finanzmathematik, grundlagen - prinzipien - beispiele (2008)

Definition 1.5: Geometrische Folge Eine Folge a,,-y von Gliedern a, #0 heift geometrisch, wenn fiir alle néN gilt: Gis a, Bei einer geometrischen Folge ist demnach der Quotient zweier

Mathematik-Studienhilfen

Finanzmathematik Grundlagen - Prinzipien - Beispiele

Tobias Martin Finanzmathematik

Herausgegeben von

Prof Dr Bernd Engelmann

Hochschule fiir Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH)

Fachbereich Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften

Zu dieser Buchreihe

Die Reihe Mathematik-Studienhilfen richtet sich vor allem an Studenten technischer und wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen an Fach- hochschulen und Universitaten

Die mathematische Theorie und die daraus resultierenden Methoden werden korrekt aber knapp dargestellt Breiten Raum nehmen ausfuhrlich durchgerechnete Beispiele ein, welche die Anwendung der Methoden demonstrieren und zur Ubung zumindest teilweise selbstandig bearbeitet werden sollten

In der Reihe werden neben mehreren Banden zu den mathematischen Grundlagen auch verschiedene Einzelgebiete behandelt, die je nach Studienrichtung ausgewahlt werden kénnen Die Bande der Reihe kénnen vorlesungsbegleitend oder zum Selbststudium eingesetzt werden

Bisher erschienen:

Dobner/Engelmann, Analysis 1

Dobner/Engelmann, Analysis 2

Dobner/Dobner, Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Gramlich, Lineare Algebra

Gramlich, Anwendungen der Linearen Algebra

Knorrenschild, Numerische Mathematik

Knorrenschild, Vorkurs Mathematik

Martin, Finanzmathematik

Nitschke, Geometrie

PreuR, Funktionaltransformationen

Sachs, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Stingl, Operations Research — Linearoptimierung

Tittmann, Graphentheorie

Finanzmathematik

Grundlagen — Prinzipien — Beispiele

von Prof Dr Tobias Martin

FB Informatik, Mathematik und Naturwissenschaften

http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek:

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der

Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im

Internet Uber http://dnb.ddb.d-nb.de abrufbar

ISBN 978-3-446-41353-5

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt

Alle Rechte, auch die der Ubersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfaltigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht fur Zwecke der Unterrichtsgestaltung — mit Ausnahme der in den §§ 53, 54 URG genannten Sonderfalle -, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfaltigt oder verbreitet werden

Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

© 2008 Carl Hanser Verlag Munchen

http://www.hanser.de

Lektorat: Christine Fritzsch

Herstellung: Renate RoRbach

Satz: Tobias Martin, Leipzig

Umschlag: MCP - Susanne Kraus GbR, Holzkirchen

Druck und Binden: Druckhaus ,.Thomas Mintzer“ GmbH, Bad Langensalza

Printed in Germany

Vorwort

„Wozu brauche ich spater schon die Mathematik?“ Dieser und ahnlichen Fragen begegnet man an unseren Schulen und Hochschulen immer wieder Wenn die Antwort individuell auch ganz unterschiedlich ausfallt, so ist eines sicher: Ob bei der Verzinsung von Geldanlagen, der Aufnahme eines Darlehens, Kurs- und Renditevergleichen von Anleihen oder bei der Altersvorsorge — mit der Finanz- mathematik kommt friiher oder spater jeder in Berihrung

Nach der Lektiire dieses Buches werden Sie erkennen, dass sich die beschriebe- nen Formeln und Prinzipien meist intuitiv und direkt auf viele praktische Proble-

me in der Welt der Finanzprodukte anwenden lassen Dariiber hinaus werden zum Verstindnis der Zusammenhinge nur sehr wenige mathematische Kenntnisse und Techniken benotigt, ein Vorteil, den besonders der Leser ohne ausgepragte ma- thematische Vorbildung zu schatzen wei’ Dennoch: Sie halten ein Mathematik- buch in den Hianden, das die wichtigsten Grundlagen und Prinzipien der Finanz- mathematik systematisch, logisch und in klarer Formelsprache erlautert Zahlrei- che, ausfiihrlich besprochene Beispiele sind angefiigt, sie werden erginzt durch eine Reihe von Aufgaben mit Loésungen

Das Buch folgt in seinem Aufbau der klassischen Gliederung der elementaren Finanzmathematik und ist deshalb als Begleitmaterial zu vielen Kursen tiber Finanzmathematik an Hoch- und Fachschulen, allgemeinbildenden Schulen und

in Wirtschaftsunternehmen geeignet Es spricht dabei insbesondere Studierende aller Fachrichtungen sowie Beschäftigte in kaufmännischen Berufen, im Bank- und Versicherungswesen sowie in der Verwaltung an Inhaltlich reicht der Bogen von einfachen Verzinsungsfragen tiber Zahlungsstréme, Renten, Tilgungs- und Abschreibungsprozesse bis hin zu Kurs- und Renditeberechnungen

Aufgrund des beschränkten Umfangs können nur die wichtigsten Begriffe und Grundlagen erlautert werden, eine Ergänzung durch weiterfiihrende Lehrbiicher ist daher empfehlenswert Auf stochastsiche Modelle wurde ganz verzichtet Andererseits bietet die knappe Darstellung gute Mdglichkeiten, das Buch zur Priifungsvorbereitung oder auch als Formelsammlung bzw Nachschlagewerk zu verwenden Ganz in diesem Sinne sind wichtige Formeln, Definitionen, Satze und Beispiele jeweils grafisch und auch unmittelbar verbal gekennzeichnet

Mein Dank gilt meiner Familie fiir die Unterstiitzung und dem Fachbuchverlag Leipzig fiir die Aufnahme dieses Titels in die ,,Mathematik- Studienhilfen“, be- sonders Frau Christine Fritzsch, die mit zahlreichen Hinweisen in stets sehr ange- nehmer Zusammenarbeit zum Gelingen beigetragen hat

Haufig verwendete SyImbolÌe _ o5 c5 55s 255655556585 56956

Verzinsung mit Zinseszinsen

Nominal- und Effektivzinssatz

Unterperiodische Verzinsung

Stetige Verzinsung

Aufgaben

Zahlungsstréme und Aquivalenz

Aquivalenz von Kapitalien

Rente und Raten_

Renten bei einfacher Verzinsung

Renten bei Verzinsung mit Zinseszinsen

Gesamtwert und Zeitwert einer Rente

'Wechselnde Zinssätze und RatenhGhen

Ewige Renten

Kapitalaufbau und -verzehr

Renten mit variablen Raten

4.8.1 Rente mit arithmetischer Folge von Raten

4.8.2 Rente mit geometrischer Folge von Raten

Rentenperiode ungleich Zinsperiode

4.9.1 Rentenperiode gröBer als Zinsperlode

4.9.2 Rentenperiode kleiner als Zinsperiode

Kurs und Rendite

Nominal- und Realzinssatz

Der Zusammenhang von Kurs und Rendite

Kurse spezieller Tilgungsprozesse

Unterjahrliche Zahlungen

Aufgaben

LOSUNGEN .s.ssscsecscscsscecsscececsesecseccescesescesscssssescesescesessessessssessessasessesessesssseeees LT

LiteraturyerzeiChnis -<eeseseseseesesesesesessesesesssesesesesmssesesese- |7 Sachwortverzeichnis .‹.e-ese<eseesesesesseeesesesessesesesssssssesese 178

Nettobarwert einer Investition

Nettokapitalwert einer Investition

Zinssatz, Nominalzinssatz, Prozentsatz (Kap.1), Zinsintensitat (Kap 2.8) innerer Zinssatz einer Investition

exponentiell proportionaler Zinssatz

Rendite, Realzinssatz, Effektivzinssatz (Kap.2)

Tilgungssatz, Abschreibungssatz (Kap.6)

Kapital, Grundwert, BezugsgroBe (Kap 1), Nennwert (Kap.7)

Barwert

Realbarwert

Zeitwert, Kapitalwert, Restschuld (Kap.5), Rest-/Buchwert (Kap.6)

Zeitwert einer vorschiissigen Rente

Endwert

Anzahl Zinsperioden pro Jahr/pro Ratenperiode

Anzahl Zinsperioden bzw Raten-/Annuitätenperioden

Menge der natiirlichen Zahlen {1, 2, 3, .}

ZinsfuB, Prozentfu® (Kap.1)

Verzinsungs-/Aufzinsungsfaktor (je Periode), konstanter Faktor (Kap.1) Verzinsungsfolge, -funktion

