phương trình và bất phương trình vô tỷ

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶLoại 1. Phương pháp lũy thừaA.Nội dung phương phápPhần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa. Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này.* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ+) .+) .* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ . . . . . . B.Một số ví dụVí dụ 1. GPT . GiảiTa có . .Vậy tập nghiệm của là .Ví dụ 2. [ĐHD06] GPT . GiảiTa có . . .Tập nghiệm của là .Ví dụ 3. [ĐHA05] GBPT . GiảiĐK: . Ta có: (do ) Kết hợp điều kiện tập nghiệm của là .Ví dụ 4. [ĐHA04] GBPT . GiảiĐK: . Ta có: (TMĐK).Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .Ví dụ 5. GPT . GiảiĐK: . Ta có (không TMĐK).Vậy vô nghiệm.Ví dụ 6. GPT . GiảiĐK: . Ta có . Thử lại ta thấy chỉ là nghiệm của . Vậy có nghiệm duy nhất .Nhận xét:+) Hai phương trình: và nói chung là không tương đương. Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng. Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế. Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được ở hai vế. Ví dụ 7. Biện luận số nghiệm của PT . GiảiTa có . Do đó số nghiệm của bằng số nghiệm thỏa mãn của nên bằng số điểm chung của đường thẳng với đồ thị hàm số ( ).Ta có . . Kết luận:* : vô nghiệm.* : có nghiệm.* : có nghiệm.* : có nghiệm.Ví dụ 8. [ĐHB06] Tìm để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt .GiảiTa có . là phương trình bậc hai có luôn có hai nghiệm phân biệt , . Theo định lý Vi-ét thì . có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng .Thay vào ta thu được .Vậy có hai nghiệm phân biệt .Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau:Biến đổi về dạng: . có hai nghiệm phân biệt có hai điểm chung với ĐTHS , . C.Bài tậpBài 1.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 2.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .Bài 3.Giải các phương trình sau1) .2) .3) .Bài 4.Giải các bất phương trình sau1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 5.Giải và biện luận theo các phương trình1) .2) .Bài 6.[ĐHB07] Chứng minh với mọi , phương trình có hai nghiệm phân biệt.Bài 7.Giải và biện luận theo các bất phương trình sau1) .2) . D.Đáp sốBài 11) .2) 3) .4) , .5) , .6) .Bài 21) .2) vô nghiệm.3) .Bài 31) , .2) , .3) , , .Bài 41) .2) hoặc .3) .4) hoặc .5) .6) .Bài 51) hoặc : vô nghiệm, hoặc : .2) hoặc : vô nghiệm, : , : .Bài 71) : , : hoặc .2) : , : , : . Loại 1. Phương pháp ẩn phụA.Nội dung phương phápDùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng. Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ. B.Một số ví dụVí dụ 1.Giải các PT1) . 2) 1)2).Giải1)Đặt , ta thu được phương trình Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .2) .Đặt , ta thu được phương trình .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2.Giải các phương trình1) .2) .Giải1)Ta thấy không phải nghiệm của nên .Đặt , ta thu được phương trình .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .2)Ta thấy không phải nghiệm của nên .Đặt , ta thu được phương trình (do ) .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 3.Giải các phương trình1) .2) .Giải1)Đặt .Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành .Thay vào ta được .Xét :ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của .Vậy có nghiệm duy nhất .2) .Đặt .Với phép đặt ẩn phụ như trên trở thành .Thay vào ta được .Xét :ĐK: . * Dễ thấy là nghiệm của . * không phải nghiệm của .* không phải nghiệm của .Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4.Tìm để phương trình sau có nghiệm: .GiảiĐặt . Phương trình trở thành:Khi đó phương trình trở thành: .Xét hàm . Ta có . Ta thấy , dấu bằng xảy ra ; , dấu bằng xảy ra . Do đó tập giá trị của hàm là , thành thử có nghiệm .Vậy có nghiệm có nghiệm .Chú ý:Điều kiện phương trình có nghiệm:o có nghiệm đường thẳng có điểm chung với đồ thị hàm số .o có nghiệm thuộc tập giá trị của hàm số .Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm. Về việc tìm tập giá trị của hàm số , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu đạt giá trị nhỏ nhất là tại , đạt giá trị lớn nhất là tại và liên tục trên đoạn với hai đầu mút , thì tập giá trị của là .Ví dụ 5.Giải phương trình .GiảiĐặt , trở thành: .Thay vào ta có .Thay vào ta có .Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 6.Giải phương trình .GiảiĐặt .Thay vào , ta có .Ta có hệ gồm hai phương trình và : (thay phương trình dưới vào phương trình trên) (thay phương trình trên vào phương trình dưới)Ta có . Do đó, hệ nói trên tương đương với . Vậy tập nghiệm của là .Chú ý: Định lý Vi-ét đảoXét hệ và phương trình .Khi đó: có nghiệm có nghiệm.Trong trường hợp có nghiệm và thì: .Ví dụ 7.[ĐHA09] Giải phương trình .GiảiĐk: .Đặt .Ta có .Thay vào , ta được .Thay vào , ta có: .Thay vào , ta được .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . C.Bài tậpBài 1. Giải các phương trình, bất phương trình sau:1) .2) .3) .4) .5) .6) . 7) .8) .Bài 2. Cho phương trình .1)Giải phương trình với .2)Tìm để phương trình có nghiệm.Bài 3. Tìm để BPT có nghiệm .Bài 4. Tìm để BPT nghiệm đúng với mọi .Bài 5. Giải các PT sau:1) . 2) .3) .Bài 6. Giải các PT sau:1) .2) .3) .4) .Bài 7. [ĐHA07] Tìm để phương trình sau có nghiệm: .Bài 8. Giải các phương trình:1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 9. Với giá trị nào của thì phương trình: có nghiệm.Bài 10. Giải các phương trình sau1) .2) .3) . D.Đáp sốBài 11) .2) .3) , .4) , .5) .6) .7) .8) .Bài 21) , .2) .Bài 3 .Bài 4 .Bài 51) . 2) , .3) , .Bài 6 1) .2) , .3) , .4) Bài 7 .Bài 81) , , .2) .3) , .4) , .5) , .6) .Bài 9 .Bài 101) , .2) , .3) . Loại 2. Phương trình và bất phương trình tíchA.Nội dung phương phápPhần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích.Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản. Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ.Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết: Biểu thức liên hợp của là : .Biểu thức liên hợp của là : .… . B.Một số ví dụVí dụ 1.Giải phương trình .Giải (ĐK: ) .Ta thấy cả giá trị và đều thỏa mãn điều kiện để phương trình có nghĩa. Vậy tập nghiệm của phương trình là .Ví dụ 2.[ĐHD02] Giải bất phương trình .GiảiĐk: . hoặc hoặc hoặc .Kết hợp với điều kiện để có nghĩa, ta có tập nghiệm của là: .Ví dụ 3.Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có (do = ) (thỏa mãn điều kiện để có nghĩa).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4.[ĐHB10] Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có (do ) (thỏa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất . C.Bài tậpBài 1.Giải các phương trình1) .2) .3) .4) .Bài 2.Giải các phương trình, bất phương trình sau:1) .2) .3) .4) . D.Đáp sốBài 11) , .2) .3) , .4) .Bài 21) .2) .3) .4) . Loại 3. Một số phương pháp đặc biệtA.Một số ví dụVí dụ 1. [ĐHD05] Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta có Do đo (thõa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 2. Giải phương trình .GiảiĐk: . (thỏa mãn ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 3. Giải phương trình .GiảiĐK: .Đặt .Ta có đồng biến trên . Do đó nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Ta thấy là nghiệm của nên có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4. [ĐHA10] Giải bất phương trình .GiảiTa thấy . Do đó .Điều kiện để có nghĩa: . .Ta có (thõa mãn , ).Vậy có nghiệm duy nhất .Ví dụ 5. Giải phương trình .GiảiĐk: .Ta thấy: .Lại có: .Do đó .Vậy có nghiệm duy nhất . B.Bài tậpBài 1. Giải các phương trình1) .2) .3) .4) .5) .6) .Bài 2. Giải các phương trình sau1) .2) . C.Đáp sốBài 11) .2) , .3) , .4) .5) .6) .Bài 21) .2) .

