Chuyên đề toạ độ phẳng trần quốc nghĩa

② Lập phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.. Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC... Tìm phương trình đường

Chuyển đổi PTTQ ↔ PTTS ↔ PTCT

A PHƯƠNG PHÁP GI ƯƠNG PHÁP GI ƯƠNG PHÁP GIẢI ƯƠNG PHÁP GI ẢI ẢI ẢI

① ① Dạng1:Lậpphươngtrìnhđườngthẳngđiquađiểm M x ; y ( 0 0 ) vàcáchđiểm A x ; y ( A A ) mộtkhoảngbằng h chotrước:

 Cách 1: Dùng phương trình tổng quát:

 Bước 1: PTTQ của đường thẳng d qua M x y ( 0 ; 0 ) và có VTPT n = ( a b ; ) có dạng: a x ( − x 0 ) + b y ( − y 0 ) = 0 (với a 2 + b 2 ≠ 0 )

+ thu gọn đưa về phương trình chứa a và b , từ đó chọn a và tìm b

 Cách 2: Dùng phương trình có hệ số góc k:

 Bước 1: Phương trình đường thẳng d qua M x y ( 0 ; 0 ) và có hệ số góc k có dạng:

 Bước 3: Trường hợp d qua M và song song trục Oy thì d x : = x 0

Tính d A d ( ; ) , nếu bằng h thì nhận x = x 0 , ngược lại loại

② ②Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M x ; y ( 0 0 ) và tạo với đường thẳng d : Ax By C 0 ′ + + = mộtgóc α :

 Cách 1: Dùng phương trình tổng quát:

 Bước 1: PTTQ của đường thẳng d qua M x y ( 0 ; 0 ) và có VTPT n = ( a b ; ) có dạng:

+ + thu gọn đưa về phương trình chứa a và b, từ đó chọn a và tìm b

 Cách 2: Dùng phương trình có hệ số góc k:

 Bước 1: Phương trình đường thẳng d qua M x y ( 0 ; 0 ) và có hệ số góc k có dạng:

 Bước 3: Trường hợp d qua M và song song trục Oy thì d x : = x 0

Tính cos ( d d ; ′ ) , nếu bằng cos α thì nhận x = x 0 , ngược lại loại

Tài liệu học tập Toán 10 cung cấp kiến thức quan trọng về hình học và tọa độ trong mặt phẳng Nội dung này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản và ứng dụng của hình học trong thực tiễn Việc hiểu rõ tọa độ trong mặt phẳng là nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong Toán học.

VD 1.17 Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 3;4 ) và cách B ( –1;1 ) một khoảng bằng 4

VD 1.18 Lập phương trình đường thẳng d qua A ( 1;2 ) cách đều hai điểm M ( 5;1 ) và N ( 3; –1 )

VD 1.19 Lập phương trình đường thẳng d qua A ( ) 1;3 và tạo với đường thẳng : 3 ∆ x − − y 3 2 0 − = một góc 30°

VD 1.20 Cho ∆ ABC cân có cạnh đáy BC : 2 – – 2 0 x y = , cạnh bên AB x : + y = 4 Viết phương trình cạnh AC , biết AC đi qua điểm N ( 0;5 )

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN ẬP TỰ LUYỆN ẬP TỰ LUYỆN ẬP TỰ LUYỆN

1.38 Cho đường thẳng : 3 – 2 d x y + = 1 0 Viết phương trình đường thẳng δ đi qua điểm M ( 1;2 ) và tạo với d một góc 45°

1.39 Cho ∆ ABC cân tại A Biết cạnh BC : 2 – 3 – 5 0 x y = và AB x : + + = y 1 0 Viết phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua M ( ) 1;1

1.40 Cho hình vuông ABCD có tâm I ( 4; –1 ) và cạnh AB x : + 2 –1 0 y = Hãy viết phương trình hai đường chéo của hình vuông

1.41 Viết phương trình d đi qua điểm M ( 2;7 ) và cách điểm N ( 1; 2 ) một khoảng bằng 1

1.42 Viết phương trình đường thẳng d qua M và cách đều hai điểm P , Q với:

Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm P(0;1) và cắt hai đường thẳng 3x + y - 10 = 0 và 2x + y - 8 = 0 tại hai điểm, sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó.

1.44 Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng h , với: ①①①① : 2 ∆ x − + = y 3 0, h = 5 ② ② ② ② 3

1.45 Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ và cách A một khoảng bằng h , với:

A PHƯƠNG PHÁP GI ƯƠNG PHÁP GI ƯƠNG PHÁP GI ƯƠNG PHÁP GIẢI ẢI ẢI ẢI

① Hai điểm A , A′ đối xứng nhau qua điểm I ⇔ I là trung điểm AA′

② Cho điểm A và đường thẳng d

 Cách 1: Dùng hình chiếu: o Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và ∆ ⊥ d o Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A lên d Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình: :

 Cách 2: Dùng phương trình tham số: o Bước 1: Chuyển d về dạng tham số

 o Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A lên d  H x ( 0 + at y ; 0 + bt ) o Bước 3: Tính tọa độ AH = ( x 0 + at − x A ; y 0 + bt − y A ) o Bước 4: d có VTCP u d = ( a b ; )

 Bước 1: Tìm hình chiếu H của A lên d (tìm như trên)

 Bước 2: Vì A′ là điểm đới xứng với A qua d nên H là trung điểm AA′

VD 1.21 Cho đường thẳng : d x + 2 – 7 0 y = và hai điểm A ( –5;3 ) , B ( 4; 4 )

①①①① Tìm điểm K là hình chiếu của A lên d ② ② ② ② Tìm điểm I là hình chiếu của B lên d

VD 1.22 Tìm điểm A′ đối xứng với A ( –2;3 ) qua đường thẳng : 4 – 5 –18 0 d x y =

1.46 Cho : 3 – 2 d x y + = 5 0 và điểm M ( –4;3 ) Tìm hình chiếu I của điểm M lên d Từ đó tìm điểm M ′ đối xứng với M qua đường thẳng d

①①①① Tìm E ′ đối xứng với E qua trục Ox ②②②② Tìm F ′ đối xứng với F qua trục Oy

1.48 Cho A ( 4; 2 ) và B ( –1; –3 ) , d là đường thẳng qua A và song song với trục Ox , ∆ là đường thẳng qua B và song song với trục Oy

①①①① Tìm A′ đối xứng với A qua trục d ② ② ② ② Tìm B′ đối xứng với B qua trục ∆

1.49 Tìm hình chiếu của M lên đường thẳng d và điểm M ′ đối xứng với M qua đường thẳng d , với:

1.50 Cho đường thẳng : 2 d x + y – 4 0 = và 2 điểm M ( 3;3 ) , N ( –5;19 ) Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm đối xứng của M qua d

①①①① Tìm tọa độ của K và P

②②②② Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

① Bài toán 1: Cho điểm I và đường thẳng d : ax by c 0 + + = Viết phương trình đường thẳng d ′ đốixứngvới d qua I

 Cơs Cơs Cơsởlýthuyết: Cơs ởlýthuyết: ởlýthuyết: ởlýthuyết:

 d′ đối xứng với d qua tâm I  d ′ // d

 Phươngphápgi Phươngphápgi Phươngphápgiải: Phươngphápgi ải: ải: ải:

 Tìm A′ đối xứng với A qua I dùng tọa độ trung điểm)

 Cách 2:     Vì d′ đối xứng với d qua I  d ′ // d

Giải phương trình này tìm c  phương trình d ′

② ②Bàitoán2:Chohaiđườngthẳngdvà∆.Viếtphươngtrìnhđườngthẳngd′đốixứngvớid qua∆

 Cơs Cơs Cơsởlýthuyết: Cơs ởlýthuyết: ởlýthuyết: ởlýthuyết:

 Nếu // d ∆ thì d , d ′ , ∆ là 3 đường thẳng song song và cách đều

 Nếu d cắt ∆ tại I thì d′ , d và ∆ đồng quy tại I và ∆ là đường phân giác của góc tạo bởi d và d ′ Do đó nếu lấy M ∈ d và M ′ ∈ d ′ sao cho M ′ đối xứng với

 Phươngphápgi Phươngphápgiải: Phươngphápgi Phươngphápgi ải: ải: ải:

 Nếu d cắt ∆ ∆ ∆ ∆ tại I:     Tìm giao điểm I

 Tìm M ′ đối xứng với M qua ∆

 Viết d ′ qua hai điểm I và M ′

VD 1.23 Cho đường thẳng : 2 – 3 ∆ x y + = 6 0 và điểm I ( 1; –3 ) Tìm phương trình đường thẳng ∆ ′ đối xứng với ∆ qua I

VD 1.24 Tìm phương trình đường thẳng ∆ 2 đối xứng với ∆ 1 : 2 – 3 x y + = 1 0 qua : 2 – 3 ∆ x y + = 6 0

VD 1.25 Cho : d x + y –1 0 = và điểm A ( –3;0 ) , B ( –4; –4 ) Tìm đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng AB qua d