Konvexitat eines Zahlungsstroms

Zinsen, Prozentwert (Kap 1)

Zinsen, Zinsanteil (Kap.5)

1 Mathematische Grundlagen

Das ,,Rechnen mit Prozenten“ ist Bestandteil der Elementarmathematik Weil

jedoch einerseits héufig Fehler beim Umgang mit Prozentangaben gemacht wer- den, andererseits eine sichere Beherrschung der einschligigen Rechenregeln in der Finanzmathematik unerlasslich ist, wollen wir die wichtigsten Grundbegriffe hier wiederholen

Prozentrechnung ist Verhdltnisrechnung: Ein bestimmter Anteil einer GrundgröfBe

wird umgerechnet in den entsprechenden Teil von 100 (,,pro cent“ (lat.) = je Hun-

dert) Wir wollen mit folgenden Variablen arbeiten:

K_ Grundwert, GrundgröBe, Basiswert, BasisgröBe, BezugsgröBe

Z_ Prozentwert (Anteil am Grundwert, kann kleiner als K, gröBer als K oder

auch negativ sein)

Der Prozentsatz i wird oft in % (,,Prozent“) angegeben, also in der Schreibweise

Das Symbol % stellt also lediglich eine abktirzende Schreibweise fiir ,,ein

Hundertstel“ dar (bzw fiir die Division durch 100)

Haufig benutzt man die Wendung ,p % von kK“, z B ,,18 % von allen giiltigen Wihlerstimmen“ Dies ist als Multiplikation des Prozentsatzes mit dem Grund- wert zu verstehen

Beispiel 1.1: Prozentsatz und ProzentfuB

a) 23% =3-= 0,23, 367 100 % = 3% = 3,67;

4% = 4 = 0,0025; 100% = l= 1 —6,8 % =—45 =—0,068

b) 18 % von 50 Mio ergibt 7% -50.000.000 = 9.000.000;

107 % von 1:20 min ergibt 1 -80s = 85,6s = I: 25,6 min m

Beispiel 1.2: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

a) Von 120 KlausurteilInehmern haben 87 die Klausur bestanden Wie hoch ist die Quote der ,,Durchfaller“ (in Prozent)?

b) Auf einen Netto-Warenwert von 1.150,00 € werden 19 % Mehrwert- steuer (MwSt.) erhoben Wie hoch ist der Mehrwertsteuerbetrag?

c) Bei einem Skontosatz von 3% ergibt sich ein Skontobetrag von 11,25 € Wie hoch war der urspriingliche Rechnungsbetrag?

— Z _ (20-87) Teilnehmer L1ðsung: 8) Ì = —=————————

1 Statt p % schreibt man gelegentlich auch p v.H (;vom Hundert”)

2.Neben der Angabe in % verwendet man auch die Angabe %o (,,in Promille” = je

Tausend) Dann ist anstelle von (1.3) zu schreiben: i = q/1000 = q %o

Oft und gerade in der Finanzmathematik will man wissen, welcher Wert aus einer vorgegebenen GrundgréBe K entsteht, wenn man sie um einen bestimmten Zuschlag crhöht (z.B Kapital um Zins) bzw Abschlag verringert (z B Rechnungsbetrag um Skonto), der seinerseits einen bestimmten festen Anteil der GrundgröBe ausmacht Fir den veränderten Wert K” = K + Z gilt dann wegen (1.2)

1.1 Prozentrechnung 11

In diesem Zusammenhang bezeichnet man

® imEalli>0(©> KÌ>K): ¡als Zuwachsrate und I +¡ als Zuwachsfaktor,

® imEalli<0(© KÌ<K): ials Abnahmerate und 1 +i als Abnahmefaktor Beispiel 1.2 (Fortsetzung): Zuwachs-/Abnahmefaktor

b) Wie groB ist der Brutto-Warenwert (inkl MwSt.)?

c) Wie hoch war der Zahlbetrag (Rechnung abziiglich Skonto)?

Umgangssprachlich bedeutet eine ,,.Erhohung von K um p %“ genau die mittels (1.4) beschriebene Multiplikation des Grundwerts K mit dem zugehGrigen Zu- wachsfaktor 1+i Diese Formulierung wird allerdings ungenau, wenn der Grundwert (auf den sich der Prozentsatz bezieht) dabei weggelassen wird Insbe- sondere beim Vergleich von Prozentsétzen zum selben Grundwert wird ihre Dif-

ferenz deshalb in Prozentpunkten (%-Punkte) ausgedriickt

Beispiel 1.3: Prozentséitze und Prozentpunkte

Der Beitragssatz zur gesetzlichen Rentenversicherung der Arbeiter und Angestellten betrug 1992 noch 17,7 %, im Jahr 2007 jedoch 19,9 % des jeweiligen Bruttoeinkommens (max der Beitragsbemessungsgrenze) Beschreiben Sie diesen Zuwachs prozentual!

Lésung: Die Steigerung betriagt 2,2 %-Punkte, bezogen auf das Bruttoeinkommen Wollte man den Beitrag 1992 jedoch als BezugsgréBe wahlen, so ist der Beitrags-

satz 2007 wegen 1+i=22% ~1,1243 um rund 12,43 % hoher als jener 15 Jahre 17,7%

zuvor M

Betrachtet man mehrere Zuwächse bzw Abschläge, so ¡ist zu beachten: Grundsätzlich lassen sích Prozentsätze nur dann sinnvoll vergleichen, addieren

oder subtrahieren, wenn sie sich auf den gleichen Grundwert beziehen Sind etwa

Z,, Z, ne N, Prozentwerte zum gleichen Grundwert K und

die zugeh6rigen Prozentsatze, so ergibt sich

K° =K+>\Z, =K+> Ki, =K(+ Di) (1.5)

Diese Gleichung ist also anzuwenden, wenn mehrere Zu-/Abschlage zugleich auf eine bestimmte Bezugsgr6Be erhoben werden

Beispiel 1.2 (Fortsetzung): Mehrere Zu-/Abschlige zugleich

a) Neben den 27,5 % Durchfallern erreichten weitere 17,5% der 120 Klausurteilnehmer die Note 4 Wie viele Teilnehmer erhielten eine No-

te 3 oder besser?

Lésung: K* ® 120 Teiln (1 —27,5% — 17,5%) = 120° 0,55 = 66 Teilnehmer @

Werden hingegen mehrere prozentuale Zu- bzw Abschlage nacheinander erho-

ben, d h., Grundwert fiir den ndchsten Zu-/Abschlag ist jeweils die bereits durch vorherige Zu-/Abschlige verdnderte Bezugsgréfe, so muss man (1.4) rekursiv

anwenden Mit entsprechenden Prozentsitzen i, ., i, ist anzusetzen

K,=K,,(0+i,), k=L n, Ky=K

Daraus ergibt sich fiir den resultierenden Wert K” = K„ durch Aufmultiplizieren:

k=l

Beispiel 1.4: Mehrere Zu-/Abschliige nacheinander

Ein Mitarbeiter zahlt nach Abzug von 15 % Personalrabatt, Aufschlag von

19 % MwSt und Abzug von 3 % Skonto 474,88 € fiir ein firmeneigenes Produkt Wie hoch ist der unrabattierte Nettoverkaufspreis?

1.1 Prozentrechnung 13

Die genannte Unterscheidung ist auch bei der Frage nach der durchschnittlichen

Zuwachsrate mehrerer Zuwachs-/Abnahmeraten i), .,i, zu treffen Darunter versteht man eine (einheitliche) Zuwachs- bzw Abnahmerate i, die bei n-maliger

Anwendung den gleichen Wert K’ liefert Mit (1.5) erhalt man bei gleichzeitig anzuwendenden Zu-/Abschlägen den Ansatz

Definition 1.1: Arithmetisches und geometrisches Mittel

Seien x, .,x,, n€ N, nichtnegative reelle Zahlen, Wir bezeichnen mit

X,+ +%,

AG ,x„)=—————D bzw GŒ, x„)=j[Xix; *X,

n

das arithmetische bzw geometrische Mittel dieser Zahlen

Die durchschnittliche Zuwachsrate berechnet sich demnach aus dem arithmeti- schen Mittel der einzelnen Zuwachs-/Abnahmeraten, d h ¡= A(¡, ., i,) Wegen

Iti = Lint Yi, )=+ Y (1ti,) = AC +i, vl ti,) (7)

veal nya

Dn

gilt diese Aussage tibrigens auch fiir die Zuwachs-/Abnahmefaktoren

Bei nacheinander anzuwendenden Zu-/Abschlagen hat man hingegen

K(1+i) aT [er d.h

1+i=zIT Ïd+i) =Gd+i L+i,) iL t 1 (1.8)

