ ng th c Cô-si cho hai s không âm Do v y trong chuyên đ ủ ế ậ ụ ấ ẳ ứ ố ậ ềnày s ch nêu ng d ng trong vi c gi i các bài toán b ng vi c v n d ng b t đ ng th c Cô-si cho haiẽ ỉ ứ ụ ệ ả ằ ệ ậ ụ ấ ẳ ứ

Tìm cách gi i ả Gi thi t lả ế à đi u ki n liên quan các bi n v i s mũ 2, còn bi u th c ề ệ ế ớ ố ể ứ M ph n bi n có ầ ế

ch a căn Nhứ ằm bi n đ i t bi u th c ch a căn t i bi u th c không có căn và có s mũ 2, chúng ta ể ổ ừ ể ứ ứ ớ ể ứ ố

Tìm cách gi i ả Quan sát c gi thi t và k t lu n, hiả ả ế ế ậ ển nhiên chúng ta c n tách ph n bi u th c ầ ầ ể ứ B có

xu t hi n b ph n c a gi thi t đ khai thác Ph n còn l i c cùng bi n ta nhóm v i nhau đấ ệ ộ ậ ủ ả ế ể ầ ạ ứ ế ớ ể v n ậ

d ng b t đ ng th c Cô-si.ụ ấ ẳ ứ

Trình bày l i gi i ờ ả

Ta có:

Áp d ng b t đ ng th c Cô-si ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ượ

Tìm cách gi i ả Thoáng nhìn qua, chúng ta nghĩ ngay t i vi c dùng b t đ ng th c Cô-si Tuy nhiên s ớ ệ ấ ẳ ứ ẽ

là sai l m n u chầ ế úng ta nhóm và dùng b t đ ng th c Cô-si nh sau:ấ ẳ ứ ư

Sai l m th nh t là ầ ứ ấ sai l m th hai là không đúng v i đi u ki nầ ứ ớ ề ệ

Do v y chúng ta c n tách và ch n các h ng t thích h p Tr c h t d đoán d u b ng x y ra trong ậ ầ ọ ạ ử ợ ướ ế ự ấ ằ ả

b t đ ng th c khi ấ ẳ ứ và Sau đó ch n đi m r i đ kh m u v trái nh sau:ọ ể ơ ể ử ẫ ở ế ư

• xác đ nh ị m b ng cách cho ằ và suy ra T đó ta có ừcách tách

• xác đ nh ị n b ng cách cho ằ và suy ra T đó ta có ừcách tách

Tìm cách gi i ả Bài toán không có bóng dáng c a b t đ ng th c hay c c tr đ i s Tuy nhiên quan sátủ ấ ẳ ứ ự ị ạ ố

k ph n k t lu n (các ph n bi n có mũ 2), ph n gi thi t có căn b c hai và ch c n áp d ng b t ỹ ầ ế ậ ầ ế ầ ả ế ậ ỉ ầ ụ ấ

đ ng th c Cô-si m t l n cho m i h ng t cũng xu t hi n ph n bi n mũ 2 V i suy lu n t nhiên ẳ ứ ộ ầ ỗ ạ ử ấ ệ ầ ế ớ ậ ự

5.2 Cho a; b là các s không âm Ch ng minh r ng:ố ứ ằ

(Thi h c sinh gi i Toán, l p 9, t nh Quãng Ngãi, năm h c 2011- 2012) ọ ỏ ớ ỉ ọ

Hay Đi u ph i ch ng minh ề ả ứ

5.5 Cho a, b, c, d d ng Ch ng minh r ng:ươ ứ ằ

T các b t đ ng th c (1), (2), (3) c ng v v i v , ta đ c:ừ ấ ẳ ứ ộ ế ớ ế ượ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

V y giá tr l n nh t là ậ ị ớ ấ khi

5.7 V i ớ a, b, c là các s d ng th a mãn đi u ki n ố ươ ỏ ề ệ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th cị ớ ấ ủ ể ứ

(Tuy n sinh vào l p 10, THPT TP Hà N i năm h c 2014-2015) ể ớ ộ ọ

T gi thi t suy ra:ừ ả ế

5.13 Cho tam giác ABC có chu vi b ng 1 C nh ằ ạ a, b, c th a mãn:ỏ

Ch ng minh tam giác ứ ABC đ u.ề

(Thi h c sinh gi i l p 9, t nh Hà Tĩnh, năm h c 2012- 2013) ọ ỏ ớ ỉ ọ

H ướ ng d n gi i – đáp s ẫ ả ố

Theo gi thi t ả ế

Do a, b, c là ba c nh c a tam giác có chi vi b ng 1 nênạ ủ ằ

Áp d ng b t đ ng th c Cô-si, ta có:ụ ấ ẳ ứ

T ng t ta cóươ ự

T (1), (2) và (3) c ng v v i v , ta đ c:ừ ộ ế ớ ế ượ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

