Các dạng bài tập tích phân của trần phương

BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 2... Ta có nhận xét: Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngượ

Trang 1

ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com

CHƯƠNG II NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI 1 BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

2 Vi phân:

2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x(a,b)

Cho x một số gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có:

• Công thức vi phân theo số gia:  

• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x

Do df x f x x nên f(x) khả vi tại điểm x  f(x) có đạo hàm tại điểm x

2.2 Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x Khi đó:

         

2

udv vdu u

Trang 2

3 Quan hệ giữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:

5 Nhận xét: Nếu  f x dx  F x c với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân

bất định  f x dx  biểu diễn được dưới dạng hữu hạn Ta có nhận xét:

Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn tại

Trang 3

II TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 Định nghĩa:

Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b] Xét một phân hoạch  bất kì

của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia:



 0   1 n 1 n

a x x x x b Trên mỗi đoạn x k 1 , x lấy bất kì điểm k  k x k1, x k

và gọi  k x k x k1 là độ dài của x k1, x k Khi đó:

k 1

   (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân

xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là: b  

a

f x dx

Khi đó hàm số y  f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]

2 Điều kiện khả tích:

Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b]

và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b]

Trang 4

4 Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:

4.1 Định lý 1: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]

4.2 Định lý 2: Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)  g(x),x[a, b]

thì b   b  

f x dx g x dx Dấu bằng xảy ra  f(x)  g(x), x[a, b]

4.3 Công thức Newton - Leipnitz:

Nếu f x dx  F x c thì b     b     

a a

4.9 Công thức đổi biến số:

Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x  (t) khả vi, liên tục trên đoạn

Trang 5

Iii B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng

11

Trang 6

IV NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12

Các công thức có mặt trong II mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm

 (a > 0) nhưng sau đó không giống

bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg

x, arcsin x Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này

Trang 7

V CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

;  nk m

n k m

1 x x

2 Biến đổi vi phân:

Trang 8

V.3 CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

10 3 100

Trang 9

BÀI 2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2

A CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI

Trang 10

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

• Nếu mẫu có nghiệm kép xx0 tức là ax2 bx c a x( x0)2

Trang 11

Trang 13

Trang 14

2 2

23

3

72

Trang 15

2 2

Trang 16

14 2 14 2 2

2 2

Trang 17

BÀI 3 BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

I DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC

Các bài tập mẫu minh họa:

II DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC

1 Các bài tập mẫu minh họa:

Trang 18

2 22

Trang 19

Trang 20

dx3

Trang 21

2 3

VI DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR

• Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x  a là:

Trang 22

VII DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO

50 50

Trang 23

dxx

Trang 25

n C

k n k và m!1 2 m 1m với qui ước 0!  1

2 CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

sin x  ; cos x  ; sin x  ; cos x 

2 Phương pháp

2.1 Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc

2.2 Nếu n  3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3

2.3 Nếu 3  n lẻ (n  2p 1) thì thực hiện biến đổi:

Trang 26

a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng

b Nếu m chẵn, n lẻ (n 2p 1) thì biến đổi:

sin x C C sin x 1 C sin x 1 C sin x d sin x

Trang 27

cos x C C cos x 1 C cos x 1 C cos x d cos x

d Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2 hoặc 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn

1.2 Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u  sinx ta có:

Trang 28

2cos x

sin xcos x

Trang 29

2 Các bài tập mẫu minh họa

Trang 31

15

dx cotg x

1

sin x cos xdx sin x

d sin x sin x

Trang 33

V Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

.

E cos mx cos nx dx cos m n x cos m n x dx

E sin mx sin nx dx cos m n x cos m n x dx

E sin mx cos nx dx sin m n x sin m n x dx

E cos mx sin nx dx sin m n x sin m n x dx

Trang 34

cos x sin x cosx sin 2 x

Tiêu đề	Các dạng bài tập tích phân của Trần Phương
Người hướng dẫn	Cao Văn Tỳ
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,76 MB