Hier ist der durchschnittliche Zuwachsfaktor also mit Hilfe des geometrischen

Mittels aus den einzelnen Zuwachs-/Abnahmefaktoren zu berechnen Beispiele dazu werden wir in spateren Kapiteln behandeln

1.2 Arithmetische und geometrische Folgen

Betrachtet man die zeitliche Entwicklung eines Kapitals an bestimmten diskreten Zeitpunkten, so hat man es aus analytischer Sicht mit Folgen reeller Zahlen zu tun Unter bestimmten Voraussetzungen geniigen diese Folgen relativ einfachen Bildungsgesetzen Mit N = {1,2,3, } wird im Folgenden stets die Menge der

natiirlichen und mit R die der reellen Zahlen bezeichnet

Definition 1.2: Folge

Eine Abbildung a:N—R, die jeder natiirlichen Zahl eindeutig eine reelle Zahl zuordnet, heiBt reellwertige Zahlenfolge oder kurz Folge Das Argument

né N heift Index und dessen Bild a, € R (n-tes) Glied der Folge

Bezeichnung: a= (a,) = (4, noir, = (Gn new

Kurz gesagt versteht man unter einer Folge nichts anderes als eine abzahlbare Menge reeller Zahlen, in der eine Reihenfolge der Elemente (durch Indizierung) festgelegt ist Gelegentlich beginnt man mit der Indizierung auch bei n=0 In diesen Fallen ist eine Folge genau genommen als Abbildung a:N, >R

aufzufassen, N, = {0,1,2, } Wir werden dies ab und zu auch so handhaben

Einige aus der Analysis bekannte Eigenschaften, die Folgen aufweisen kénnen, sind:

© (a,) heiSt monoton wachsend (bzw streng monoton wachsend), wenn fiir alle me Ñ gilt: dyii > Gn (DZW Gust > An)

e (a,) heiSt monoton fallend (bzw streng monoton fallend), wenn fiir alle néN gilt! dy <a, (bZW Ans < ay)

¢ (a,) heift alternierend, wenn fiir alle ne N gilt: a,,; a, <0

© (a,) heiSt nach oben beschrankt (bzw nach unten beschrénkt), wenn es eine Zahl Ke R gibt, so dass fiir alle ne N gilt: a4,<K (bzw a,>K)

Eine nach oben und nach unten beschrankte Folge heiBt beschraénkt

© (a,) heift konvex (bzw konkav), wenn fiir alle n> 2 gilt:

$4 +444) 24, (bzw $(a,_,+4,,,) <a, ) Man spricht auch hier von

strenger Konvexitat (bzw Konkavitat), wenn die Ungleichung fiir alle n > 2 mit

dem echten GréBer- (bzw Kleiner-)Zeichen erfiillt ist

Das Monotonieverhalten sowie die Konvexitaét bzw Konkavitat einer Folge kann aus dem Verhalten einer passenden Funktion abgeleitet werden: Ist f=f(x) eine

1.2 Arithmetische und geometrische Folgen 15

Funktion, die auf [l,oo) definiert ist, und (q,),-12, eine Folge mit a,=f(n), so

ergeben sich Monotonie- bzw Konvexititseigenschaften der Folge (a,) aus den jeweiligen Monotonie- bzw Konvexitatseigenschaften der Funktion f In einigen Beweisen werden wir diese Tatsache benutzen

Von besonderer Bedeutung ist auBerdem der Konvergenzbegriff Danach konvergiert eine Folge, wenn sich ihre Glieder mit wachsendem Index immer

mehr einer festen Zahl annahern Genauer formulieren wir (vgl [10], Def 3.3):

Definition 1.3: Konvergenz und Grenzwert einer Folge

Eine Folge (a,),-12, hei8t konvergent, wenn eine feste reelle Zahl Ae R exis-

tiert, der sog Grenzwert von (a,), so dass gilt: Zu jedem € >0 gibt es einen

Index nọ = nọ (£), So dass |a,—Al < € fiir alle n> no (€) Bezeichnung: A = lima,

noo

Eine nicht konvergente Folge heiBt divergent

Beispiel 1.5: Konvergenz und Divergenz

Man untersuche nachstehende Folgen (a,) auf Konvergenz:

a)a,=+, b)a,=(-l)"+ oc) a,=nd,deR, d)a,=q",qeER, e) a, =(1+4)"

Lésung: a) Die Folge (1,4 s2: ) ist streng monoton fallend, beschrankt (durch 0 nach unten und 1 nach oben) und konvergent, lim nd, = 0 (eine sog Nullfolge) b) Die Folge lautet (-1,4 TT + poe .), eS handelt sich um eine alternierende,

beschrankte und konvergente Nullfolge

c) Das Verhalten dieser Folge (d, 2d, 3d, 4d, .) hangt von d ab:

d> 0: streng monoton wachsend, unbeschrankt und divergent

d=0: konstante Nullfoge

d<0: streng monoton fallend, unbeschrankt und divergent

d) Das Verhalten dieser Folge (q, q’, g°, 7°, .) hangt von q ab:

q> 1: streng monoton wachsend, divergent

Die Frage, ob eine gegebene Folge konvergiert, ist nicht immer leicht zu beantworten Dazu sei auf die einschlagige Literatur zur Analysis verwiesen, z B

[10], Kapitel 3

Wir befassen uns nun mit zwei speziellen Formen von Folgen, die in der Finanz- mathematik sehr haufig auftreten: arithmetische und geometrische Folgen

Definition 1.4: Arithmetische Folge

Eine Folge (q,),<j hei8t arithmetisch, wenn fiir alle ne N gilt:

Bei einer arithmetischen Folge ist also die Differenz zweier benachbarter Folgen- glieder konstant fiir alle Indizes Kennt man zusatzlich a; =a, so ist durch Angabe

dieser Differenz d die gesamte Folge eindeutig bestimmt:

(a, a+d, a+2d, a+3d, )

Man erhilt also aus (1.9) sofort sowohl die rekursive Darstellung

a,=4, a,,,=a,+d firne N,

als auch (mittels vollstindiger Induktion) die explizite Darstellung einer arith-

Beispiel 1.6: Arithmetische Folge

Ein Unternehmen wies im Jahr 2006 einen Umsatz von 400 Mio € aus

Der Umsatz soll jahrlich um 45 Mio € gesteigert werden Welchen

Umsatz wiirde das Unternehmen im Jahr 2014 erreichen?

Lésung: a, bezeichne den Umsatz im Jahr 2005 + n Die Umsatzdifferenz zweier

aufeinanderfolgender Jahre betragt konstant 45 Mio €, es handelt sich also um

eine arithmetische Folge Wir haben also a= a, = 400 Mio €, d=45 Mio €

Mit Hilfe von Formel (1.10) ergibt sich der Umsatz im Jahr 2014 = 2005 +9 als

ay = 400 Mio € + (9-1) 45 Mio € = 760 Mio € a

1.2 Arithmetische und geometrische Folgen 17

Arithmetische Folgen sind fiir d#0 stets divergent, fiir positives d streben sie nach +0, fiir negatives d gegen —o Im Fall d=0 sind sie konstant (identisch gleich a)

Definition 1.5: Geometrische Folge

Eine Folge (a,),-y von Gliedern a, #0 heift geometrisch, wenn fiir alle néN gilt:

Gis

a,

Bei einer geometrischen Folge ist demnach der Quotient zweier benachbarter

Folgenglieder konstant fiir alle Indizes Kennt man zusiatzlich a, =a, so ist durch

Angabe des Quotienten g wiederum die gesamte Folge eindeutig bestimmt:

(a, aq, aq’, aq’, )

Man erhält also aus (1.11) analog oben sowohl die rekursive Darstellung

a, =4, 4,,,=4,q firne N

als auch (wiederum mittels vollstandiger Induktion) die explizite Darstellung

einer geometrischen Folge:

1 Die expliziten Darstellungen (1.10) und (1.12) kann man auch als Definition

einer arithmetischen bzw geometrischen Folge auffassen Bei (1.12) wird da-

durch auch der in Definition 1.5 ausgeschlossene Fall a, =0 (entspricht g = 0)

einbezogen Dies wollen wir im Weiteren so verstehen

2.Beginnt die Folge mit Index 0, so lauten die expliziten Darstellungen einer arithmetischen Folge a, =a + nd bzw einer geometrischen Folge a, =a q"

Im Beispiel 1.5d war uns bereits eine geometrische Folge begegnet (mit a=q) Nachfolgend zwei weitere Beispiele aus unterschiedlichen Bereichen

Beispiel 1.7: Geometrische Folge

Ein Aktionar schatzt ein, dass der Wert seines Aktienportfolios jahrlich

um 8 % steigen konnte Gegenwartig betragt er 6.000 € Welchen Wert

hatte dann sein Portfolio in 10 Jahren (ohne Zu- und Verkauf)?