V y tam giác ậ ABC là tam giác đ uề

5.14 Cho x; y; z là các s không âm Ch ng minh r ng:ố ứ ằ

H ướ ng d n gi i – đáp s ẫ ả ố

Bi n đ i v ph i, ta đ c:ế ổ ế ả ượ

T ng t ta có:ươ ự

T (1), (2) và (3) c ng v v i v , ta đ c:ừ ộ ế ớ ế ượ

(Đi u ph i ch ng minh)ề ả ứ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

5.20 Cho x, y là các s d ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: ố ươ ị ỏ ấ ủ ể ứ

(Thi h c sinh gi i toán l p 9, TP H Chí Minh năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ồ ọ

(Tuy n sinh l p 10, THPTchuyên, T nh Vĩnh Phúc, năm h c 2013- 2014) ể ớ ỉ ọ

Áp d ng b t đ ng th cụ ấ ẳ ứ v i ớ ta có

T (1), (2) suy ra ừ

D u b ng ấ ằ x y ra ả khi

5.24 Cho a, b, c là các s th c d ng th a mãn ố ự ươ ỏ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:ị ớ ấ ủ ể ứ

(Thi h c sinh gi i toán l p 9, t nh Ngh An, năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ỉ ệ ọ

V y luôn luôn t n t i m t cách x p th a mãn đ u bàiậ ồ ạ ộ ế ỏ ầ

Chuyên đề 6 GI I PH Ả ƯƠ NG TRÌNH CH A N TRONG D U CĂN Ứ Ẩ Ấ

 Đ a v ph ng trình ch a d u giá tr tuy t đ i.ư ề ươ ứ ấ ị ệ ố

 S d ng b t đ ng th c, đánh giá hai v c a ph ng trình.ử ụ ấ ắ ứ ế ủ ươ

B M t s ví d ộ ố ụ

Ví d 1: ụ Gi i các ph ng trình sau:ả ươ

a)

b)

c

Gi i ả

Tìm cách gi i ả Ví d này b n thân trong câu đ u có ch a hụ ả ề ứ ằng đ ng th c Nênẳ ứ chúng ta có th đ a ể ư

v d ng ề ạ Sau đó xét các kho ng đ b giá tr tuy t đ i đả ể ỏ ị ệ ố ể gi i các ph ng trình.ả ươ

Nh n xét ậ Câu b cũng có thể gi i nh cả ư âu c Tuy nhiên đâở y chúng ta đã v n d ng b t đ ng th cậ ụ ấ ẳ ứ

đ ng th c ch x y ra khi ẳ ứ ỉ ả D a vào đó câu a cũng có th gi i đ c nh v y.ự ể ả ượ ư ậ

Ví d 2: ụ Gi i ph ng trình: ả ươ

Gi i ả

Tìm cách gi i ả Tr c khi gi i, chúng ta nên đ t đi u ki n Các bi u th c trong căn chi có bi n là b c ướ ả ặ ề ệ ể ứ ế ậ

nh t, nên chúng ta nâng lên lũy th a đ gi m b t s căn ấ ừ ể ả ớ ố

Trình bày cách gi i ả

Đi u ki n: ề ệ

V i đi u ki n trên ph ng trình (1) ớ ề ệ ươ

Tìm cách gi i ả Nh n th y vi c nâng lên lũy th a đ kh d u căn, ta đ c ph ng trình b c 4, có thậ ấ ệ ừ ể ử ấ ượ ươ ậ ể

gi i đ c b ng cách phân tích đa th c thành nhân t , song ph c t p B t đ u t ả ượ ằ ứ ử ứ ạ ắ ầ ừ g i ý cho ợchúng ta thêm ph n thích h p đ t o thành h ng đ ng th c, do đó r t t nhiên ta thêm đ cầ ợ ể ạ ằ ẳ ứ ấ ự ượ

T đó ta có l i gi i sau:ừ ờ ả

Trình b y l i gi i ả ờ ả

TXĐ:

Tìm cách gi i ả Bài toán ch có m t ph ng trình, có 2005 n s nên không thỉ ộ ươ ẩ ố ể gi i theo cách thông ả

th ng đ c Do đó chúng ta nghĩ ườ ượ t iớ vi c gi i ph ng trình b ng cách đánh giá hai v c a ph ng ệ ả ươ ằ ế ủ ươtrình