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Loại 1 Phương pháp lũy thừa

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này

* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ

 f x( ) ≤g x( ) ⇔ ( )

( ) ( ) 2( )

x 4x 2x 4 0 x

2 3

+) Hai phương trình: f x( ) =g x( ) và f 2( )x =g 2( )x nói chung là không tương đương

Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại.+) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng Trong ví

dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x 5− ở hai vế

5

PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com

Ví dụ 7 Biện luận số nghiệm của PT − − −x 3 x m 1 x= − ( )1

+ ≥

2 1 2

3x 4 m x 1 0 2 x

m x

m≤ −1 : x m≥ hoặc − − < < − +m 2 x m 1.

2 2 m< ≠ 9 4 : x m≥ ,

9 4

Loại 1 Phương pháp ẩn phụ

A Nội dung phương pháp

Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô

tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ.+) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ

11

PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com

Vậy tập nghiệm của phương trình là { }±5

Xét ( )4 :

ĐK: x 0≥

* Dễ thấy x 0= là nghiệm của ( )4

* x 0> ⇒ VT 4( ) >1 ⇒ x không phải nghiệm của ( )4

Vậy ( )1 có nghiệm duy nhất x 0=

* Dễ thấy x 1= là nghiệm của ( )4

* x 1> ⇒ VT 4( ) >4 ⇒ x không phải nghiệm của ( )4

* − ≤ <3 x 1 ⇒ VT 4( ) <4 ⇒ x không phải nghiệm của ( )4

Vậy ( )1 có nghiệm duy nhất x 1=

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 2 +2x 2m 5 2x x+ − − 2 =m 2 ( )1