Lésung: a, sei der Wert des Portfolios im Jahr n der Betrachtung (bezogen auf einen festen Stichtag im Jahr) Die geplante jahrliche Steigerung bezieht sich jeweils auf das Vorjahr, man hat also eine konstante jahrliche Zunahmerate von

8 % und demnach einen konstanten Zunahmefaktor đ„,/4„= 1+i=q=1,08 Die

Portfoliowerte bilden also eine geometrische Folge Wenn der Portfoliowert am Stichtag a, = a= 6.000 € beträgt, so ist er in 10 Jahren gleich aj419 =a, =a) gq’

=6.000 €' 1,08'°= 12.953,55 € m

Beispiel 1.8: Geometrische Folge

Die Masse a eines radioaktiven Stoffes zerfallt wahrend der Halbwert- zeit T zu 50 % Nach wie viel Perioden der Lange T ist weniger als 1 % der Ausgangsmasse vorhanden?

Lésung: a, sei die vorhandene Masse nach n—1 Perioden der Linge 7 Dann

bildet (a,,) eine geometrische Folge mit a, =a und g=0,5 Also ist anzusetzen a,=a -0,5”1! <0,01-a

Diese Ungleichung ist äquivalent zu 100 < 2” © ø—1 > log; 100 = #199 ~ 6,64

Nach 7 Perioden ist damit weniger als 1 % der Ausgangsmasse vorhanden M Die Eigenschaften einer geometrischen Folge hangen von a und g ab:

e Fiir lgi<1 konvergiert die Folge gegen Null Im Fall g=1 ist sie konstant (identisch gleich a) und fiir alle anderen q divergiert sie

® Monotones Verhalten weist die Folge fiir g>0 auf Bei positivem a ist sie beispielsweise streng monoton wachsend fiir g > 1, aber streng monoton fallend

fiir 0<q<1

¢ Fir g <0 ist die Folge alternierend

Sehr oft interessiert man sich fiir Summen von Folgengliedern Dabei treten immer wieder die Summen der ersten n Glieder sowie die Summe tiber alle Folgenglieder auf Dies fiihrt zu folgender

Definition 1.6: Partialsummen und Reihe

Gegeben sei eine Folge (a,),<y- Dann heift s, =)\a, n-te Partialsumme

1.2 Arithmetische und geometrische Folgen 19

Wenden wir diese Begriffe nun auf die oben definierten arithmetischen bzw geometrischen Folgen an Im Falle einer arithmetischen Reihe gilt

5,5 va = Yi (a+(k-Dd) = 2Ÿ 1+4 Š (k=) = antd yk,

(Partialsumme einer arithmetischen Folge, Startindex 1)

Durch Umformung erhalt man aufgrund von (1.10)

Sy =2Ga+(n—1)d) =sta+a+0r=D4) =5 +a,) (1.14)

Diese alternative Summenformel kann man bequem anwenden, sofern das letzte

zu addierende Folgenglied a, bekannt ist

Beispiel 1.6 (Fortsetzung): Endliche arithmetische Reihe

Zu bestimmen ist die Summe der Umsitze fiir die Jahre 2006 bis 2014 des Unternehmens (bei Eintreten der geplanten Steigerungen)

Losung: 8, =a-9+d-*8=400 Mio €-9 +45 Mio € 38 = 5.220 Mio €

Alternative: s5 =4(a, + a),) =4,5-(400+760) Mio € = 5.220 Mio.€ m

Im Falle einer geometrischen Reihe lauten die Partialsummen fiir alle ne N

(Partialsumme einer geometrischen Folge, Startindex 1)

Dies ist die sog Summenformel fiir die endliche geometrische Reihe

Beispiel 1.10: Endliche geometrische Reihe

Ein Unternehmen will seinen Gewinn von gegenwartig 10 Mio € jahrlich

um 8 % steigern Welcher Gesamtgewinn wiirde dann in diesem und den nachsten 4 Jahren zusammen anfallen?

Lésung: Die jaéhrlichen Gewinne des Unternehmens bilden eine geometrische Folge mit a= 10 Mio € und g=1+8 % = 1,08 Die (kumulierten) Gesamtgewin-

ne engeben also eine a Reihe, d h

ne

s= ag" = lim > aq" = limat lia (1.16)

kl noe el noe q-l 1-q Als Anwendung von Summenformel (1.15) berechnen wir noch die Partialsum- men von a, = nx" fiir x # 1, die spiiter benétigt werden:

um die Bestimmung von Nullstellen reeller Polynome

Zu den Eigenschaften von Polynomen sei auf die zahlreiche Literatur verwiesen,

z B [10], Abschnitt 6.1, uns interessiert hier vor allem, wie Nullstellen eines

gegebenen Polynoms berechnet werden kénnen Ist der Grad des Polynoms P=p (x) gréBer als 4, so gibt es keine expliziten Lésungsformeln mehr Haufig kennt man in finanzmathematischen Anwendungen aber eine Naherung der gesuchten Nullstelle € des Polynoms p Es bieten sich daher numerische Nahe-

rungsverfahren (Iterationsverfahren) an, die eine Nullstelle iterativ mit hinrei-

chender Genauigkeit bestimmen, ausgehend von der bekannten oder aufgrund des Sachverhalts vermuteten Näherungslösung als Startwert Damit berechnet man sukzessive Verbesserungen, bis die Nullstelle mit hinreichender Genauigkeit angegeben werden kann Genauer gesagt liefert ein solches Iterationsverfahren

eine Folge (x,)n=12, von Naherungswerten tiber die Iterationsvorschrift

(1) das Bisektionsverfahren (Intervallschachtelung),

(2) die Regula falsi oder Weiterentwicklungen, z B das Illinois- oder Pegasus-

Verfahren (Sekantenverfahren),

(3) das NEWTON-Verfahren (Tangentenverfahren)

Aus Platzgriinden soll auch beziiglich dieser Iterationsverfahren auf die Literatur

verwiesen werden, fiir (1), (3) siehe z B [12] oder [10] und fiir (2) z B [4]

Hinweis: Die genannten Methoden dienen nicht ausschlieBlich fiir die Nullstellen- suche bei Polynomen, sondern ebenso bei beliebigen stetigen (im Falle des

NEWTON-Verfahrens stetig differenzierbaren) Funktionen

Das Problem besteht bei der konkreten Anwendung darin,

— ob das Verfahren mit dem gewihlten Anfangswert iiberhaupt konvergiert und

— ob es gegen die gewiinschte Nullstelle von p konvergiert

Das kann aber bei den hier interessierenden Polynomen immer abgesichert werden, evtl sind dazu die Startwerte geringfiigig zu verandern

1.4 Ungleichungen

Einige wichtige Ungleichungen werden wir — insbesondere fiir Beweise — nutzen

Im Abschnitt 1.1 traten das arithmetische und das geometrische Mittel auf Zwi- schen beiden besteht folgende Relation:

von nacheinander anzuwendenden Zu-/Abschlagen Dies folgt aus (1.7’), (1.8)

Eine weitere wichtige Beziehung stellt die sog BERNOULLIsche Ungleichung

dar Wenn x>-1 eine reelle Zahl ist und ne N, so gilt stets (1+x)">1+nx In

unseren Anwendungen wird i d R x>0 gelten, der Exponent kann jedoch durch- aus eine gebrochene Zahl sein Wir verallgemeinern deshalb zu

Satz 1.1: BERNOULLIsche Ungleichung

Seien x und @reelle Zahlen mit x >0, a@>0 Dann gilt

(1) Eũr x=0 ist (I+>x)' =l+@x=l

(2) Fiir x >0 ist

>l+ax fallsa>1,

<l+a falls0<a@<\l

Beweis: Wir setzen f(x) =(1 +x)*—(1 + @) fiir festes @>0 und wollen das Vor-

zeichen dieser stetig differenzierbaren Funktion untersuchen Offensichtlich gilt

f(0)=0, woraus (1) folgt Nehmen wir nun ein beliebiges x>0 an Fiir die Ableitung ergibt sich ƒ (x) = %1 +x)#!~ ø