Ví d ụ 8: Gi i các ph ng trình sauả ươ

a)

b)

Gi i ả

Tìm cách gi i ả Bài toán r t ph c t p và khó tìm đ c đ ng lấ ứ ạ ượ ườ ời gi i Bài toán không th nâng lên lũyả ể

th a đ c, b i s mũ khá cao Bài toán cũng không đ i bi n đ c, b i không có nhi u đi m gi ng ừ ượ ở ố ổ ế ượ ở ề ể ốnhau Bài toán cũng không th đánh giá hai v đ c ể ế ượ Quan sát câu a, bài toán ta th cho m i v đ u ử ỗ ế ềbằng 0 t c làứ

và thì nh n đ c ậ ượ Do v yậ chúng ta dùng bi u th c ể ứliên h p đ i v i v trái đ tr c căn th c t , khi đó bài toán s gi i đ c.ợ ố ớ ế ể ụ ứ ở ử ẽ ả ượ

Cũng v i suy nghĩ nh câu a, song v i kinh nghi m đã có, tr c h t ta bi n đ iớ ư ớ ệ ướ ế ế ổ ph ng trình v ươ ề

Ph ng trình có nghi m duy nh t ươ ệ ấ

b) ĐK: Ph ng trình t ng đ ng v i:ươ ươ ươ ớ

Ph ng trình có nghi m duy nh t ươ ệ ấ

bình ph ng hai v c a ph ng trình đã cho đ c:ươ ế ủ ươ ượ

Đ i chi u đi u ki n, ta có nghi m c a ph ng trình là ố ế ề ệ ệ ủ ươ

(Thi h c sinh gi i l p 9, t nh Ngh An, năm h c 2014-2015) ọ ỏ ớ ỉ ệ ọ

Ph ng trình đã cho không có nghi mươ ệ

V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t l;à ậ ươ ệ ấ

Tr ng h p 1 Xét ườ ợ vô nghi mệ

Gi s có hai đ i l ng bi n thiên x và y, trong đó x thu c t p s D N u v i m i giá tr c a x thu c ả ử ạ ượ ế ộ ậ ố ế ớ ỗ ị ủ ộ

t p D có m t và ch m t giá tr t ng ng c a y thu c t p s th c ậ ộ ỉ ộ ị ươ ứ ủ ộ ậ ố ự thì ta có m t ộ hàm s ố

M t hàm s có th đ c cho b i b ng Tuy nhiên không ph i m i b ng đ u là hàm s Ch ng h n:ộ ố ể ượ ở ả ả ọ ả ề ố ẳ ạ

B ng ghi l i l ng các lo i áo s mi c a m t c a hàng ả ạ ượ ạ ơ ủ ộ ử

Trong b ng trên rõ ràng m i màu áo ả ỗ đ u đ c đ t t ng ng v i m t và ch m t con s y Tuy ề ượ ặ ươ ứ ớ ộ ỉ ộ ốnhiên dó màu áo không ph i là s nên quy t c cho b i b ng trên không ph i là m t hàm s ả ố ắ ở ả ả ộ ố

Ví d 2 ụ Cho hai s th c x, y sao cho: M i giá tr ố ự ỗ ị t ng ng v i y th a mãn ươ ứ ớ ỏ

H i quy t c đ t t ng ng x v i y nêu trên có ph i là m t hàm s không?ỏ ắ ặ ươ ứ ớ ả ộ ố

Gi i ả

Ta có: V i ớ Nh v y v i m t giá tr ư ậ ớ ộ ị đ c đ t t ng ng v i 2 giá tr ượ ặ ươ ứ ớ ị

y phân bi t nên quy t c đã cho không ph i là m t hàm s ệ ắ ả ộ ố

Nh n xét: ậ

M t hàm s th ng đ c cho b i công th c Tuy nhiên qua ví d trên ta th y không ph i m i công ộ ố ườ ượ ở ứ ụ ấ ả ọ

th c đ u bi u di n m t hàm s M t công th c đ m b o là m t hàm s khi m i giá tr x thu c t p ứ ề ể ễ ộ ố ộ ứ ả ả ộ ố ỗ ị ộ ậxác đ nh D đ u đ t t ng ng v i ị ề ặ ươ ứ ớ m t và ch m t ộ ỉ ộ giá tr y.ị

Ví d 3: ụ Ch ng minh r ng hàm s ứ ằ ố đ ng bi n trên ồ ế

Gi i ả