Giải

Đặt t= 5 2x x− − 2 ( )2 ⇒ x 2+2x 5 t= − 2 Phương trình ( )1 trở thành:

Khi đó phương trình trở thành: t 2 −2mt m+ 2− =5 0 ( )3 ⇔ t m= ± 5

Xét hàm f x( ) = 5 2x x− − 2 Ta có ( ) ( )2

f x = 6− +x 1 Ta thấy f x( ) ≥0 ∀x, dấu bằng xảy

ra ⇔ x= − ±1 6; f x( ) ≤ 6 ∀x, dấu bằng xảy ra ⇔ x= −1 Do đó tập giá trị của hàm f là

Vậy ( )1 có nghiệm ⇔ ( )2 có nghiệm t∈ 0; 6

 Điều kiện phương trình f x( ) =m ( )* có nghiệm:

o ( )* có nghiệm ⇔ đường thẳng y m= có điểm chung với đồ thị hàm

số y f x= ( )

o ( )* có nghiệm ⇔ m thuộc tập giá trị của hàm số y f x= ( )

 Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình

có nghiệm Về việc tìm tập giá trị của hàm số y f x= ( ), ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a, đạt giá trị lớn nhất là M tại b và

f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a, b thì tập giá trị của f là [m;M]

 (thay phương trình dưới vào phương trình trên) ⇔

 (thay phương trình trên vào phương trình dưới)

Ta có T 2−5T 6 0+ = ⇔  =T 2 T 3= Do đó, hệ nói trên tương đương với

 (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm.

 Trong trường hợp (2) có nghiệm t và 1 t thì: 2

1 2 2 1

x t

y t (1)

5u 15x 10 3v 18 15x

3 5u + −3 u 4−  − =8 0 3

3 5u + u −8u 16+ − =8 0

⇔ 15u 3+4u 2−32u 40 0+ = ⇔ (u 2 15u+ ) ( 2−26u 20+ ) =0

⇔

2

u 2 0 15u 26u 20 0 ' 131 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= −2

17

PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com

Bài 2 Cho phương trình 3 x+ + 6 x− − (3 x 6 x+ ) ( − ) =m.

1) Giải phương trình với m 3=

2) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 3 Tìm m để BPT m x 2−2x 2 1+ + ÷+x 2 x( − ) ≤0

  có nghiệm x∈0;1+ 3.

Bài 4 Tìm m để BPT (2 x 4 x+ ) ( − ) ≤x 2−2x m+ nghiệm đúng với mọi x∈ −[ 2;4]

Bài 5 Giải các PT sau:

1) 1+ 1 x− 2 =2x 2 2) 3 ( )2 3 ( )2

x + 1 x− =x 2 1 x− 3) 1 x− 2 =4x 3−3x.

Bài 6 Giải các PT sau:

1) 5 x 3 + =1 2 x( 2+2) 2) 5x 2+14x 9+ − x 2− −x 20 5 x 1= + 3) 2x 2−5x 2 4 2 x+ = ( 3−21x 20− ) 4) 2 x( 2−3x 2+ ) =3 x 3+8

Bài 7 [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 x− + + = 4 2−1

Bài 8 Giải các phương trình:

1) 3 24 x+ + 12 x− =6 2) x 3+ +3 x 3=

3) 4 x+4 17 x− =3 4) 3( )2 3( )2 3( ) ( )

2 x− + 7 x+ − 2 x 7 x− + =3.5) 3 x+3 x 16− =3 x 8− 6) 4 x+4 x 1+ =4 2x 1+

Bài 9 Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1 x− +3 1 x a+ = có nghiệm

Bài 10 Giải các phương trình sau

Loại 2 Phương trình và bất phương trình tích

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích

Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ

Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:

 Biểu thức liên hợp của a− b là a+ b:

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x 3 2x x 1 2x+ + + = + x 2+4x 3+ ( )1

Giải

( )1 ⇔ x 3 2x x 1 2x+ + + = + (x 3 x 1+ ) ( + ) (ĐK: x≥ −1) ⇔ x 3 1+ ( − x 1+ +) (2x x 1 1+ − =) 0



⇔

2

x 1 1 2x 0

x 3x 0 2x 3x 2 0

x 3x 0 2x 3x 2 0

x 0

x 3

x 2 x

⇔

1 2

x 0

x 3

x 2 x

Vậy ( )1 có nghiệm duy nhất x 1=

x : x 6

∀ − ≤ ≤ )

Vậy ( )1 có nghiệm duy nhất x 5=

24

PT, BPT Vô tỉ Blog: www.caotu28.blogspot.com

Loại 3 Một số phương pháp đặc biệt

x x x

Đặt f x( ) = 4x 1− + 4x 2−1.Ta có f ' x( ) 2 4x 2 0 x 1

2 4x 1 4x 1

x 2x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x