1 Fall: @>1 Dann gilt f’(x) >0 mo f(x) >0

2 Fall: a= 1 Offensichtlich ist f(x) =(1+x)'— 1-1-x=0

3 Fall: 0< @< 1 Diesmal gilt f’(x) <0 my ƒ0)<0

Damit haben wir die Behauptung (2) gezeigt o

Einem Angestellten werden monatlich 34,56 € Kirchensteuer abgezogen, das

sind 9 % seiner Lohnsteuer Zu berechnen ist der (durchschnittliche) Lohn-

steuersatz bei seinem Monats-Bruttogehalt von 2.300 €

Herr Pfiffig kauft beim Handler A das Auslaufmodell eines PKW zum Preis

von 19.950 € (inkl 19 % MwSt.)

a) Beim Handler B wire der Nettopreis (ohne MwSt.) um 3 % hoher als bei

A gewesen Wie viel hatte Herr Pfiffig dort bezahlt? Was fallt auf?

b) Beim Handler A war das Fahrzeug in den letzten 5 Jahren um je 5 % (ge- geniiber dem Vorjahr) netto billiger geworden Wie viel kostete es vor 5 Jahren inkl MwSt bei einem damaligen MwSt.-Satz von 16 %?

c) Wie viel % zahlt Herr Pfiffig jetzt weniger als vor 5 Jahren?

d) Um wie viel % erhdht sich der Preis in den nachsten 3 Jahren durch-

schnittlich pro Jahr, wenn er im nachsten Jahr um 7,1 % zunimmt, im tibernachsten Jahr um 3,9 %, dann aber um 2,1 % fallt?

Die Wahl zum 4 Sáchsischen Landtag am 19.9.2004 ergab folgende Stimm-

anteile: CDU 41,1 %, PDS 23,6 %, SPD 9,8 %, NPD 9,2 %, FDP 5,9 % und

Griine 5,1 % Die iibrigen Parteien erhielten unter 5 % (auch keine Direkt- mandate) und sind deshalb nicht im Landtag vertreten

a) Wie lautete die Sitzverteilung bei insgesamt 120 Abgeordneten, wenn ein reines Verhältniswahlrecht angewendet worden wire?

b) Im vorherigen Landtag, der 1999 gewahlt wurde, waren nur CDU, PDS und SPD vertreten Bei diesen 3 Parteien gab es folgende Veranderungen

bei den Stimmanteilen (in %-Punkten): CDU -15,8, PDS +1,4, SPD -0,9

Welche Veränderungen bei den Sitzen gab es demzufolge 2004 gegen- iiber 1999, wenn die CDU jetzt zusitzlich 3 Uberhangmandate besitzt, die PDS und SPD je eines?

Gegeben ist eine arithmetische Folge (a,),.12, mit a=2 und d=S

Bestimmen Sie a, aj, dss, $1, 5 und 5,1!

Gegeben ist eine geometrische Folge (dy)n<12, mit a=0,25 und =2

Bestimmen Sie a, ds, địọ, 52, Ss und 5,,!

Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms f(x) =x*-2x-—2 im Intervall [1, 2] mit Hilfe verschiedener Iterationsverfahren!

2.1 Verzinsungsmodelle

In einer Volkswirtschaft besitzt jede (handelbare) Ware oder Dienstleistung einen

Preis als den in Geld ausgedriickten Wert Die Faktoren, welche die Héhe des Preises beeinflussen, sind dabei von ganz unterschiedlicher Natur Stellt eine natiirliche oder juristische Person (Glaéubiger) einer anderen Person (Schuldner)

vortibergehend Geld zur Verfiigung (ein Kapital), so ist auch dies eine Dienst- leistung Der Schuldner entrichtet dem Glaubiger dafiir i Allg ein Nutzungsent- gelt, den Zins bzw die Zinsen Die Héhe der Zinsen hangt ab von

e der Hohe des Kapitals,

e der Dauer der Nutzung durch den Schuldner,

e dem speziell vereinbarten Zinssatz (s u.)

Kapital >

Schuldner Kapital + Zinsen Bild 2.1:

Zahlungen zwischen Glaubiger und Schuldner

Glaubiger

In den meisten Fallen werden die Zinsen einmalig oder in regelmaéBigen Zeitab-

standen fallig, d.h., der Schuldner muss dem Glaubiger die Zinsen zu einem

bestimmten oder regelmafig wiederkehrenden Zeitpunkten zahlen, solange er das Kapital des Glaubigers zur Verfiigung hat Bei der Art der Zahlung dieser Zinsen werden grundsiatzlich zwei Formen unterschieden:

Modell 1: Direkte Zahlung der Zinsen an den Glaubiger zum Falligkeitstermin

Modell 2: Gutschrift der Zinsen (beim Schuldner) und Saldierung zum Kapital Die Falligkeitszeitpunkte der Zinsen heiSen Zinszuschlags- bzw Zinszahlungs-

termine Die (positive) Differenz zweier aufeinander folgender Zinszuschlags-

termine bezeichnet man als Zinsperiode Ublich sind Zinsperioden von einem Jahr, einem halben Jahr, einem Vierteljahr oder einem Monat Beim Modell 1 bleibt die Héhe der Schuld wahrend der Nutzungsdauer des Kapitals unverdn-

dert, weil die Zinsen an den vereinbarten Zinszahlungsterminen dem Glaubiger

zuflieBen Man spricht in diesem Fall von einfachen bzw linearen Zinsen An-

ders ist die Situation im Modell 2: Hier werden die Zinsen zwar einem Konto des Gläubigers gutgeschrieben, dieses Konto wird jedoch beim Schuldner gefiihrt,

2.1 Verzinsungsmodelle 25

dem diese Zinsen praktisch noch zur Verfiigung stehen Damit erhdht sich das Kapital, das der Schuldner zur Verfiigung hat, um die jeweiligen Zinsen Am nachsten Zinszahlungstermin sind dann Zinsen auf (schon gutgeschriebene) Zin- sen fallig, die sog Zinseszinsen (auch geometrische Zinsen) Bei beiden For- men handelt es sich um sog Verzinsungsmodelle

Oft wird vereinbart, dass iiber gewisse Zeitréume nur das anfangs zur Verfiigung gestellte Kapital und nicht eventuelle, bereits friiher gutgeschriebene Zinsen ver- zinst werden Diese Form ist mathematisch dem Modell 1 dquivalent, selbst wenn der Glaubiger die Zinsen nicht sofort bekommt Zwar ist dann eine solche Ver- fahrensweise finanzmathematisch inkorrekt, die einfache Verzinsung ist aber rechnerisch leichter zu handhaben und liefert fiir kurze Zeitraume Ergebnisse, die nicht gravierend von denen des Zinseszinsmodells abweichen

Werden die Zinsen am Ende einer Zinsperiode fallig (Zinszuschlagstermin = letzter Tag der Zinsperiode), so spricht man von nachschiissiger (bzw dekursi- ver) Verzinsung, sind sie jedoch bereits am Anfang einer Zinsperiode fallig (Zinszuschlagstermin = erster Tag der Zinsperiode), so liegt vorschiissige (bzw

antizipative) Verzinsung vor (Bild 2.2) Wir werden sehen, dass diese Unter-

scheidung aus Sicht der Finanzmathematik nur fiir Zinseszinsmodelle relevant ist

vorschissige nachschũssige Vor- und nachschiissige

Beispiel 2.1: Vor- und nachschiissige Verzinsung

Eine Bank (Glaubiger) stellt einem Kunden am 1.10.2007 ein Darlehen

tiber 10.000 € zur Verfiigung Sie verlangt dafiir bis zur Riickzahlung mo- natlich nachschiissig 100,00 € Zinsen Wie lauten die Zinszahlungstermi-

Allgemeine Voraussetzungen:

Z1 Die Zinsen je Zinsperiode sind proportional dem zu Beginn der Periode zur

Verfiigung gestellten Kapital

Z2 Die Zinsperiode ist ein ganzer Bruchteil eines Jahres

Z3 Alle Zahlungen erfolgen mit Sicherheit zu den vorgesehenen Terminen

Die erste Bedingung Z1 erscheint sinnvoll und garantiert die Linearitaét der Zin-

sen als Funktion des Kapitals, d h.:

¢ Die Summe der Zinsen auf zwei Kapitalien ist stets gleich den Zinsen auf die

Summe der Kapitalien Es spielt also keine Rolle, ob ein bestimmter Geldbe-

trag insgesamt oder in Teilen verzinst wird

e Die Zinsen auf das Vielfache eines Kapitals sind gleich diesem Vielfachen der

Zinsen auf das einfache Kapital

Dennoch findet man in der Praxis auch andere Modelle So bieten zahlreiche Banken Sparkonten an, bei denen der Zinssatz gestaffelt ist und von der Hohe des

