Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC..
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (3 điểm)
a Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18
b Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
Bài 2 (4 điểm)
Cho biểu thức A x2 3
x 2
a Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
b Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
c Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (2 điểm)
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
5z 6y 6x 4z 4y 5x
và 3x 2y 5z 96 Tìm x; y; z.
Bài 4: (3 điểm)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012 Tính a; b ; c
b Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm.
Bài 5 (8 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD =
AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
a Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ?
So sánh DM và CN.
b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K
Chứng minh BMKCMD.
c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh .
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Bài 1 (3đ)
a Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18
9 13 13 13 19 13 13 13
b Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13
Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13 (a + 4b) 13 10(a + 4b) 13
Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b 13
Do 10(a + 4b) 13 nên (10a +b ) 3
1.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Bài2 (4đ )
Cho biểu thức
2
A
x 2
a Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được
Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0 Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2
b Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
Nhận xét : x2 0 x x2 +3 > 0 x
A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm
A nhận giá trị là số âm khi x < 2
c Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
2
A
x 2
( 2)
x
x
A nhận giá trị nguyên khi 7
2
x nhận giá trị nguyên 7
2
x nhận giá trị nguyên khi 7 (x-2) x-2 nhận các giá trị : -7 ; -1 ; 1; 7 Giải ra, thử lại và kết luận: x 5;1; 3; 9
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
Bài 3(2đ) Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
5z 6y 6x 4z 4y 5x
và 3x 2y 5z 96 Tìm x; y; z
Từ 5z 6y 6x 4z 4y 5x
0.5đ
Trang 3 20z 24y 30x 20z 24y 30x
0
10 25 36
20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x
10z = 12y = 15x 3 2 5 3 2 5 96
3
4 5 6 12 10 30 12 10 30 32
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18
0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4 (3đ) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c a Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012 Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 và tính được a 4025 2 ; b 1 2 Kết luận : a 4025 2 ; b 1 2 và c = 0 b Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c (1)
2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2)
2036 = f(3) = 9a +3b +c (3)
Từ (1) và (2) có a – b = 8 (4)
Từ (2) và (3) có a + b = 0 (5)
Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012 Như vậy f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = ……….= (2x – 1)2 + 2011 > 0 x Kết luận: Đa thức vô nghiệm 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 5 (8đ ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A Trên tia đối của tia AC lấy điểm Dsao cho AD = AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
M E B
D
N
K
Trang 4a Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN
* Chứng minh được: BAD = BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và
DBC DBA ABC = 450 + 450 = 900
Kết luận BDC vuông cân tại B
* Chứng minh được BDM = BCN DM = CN
b Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K
Chứng minh BMKCMD
Vì BDM = BCN suy ra BNC BMD
BNC vuông tại B nên BNC BCN 90 0
CME vuông tại E nên 0
MCE CME 90
Từ đó suy ra CME BMD
Vì CME BMD BMK CMD Chứng minh BMK = CMD (g.c.g)
c Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
* AB = a, tính được BC = a 2 do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC
Và cũng tính được BD = BC = a 2 ; BM = 1
2BC
2 2
a
* Vì BMK = CMD suy ra MD = MK
Vậy chu vi DMK bằng 2MD + DK
Tính được DM a 5
2
do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM Chứng ming được B KD = BCK DK BC a 2
Chu vi tam giác DMK bằng
2DM DK 2a 5 a 2 a 10 a 2 a 10 2
2
1.0đ
0.5đ 0.5đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ 0.5đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
- Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
- Bài hình không có hình vẽ thì không chấm
- Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ)