Hsg huyện sơn dương 2010 2011

Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A.. Từ E và F kẻ đường vuụng gúc EK và FN với đường thẳng HA.. b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA.. Tỡm đ

PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG đề chọn học sinh năng khiếu

NĂM HỌC 2010-2011 Mụn thi : Toỏn 7

Thời gian: 90 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

Cõu 1( 6 đ ) : Tỡm cỏc số x, y, z biết.

a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7  x  5x 3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48

Bài 2:(4 đ)

a) Thực hiện phộp tớnh:

A



 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :

3n 2n 3n 2n

Cõu 3:(3.5 đ )

a/ Tỡm số dư khi chia 22011 cho 31 b/ Với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6

Câu 4( 2.5 đ ) Cho 2 đa thức

P  x = x2 + 2mx + m2 và

Q x = x2 + (2m+1)x + m2

Tìm m biết P (1) = Q (-1)

Cõu 5:(4 đ ) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH Vẽ về phớa ngoài tam

giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A Từ E và F kẻ đường vuụng gúc

EK và FN với đường thẳng HA

a/ Chứng minh rằng: EK = FN

b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để EF = 2AI

-Hết -Đấ̀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu

MÔN: TOÁN 7

========================================

Câ

u

Phầ

n

m

1

(6đ)

a 1,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 1.5

b

1,5đ

9 7  x  5x 3 Điều kiện: x  3

5

=> 9 79 7 x x53 5x 3x

  

 =>122x x612 x x13

  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3

1.5

c

1,5đ

x - 3 x = 0 Điều kiện x  0

=> x x  3 = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)

d

1,5đ

12x = 15y = 20z =>

x y z

x y z x y z 

2

(4đ)

a

2đ

b

2đ

a)

 

10

10 3

12 4

5 7 6

2 3 2









b) 3n 2 2n 2 3n 2n

   = 3n 2 3n 2n 2 2n

= 2 2

3 (3n 1) 2 (2n 1)

=3 10 2 5 3 10 2n n n n1 10

= 10( 3n -2n-1) Vậy 2 2

3n 2n 3n 2n

    10 với mọi n là số nguyên dương

1

1

1 1

3

(3.5

đ)

a,

2đ

Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402  1 (mod31)

=> 22011  2 (mod31) Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2 2

b

1,5đ

Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)

Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6

0,5 0,5 0,5

4 2.5đ Cho 2 ®a thøc

P  x = x2 + 2mx + m2 vµ

Q x = x2 + (2m+1)x + m2

T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m

§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m  4m = -1  m = -1/4

1

1

0.5

5

(4đ)

a

2.5

Chứng minh KAE = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFA = HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN

1 1 0.5

b

1đ

Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF

2

Mà AI = EF

2 (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA

=> EAF = 900 => BAC = 900 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A

0,5

0,5

Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa

K I

H

E

C B

A