Guthabens abhangt Dabei wird fiir gr6Bere Kapitalwerte oft ein héherer Zinssatz gewahrt, um den Sparer dazu anzuregen, einen mdglichst groBen Geldbetrag

anzulegen Ein weiterer Grund ist die Tatsache, dass die Kosten, die dem Kredit- institut durch das Sparkonto entstehen, gr6Stenteils nicht von der Hohe der Einla-

gen abhingen, so dass sie mit wachsendem Guthaben relativ gesehen abnehmen Die zweite Bedingung Z2 ist lediglich technischer Natur, um den Formelapparat nicht unnotig aufzublahen Sie wird aber auch praktisch tiberall eingehalten, da

Kreditinstitute und Finanzdienstleister spatestens nach Ablauf eines Jahres alle

Konten abrechnen Die dritte Voraussetzung Z3 schlieBt die Ausfallméglichkeit von Zahlungen aus Wollte man dies beriicksichtigen, so waren Instrumente der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich

2.2 Das 1-Perioden-Modell

Wir betrachten zunächst die Verzinsung in einer Zinsperiode Sie beginne auf

einer Zeitachse zum Zeitpunkt ¢ = 0 und soll bei t= 1 enden

1-Perioden-Modell:

e Die Verzinsung eines Kapitals wird nur tiber eine Zinsperiode betrachtet

e Geldfliisse (sowohl Kapital als auch Zinsen) kénnen nur zu Beginn und am

Ende der Zinsperiode erfolgen Anders gesagt: Nur Beginn (t= 0) und Ende

(t= 1) der Zinsperiode sind mégliche Handelszeitpunkte fiir die Ware Geld

2.2 Das 1-Perioden-Modell 27

setzung Z1 ist Z proportional zu K, es gibt also einen (von K unabhängigen) Pro-

portionalitatsfaktor 7, so dass gilt

Ein Vergleich mit Formel (1.2) macht klar: Im Sinne der Prozentrechnung ist Z

der Prozentwert zum Grundwert K mit dem Prozentsatz i bzw dem ProzentfuB p

Es gilt demnach gemaB (1.1) und (1.2)

Z_, Pp

Definition 2.1: Zinssatz

In der Zinsrechnung bezeichnet man i gem (2.2) als Zinssatz bzw Zinsrate

(engl.: interest rate bzw nur rate) und p als ZinsfuB der Zinsperiode Wenn die Zinsperiode ein Jahr betragt, so ist i der Jahreszinssatz bzw die Jahreszins-

rate und p der JahreszinsfuB

Der Faktor g = 1 +i heiSt Verzinsungsfaktor (auch Aufzinsungsfaktor, eng].:

accumulation factor) und sein reziproker Wert d= 1/(1 + i) Abzinsungs- bzw Diskontierungsfaktor (engl.: reduction factor) zum Zinssatz i

Bemerkungen:

1.In nahezu allen praktischen Anwendungen gilt i>0, weil negative Zinsen wirtschaftlich unsinnig sind Wir wollen dies ab sofort auch voraussetzen (Ausnahme: Rendite in Kapitel 7) Es sei aber darauf hingewiesen, dass viele Formeln formal auch fiir i< 0 richtig bleiben

2.Setzt man K = I, so erkennt man, dass i auch interpretiert werden kann als der Zins auf ein Kapital der Hohe 1

Beispiel 2.1 (Fortsetzung): Zinssatz, Auf- und Abzinsungsfaktor

Der Bankkunde hat monatlich 100 € Zinsen zu zahlen Wie lauten bei dem Darlehen (Kapital) von 10.000 € der (monatliche) Zinssatz, ZinsfuB,

Aufzinsungs- und Diskontierungsfaktor?

~ cư ; —.Z _— _100€

Losung: Zinssatz_ i =< =D 0006

faktor g = 1,01 und Diskontierungsfaktor d = in = 0,990099 of

=1%, zugehoriger ZinsfuB p = 1, Aufzinsungs-

Aus (2.2) erhalt man sofort

(den sog Anfangs- oder Barwert) multiplizieren, um das Endkapital inkl Zinsen

(den sog Endwert) nach einer Periode zu erhalten Mit dem Diskontierungs-

faktor ist hingegen das Endkapital zu multiplizieren, um das Anfangskapital zu Beginn der Periode zu bestimmen

Oft wird das Anfangskapital bzw der Barwert auch mit Ko = K bezeichnet Nach Falligkeit der Zinsen hat sich also daraus am Ende der Zinsperiode der Endwert

Multiplikation mit Verzinsungs- 1 Zeit Bild 2.3:

im 1-Perioden-Modell

Wir wollen mit i den Periodenzinssatz bezeichnen, auch wenn die Zinsperiode

nur ein Bruchteil des Jahres ist (auf Ausnahmen wird ausdriicklich hingewiesen) Nach (2.1) sind in der Zinsperiode Zinsen in Hohe von Z=iK fallig und der

Verzinsungsfaktor hat dann die Gestalt g=1+i In der Literatur symbolisiert i gelegentlich den Jahreszinssatz Unsere Bezeichnungsweise bringt jedoch den Vorteil einheitlicher Formeln mit sich, unabhangig davon, wie lang eine Zinsperiode tatsachlich ist In den praktischen Anwendungen ist darauf stets zu achten

Bei mehreren Zinsabrechnungen pro Jahr stellt sich die Frage, welcher Perioden- zinssatz bei gegebenem Jahreszinssatz anzuwenden ist Wir gehen spater darauf noch genauer ein In der Finanzwirtschaft war es bisher tiblich, dass bei mehreren Zinsfalligkeiten pro Jahr derjenige Anteil der Jahreszinsen gezahlt wird, der dem Verhiltnis der Lange einer Zinsperiode zur Lange eines Jahres entspricht Besteht

ein Jahr also aus m Zinsperioden (me N wegen Z2) und ist ij der Jahreszins- satz, so hieBe das

6 % p.a (,,per annum“) eine 6 %ige jđhrliche Zinszahlung,

4% p.H (,,pro Halbjahr“) eine 4 %ige halbjdhrliche Zinszahlung,

2 % p.Q (,,pro Quartal“) eine 2 %ige vierteljdhrliche Zinszahlung und

1% p.M (,,pro Monat‘) eine 1 %ige monatliche Zinszahlung

Diese Angaben, insbesondere ,,p.a.“, verwendet man allerdings auch dann, wenn die eigentliche Zinsperiode kiirzer ist Dann sind jedoch zusatzliche Informatio- nen tiber die Dauer einer Zinsperiode und die Art der Ermittlung des Perioden- zinssatzes erforderlich

Beispiel 2.2: Jahreszinssafz und unterjährliche Verzinsung

Ein Guthaben wird mit 4,5 % p.a verzinst Wie lauten die unterjahrlichen

Zinssatze bei Anwendung des linear proportionalen Zinssatzes?

Lésung: Erfolgen die Zinszahlungen monatlich (Zinsperiode 1 Monat), so betriagt der Monatszinssatz

e Geldflisse (sowohl Kapital als auch Zinsen) können nur zu Beginn und am

Ende einer jeden Zinsperiode erfolgen Oder anders gesagt: Nur Beginn und

Ende der Zinsperioden (t= 0, 1, , 2) sind mégliche Handelszeitpunkte fiir

die Ware Geld

e Der Beginn der f-ten Periode wird mit dem Ende der (t— 1)ten Periode identi-

fiziert, t=2, ,n

Dieses Modell ist Basis fiir jede Form diskreter Verzinsung Es lasst in vielerlei Richtung Verallgemeinerungen zu, so etwa bei unterperiodischen Zinsabrechnun- gen oder stetiger Verzinsung, wird aber auch in der stochastischen Finanzmathe- matik als grundlegendes Finanzmarktmodell bei der Betrachtung zufallsabhängi- ger Finanzprodukte (z B Aktien) verwendet

Zunächst setzen wir voraus, dass der Glaubiger dem Schuldner nur einmalig

Kapital zur Verfiigung stellt, als Zeitpunkt konnen wir o B d A den Beginn der ersten Zinsperiode vereinbaren Zinsen des Schuldners an den Glaubiger konnen jedoch zu allen Handelszeitpunkten flie8en Diese Konstellation bezeichnet man

auch als n-Perioden-Modell mit Einmalzahlung (Bild 2.4) Allgemeinere Falle

mit mehreren Kapitalzahlungen sind Gegenstand der nachsten Kapitel

TVerzin- 'Verzin- | Verzin- | T Verzin-! Zeit

9 sung | sung 2 sung 2 me sung Mì (Zins- Bild 2.4:

sen Z,> 0 fallig, so dass man die rekursive Beziehung

Definition 2.2: Verzinsungs- und Diskontfolge

(q:)1-0,1, n heiBt Verzinsungsfolge und (d,),-0,1, Diskontfolge (im n-Perioden- Modell mit Einmalzahlung), wobei

vom eingesetzten Kapital abhdngt Damit ist Definition 2.2 korrekt Wegen

dieser Unabhangigkeit von K wird das n-Perioden-Modell mit Einmalzahlung

durch die Verzinsungsfolge (q,),-0,1, charakterisiert

2.Die Verzinsungsfolge gibt die Zeitwerte eines Anfangskapitals der Hohe K = 1

an, dies erkennt man unmittelbar aus (2.6)

3 Aus der obigen Definition von q, folgt

Z

4ạ =1, I~ Ie1 = t=L ,n (2.8)

Bei (2.8) handelt es sich um die rekursive Darstellung der Verzinsungsfolge

Satz 2.1: Monotonie von Verzinsungs- und Diskontfolge

Die Verzinsungsfolge (g,) sowie die Kapitalwertfolge (K;,) sind monoton wach- send, die Diskontfolge (d,) monoton fallend Es gilt

d„< <đi Sđạ =l=qạ Sq¡ Sq4„

Beweis: Aus der Definition (2.6) von 4, ergibt sich wegen Z,> 0 fiir alle t sofort 1<4q:<4q1 Da die Diskontfolge aus den Kehrwerten besteht, ist 1>d,> di Auch die Folge (K,) ist monoton wachsend, weil sie nach (2.6) lediglich ein

positives Vielfaches der Verzinsungsfolge darstellt o

Bei praktischen Aufgaben muss man hiaufig auch Zinsberechnungen innerhalb

der ,normalen“ Zinsperiode durchfiihren Um dies mit unserem Modell in

Einklang zu bringen, das ja nur Zahlungen zu Beginn bzw Ende einer jeden Zinsperiode zulảsst, benötigen wir den Begriff der Verfeinerung eines

n-Perioden-Modells Darunter versteht man ein n-m-Perioden-Modell (me N ),

so dass jeder Handelszeitpunkt des urspriinglichen n-Perioden-Modells auch

Handelszeitpunkt des verfeinerten Modells ist (Bild 2.5)

Bild 2.5: Verfeinerung eines n-Perioden-Modells

Zur einfacheren Schreibweise wollen wir fiir den laufenden Index der Handels-

zeitpunkte im verfeinerten Modell den Buchstaben 7 reservieren Weil das ver- feinerte Modell am gleichen Zeitpunkt beginnt, besteht folgender Zusammenhang

A=1, ,n, H=1, .,m, wobei [.] den ganzen Anteil bedeutet Dabei gibt  die

Nr der laufenden Zinsperiode des urspriinglichen Modells und yz die Unter-Nr der Zinsperiode des verfeinerten Modells innerhalb dieser Periode A wieder

Beispiel 2.3: Zeitparameter bei Modellverfeinerung

Fiir m= 4 lautet der Zusammenhang zwischen t, 7, 2 und yu:

2.3 Das n-Perioden-Modell 33

Das n-Perioden-Modell ist die natiirliche Verallgemeinerung des 1-Perioden- Modells auf den Fall mehrerer Zinsperioden Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die Forderung gleich langer Zinsperioden in der Praxis nicht immer exakt erfiillt ist Man denke etwa nur an monatliche Verzinsung: Ein Kalendermonat kann zwischen 28 und 31 Kalendertagen besitzen Aus diesem Grund vereinbart

man, dass eine (fiir bestimmte Regionen bzw Wirtschaftsraume) einheitliche Zahlweise fiir die Zinstage pro Monat und pro Jahr festgelegt wird Eine solche

Normierung wird als Zinstagemethode bzw Kalenderbasis bezeichnet und in der Form ,,Zinstage p.M./Zinstage p.a.“ angegeben Die wichtigsten Zinstageme- thoden sind der folgenden Ubersicht zu entnehmen:

s 30/360 (Europa): Unabhangig vom Kalender wird jeder Monat mit 30 und jedes Jahr mit 360 Zinstagen gerechnet Diese klassische Methode besitzt den Vorteil, dass ein Zinsjahr genau das 12-fache eines Zinsmonats ist Man be-

zeichnet sie auch als Methode des kaufménnischen Rechnens

¢ 30/360 (USA): Sie ist sehr ahnlich der europäischen 30/360-Methode Unter-

schiede kann es lediglich geben, falls der Endtermin der 31 eines Monats ist

(Néheres siehe z B [7] oder die Online-Hilfe von Microsoft Excel) Diese Me- thode wird an US-amerikanischen Banken und Bérsen verwendet

® taggenau (engl.: actual)/360: Ein Monat besitzt bei dieser sog Euro- Zinsmethode stets soviel Zins- wie Kalendertage, ein Jahr immer 360 Zinstage Diese Methode wird im Euro-Finanzraum benutzt

© taggenau/365: Hier wird analog zur taggenau/360-Methode gerechnet, nur wird ein Jahr mit 365 Zinstagen angesetzt Bis auf die Vernachlassigung von Schalttagen stimmen also auch bei einem Jahr Zins- und Kalendertage iiberein Diese Methode war in der alten Preisangabenverordnung vorgeschrieben

° taggenau/taggenau: Zins- und Kalendertage p.M und p.a stimmen iiberein

Beispiel 2.4: Verschiedene Zinstagemethoden

Die folgende Tabelle gibt Beispiele fiir die verschiedenen Kalenderbasen bei der Berechnung von Zinstagedifferenzen:

Zur Vereinfachung treffen wir folgende Vereinbarung:

Allgemeine Voraussetzungen:

ZA Sofern im n-Perioden-Modell bzw in den zugehörigen Verfeinerungen tageweise Berechnungen erfolgen, soll die 30/360(Europa)-Kalenderbasis, gelten, ein Monat hat also 30 und ein Jahr 360 Zinstage

diesem Abschnitt einfache bzw lineare Verzinsung voraus, d h., es wird in jeder

Periode nur das anfanglich vom Glaubiger zur Verfiigung gestellte Kapital Ky = K als Grundwert fiir die Zinsberechnung herangezogen

Den Zinssatz in der t-ten Periode wollen wir mit i, bezeichnen (2.1) bedeutet also

in dieser Periode Z,= K’ i, und damit folgt aus (2.5)

t=l t=l

(Endwert einer Einmalzahlung bei einfacher Verzinsung)

Der Vergleich mit (2.6) ergibt auBerdem

(Verzinsungsfolge bei einfacher Verzinsung)

Beispiel 2.5: Einfache Verzinsung im n-Perioden-Modell

Die Bundeswertpapierverwaltung emittiert regelmaBig sog Bundesschatz- briefe vom Typ A und B Beim Typ A bekommt der Kapitalanleger (Gläubiger) n=6 Jahre lang Zinsen mit wachsendem Zinssatz ausgezahlt, nach Ablauf der 6 Jahre erhalt er das investierte Kapital zuriick Es liegt also das Modell 1 (vgl Abschnitt 2.1) und damit einfache Verzinsung vor

In der Ausgabe vom 28.8.2007 galten folgende Konditionen:

1.-2.Jahr: 3,75 %; 3.-5.Jahr: 4,00 %; 6.Jahr: 4,25 %

Anzugeben ist die Verzinsungs- und Diskontfolge

Lésung: Nach (2.8) erhalt man

2.4 Einfache Werzinsung 35

Umgekehrt kann man mit Hilfe der Verzinsungsfolge die Zinssatze der einzelnen

Perioden ermitteln Aus (2.8) ergibt sich unmittelbar

(Verzinsungsfolge bei konstanter einfacher Verzinsung)

Bemerkung: Die Formeln (2.11) bis (2.15) gelten natiirlich auch fiir jeden Zeit- punkt ¢= 1, .,, da man das n-Perioden-Modell ohne Weiteres verkiirzen kann

(2.14) kann nun benutzt werden, um Barwerte, Zinssatze oder Laufzeiten zu be-

rechnen, je nachdem, was man bestimmen will, sofern die iibrigen GroBen be- kannt sind

Beispiel 2.6: Konstante einfache Verzinsung im n-Perioden-Modell

a) Welches Kapital ist bei konstanter einfacher Verzinsung und Zinssatz i=7,5 % p.a tiber 4 Jahre anzulegen, um 1.000 € zu bekommen?

b) Welcher Zinssatz miisste vorliegen, um dies bereits mit einer Einzah- lung von 700 € zu erreichen?

c) Fiir wie viele Jahre miissten die 1.000 € mit einfacher Verzinsung und i=7,5 % p.a erneut angelegt werden, um 1.500 € zu erhalten?

K Lösung:a) Kẹ=K = ——= _L000€C _ = 769,23€

Folgerungen:

1 Bei konstanter linearer Verzinsung bilden sowohl (K,,),-0,1, als auch (qq)n-0,1,

Zinssatz Null) keine arithmetische Folge

2.Betrachtet man bei konstanter einfacher Verzinsung die Summe der Zinsen

nach n Zinsperioden, also K,—Ko=niK, so folgt: Die Summe der Zinsen ist proportional zur Anzahl der Zinsperioden

3 Wird das Kapital n Jahre mit dem Jahreszinssatz ij,,, verzinst, wobei ein Jahr

aber m Zinsperioden umfasst und je Zinsperiode der linear proportionale Zinssatz i= ij,/m angewendet wird, so gilt fiir das Endkapital wegen (2.14)

K(+nm 28%) = K (1+ nig, )

m

Im Vergleich mit (2.14) ist demnach zu schlussfolgern:

Bei einfacher Verzinsung und einer ganzen Zahl von Anlagejahren ist der

Endwert unabhdngig von der Anzahl Zinsperioden pro Jahr Man kann also in

diesem Fall vereinfachend jahrliche Verzinsung annehmen, bei unterjahrlichen Abrechnungem ist ggf der linear proportionale Zinssatz anzuwenden

Beispiel 2.7: Einfache Verzinsung und Lénge der Zinsperiode

Ein Kapital von 30.000 € wird zu einem Zinssatz von 4,8 % p.a bei ein- facher Verzinsung angelegt Vergleichen Sie die Endwerte nach 3 Jahren bei jahrlicher bzw vierteljahrlicher Verzinsung!

Lésung: Nach n Jahren betraigt das Guthaben K,,= 30.000 € (1 +0,048 1), also

z B K;=30.000 €' (1 + 0,048 3) =34.320€ Das Ergebnis ist das gleiche bei vierteljahrlicher Verzinsung mit dem linear proportionalen Quartalszinssatz:

K,,, = K,, =30.000€- (1+ 2%.12) =34.320€

Definition 2.3: Konformitiit

Gegeben seien ein n-Perioden-Modell mit konstantem Zinssatz i sowie ein nm- Perioden-Modell als Verfeinerung des Ausgangsmodells Dann heiBt ein kon-

stanter Periodenzinssatz i,, (in diesem verfeinerten Modell) konform zu 7, wenn

die Zinsen fiir ein beliebiges Kapital unabhingig davon sind, ob die Verzinsung

je Periode mit Zinssatz i,, oder jahrlich mit Zinssatz i erfolgt Die Zinssatze i,, und i,, aus zwei verfeinerten Modellen nennen wir (zueinander) konform, wenn

sie zum gleichen Jahreszinssatz konform sind

Nach dieser Definition kann die obige Folgerung 3 auch so formuliert werden: Ein linear proportionaler Periodenzinssatz ist bei einfacher Verzinsung stets kon- form zum urspriinglichen Jahreszinssatz

(G_)c=011, 2m im verfeinerten Modell

Beweis: In Bemerkung 2 nach Definition 2.2 haben wir festgestellt, dass die Verzinsungsfolge als Zeitwertfolge eines Kapitals der Hohe 1 gedeutet werden kann Beriicksichtigt man nun noch, dass die Zeitpunkte t=0, 1,2, .,n im ur-

spriinglichen n-Perioden-Modell den Zeitpunkten t=0, m, 2m, .,nm im verfei-

nerten nm-Modell entsprechen, so folgt die Behauptung direkt aus der Konformi- tatsdefinition 2.3 o

Ein Beispiel zum Satz 2.2 wird in Aufgabe 2.4 berechnet

Bemerkung: Der Konformitatsbegriff lasst sich leicht auf Modelle mit nicht kon-

stanten Periodenzinssdtzen i, ausdehnen Dazu ist Definition 2.3 auf die 1- Perioden-Modelle einzeln anzuwenden, aus denen das n-Perioden-Modell besteht

Man erhiilt dann fiir je m Perioden des verfeinerten Modells einen einheitlichen

Zinssatz i,,, der zum jeweiligen i, konform ist Satz 2.2 bleibt dann ebenso richtig

Liegt ein n-Perioden-Modell mit nicht konstanten Zinssatzen vor, so entsteht oft die Frage nach dem ,,durchschnittlichen“ Zinssatz Darunter versteht man denje-

nigen konstanten Zinssatz i, der aus einem Kapital K den gleichen Endwert K,,

erzeugt Man bezeichnet ihn auch als durchschnittliche Wertsteigerung Um ihn zu ermitteln, machen wir mit Hilfe von (2.11) und (2.14) den Ansatz

Die durchschnittliche Wertsteigerung ist also bei einfacher Verzinsung das arith-

metische Mittel aller Zinssatze Diese Tatsache kennen wir bereits aus der Pro- zentrechnung (vgl (1.7))

2.5 Verzinsung mit Zinseszinsen

Wir setzen unsere Untersuchungen im n-Perioden-Modell fort Die je Periode falligen Zinsen sollen jedoch nicht an den Glaubiger ausgezahlt, sondern ihm nur gutgeschrieben werden (Modell 2, siehe Abschnitt 2.1) Damit erhdht sich die Schuld des Schuldners in jeder Periode (bei vorausgesetztem positivem Zinssatz) und auf bereits in friiheren Perioden gutgeschriebene Zinsen sind in der aktuellen Zinsperiode zusitzliche Zinsen — die Zinseszinsen — fallig Diese Art der Verzin-

sung mit Zinseszinsen wird auch als geometrische Verzinsung bezeichnet Unter

den beschriebenen Voraussetzungen stellt sie die finanzmathematisch korrekte Art der Verzinsung dar

Zunichst wollen wir auch in diesem Abschnitt wieder das n-Perioden-Modell mit Einmalzahlung betrachten Das vom Glaubiger bei t=0 zur Verfiigung gestellte Kapital Ky = K >0 wird in der ersten Periode verzinst und liefert am Ende dieser Periode den Wert K; Dieser ist nun wiederum Anfangswert fiir die Verzinsung in Periode 2 usw Die n Zinsperioden kénnen demnach als Folge von 1-Perioden- Modellen verstanden werden, wobei die Anfangswerte der Perioden 2, ., mit den jeweiligen Endwerten der Perioden 1, ., n-1 tibereinstimmen

Wir treffen nun zur Vereinfachung eine weitere allgemeine Voraussetzung:

im Rahmen unserer kurzen Darstellung nicht weiter verfolgen

Sind i,, t= 1, .,n, die Zinssatze der einzelnen Perioden, so ergibt sich

Nun multiplizieren wir all diese Gleichungen und kiirzen anschlieBend mit

KẹK¡``` K;¡ >0 Dadurch ergibt sich

2.5 Verzinsung mit Zinseszinsen 39

Der Vergleich mit (2.6) ergibt jetzt

Beispiel 2.5 (Fortsetzung): Geometrische Verzinsung im n-Perioden-Modell

Bei Bundesschatzbriefen vom Typ B werden dem Kapitalanleger als Glaubiger n=7 Jahre lang Zinsen mit wachsendem Zinssatz gutgeschrie-

ben, jedoch erst nach Ablauf der 7 Jahre zusammen mit dem investierten

Kapital zuriickgezahlt Es liegt also das Modell 2 (vgl Abschnitt 2.1) und damit Verzinsung mit Zinseszinsen vor In der Ausgabe vom 28.8.2007 galten folgende Konditionen (im 1.-6 Jahr wie bei Typ A):

1.-2 Jahr: 3,75 %; 3.-5 Jahr: 4,00 %; 6.-7 Jahr: 4,25 %

Wie lauten Verzinsungs- und Diskontfolge, diesmal bei geometrischer Verzinsung?

Lésung: gq, =1+i, =1,0375; gq, =(1+i,).+i,) =1,0764 usw

Es ergeben sich also jetzt folgende Werte (siehe auch Bild 2.6):

0 1 2 34 5 6 7 Diskontfolge bei Bundesschatz-

briefen Typ A und Typ B