1.51 Lập phương trình đường thẳng d ′ đối xứng với d qua đường thẳng ∆ , với:

1.52 Cho điểm M ( 2;5 ) và đường thẳng : d x + 2 – 2 0 y =

①①①① Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua d

②②②② Viết phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua M

Tài liệu học tập Toán 10 cung cấp kiến thức quan trọng về hình học và tọa độ trong mặt phẳng Nội dung này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản và ứng dụng của tọa độ trong không gian hai chiều Việc hiểu rõ về hình học và tọa độ sẽ hỗ trợ học sinh trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

A PHƯƠN ƯƠN ƯƠN ƯƠNG PHÁP GI G PHÁP GI G PHÁP GI G PHÁP GIẢI ẢI ẢI ẢI

Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi ∆ 1 và ∆ 2 có dạng:

 Gọi n 1 = ( A 1 ; B 1 ) và n 2 = ( A 2 ; B 2 ) là 2 VTPT của ∆ 1 và ∆ 2

+ n n 1 2 > 0 thì:  d 1 là phân giác của góc tù,

 d 2 là phân giác của góc nhọn

+ n n 1 2 < 0 thì:  d 1 là phân giác của góc nhọn,

 d 2 là phân giác của góc tù

 Cách 1:     Tính xem C = ( CA CB , ) là góc tù hay nhọn

  Từ đó phân biệt phân giác góc nhọn goác tù giữa 2 đường thẳng CA , CB

 Kết luận phân giác nào ứng với góc C

  Lập phương trình 2 đường phân giác ∆ 1 và ∆ 2 của góc giữa hai cạnh CA , CB

 Nếu A và B nằm khác phía đối với ∆ 1 thì:

 ∆ 1 là phân giác trong của góc C

 ∆ 2 là phân giác ngoài của góc C

 Nếu A và B nằm cùng phía đối với ∆ 1 thì:

 ∆ 1 là phân giác ngoài của góc C

 ∆ 2 là phân giác trong của góc C

③Bài toán 3: Cho d : a x b y c 1 1 + 1 + 1 = 0 và d : a x b y c 2 2 + 2 + 2 = 0 cắt nhau chia mặt phẳngthành4gócvàđiểmMnằmởmộttrong4gócđó.Viếtphươngtrìnhđườngphân giáccủagócchứađiểmM:

 Kiểm tra đối với đường thẳng d 1 , miền chứa điểm M mang dấu gì ? Bằng cách tính

 Kiểm tra đối với đường thẳng d 2 , miền chứa điểm M mang dấu gì? Bằng cách tính f 2 ( ) M = a x b y 2 + 2 + c 2

• f M 1 ( ) × f 2 ( ) M > 0 thì phương trình phân giác của góc chứa M là:

• f M 1 ( ) × f 2 ( ) M < 0 thì phương trình phân giác của góc chứa M là:

 Viết d 1 là đường phân giác trong của góc A

 Viết d 2 là đường phân giác trong của góc B

 Tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ ABC là giao điểm của d 1 và d 2

Nhắc lại: “Tập hợp các điểm cách đều 2 đường thẳng là đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đường thẳng đó.”

VD 1.26 Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng d 1 : x + y –1 0 = ,

2 : 7 – 3 0 d x y + = Chỉ rõ đường nào là phân giác góc nhọn ? Đường nào là phân giác góc tù ?

VD 1.27 Cho ∆ ABC có A ( –1; –2 ) , B ( 2;1 ) , C ( 9;0 ) Viết phương trình đường phân giác của góc trong lớn nhất của ∆ ABC

VD 1.28 Cho 2 đường thẳng : 3 d x + 4 –10 0 y = và d ′ : 8 x + 6 y + = 1 0 và điểm M ( 3; –1 ) Viết phương trình các đường phân giác của góc giữa d , d ′ Chỉ rõ đường nào là phân giác của góc chứa điểm M ?

VD 1.29 Cho ∆ ABC có phương trình chứa các cạnh AB x : – y + = 4 0 , AC : 7 x + y –12 0 = ,

BC x + y = Tìm tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC

VD 1.30 Tìm tập hợp các điểm M x y ( ; ) cách đều 2 đường thẳng d : 3 x + 4 y + = 5 0 và

1.53 Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng:

1.54 Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường thẳng có phương trình 8 x + 15 –120 0 y =

1.55 Cho ∆ ABC Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC , với:

1.56 Cho ∆ ABC biết A ( 2;6 ) , B ( –3; –4 ) , C ( 5;0 ) Viết phương trình đường:

①①①① Phân giác trong của góc A ② ② ② ② Phân giác ngoài của góc A

Tài liệu học tập Toán 10 cung cấp kiến thức cơ bản về hình học và tọa độ trong mặt phẳng Nội dung này giúp học sinh nắm vững các khái niệm và phương pháp giải toán liên quan đến hình học, từ đó phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề Việc học tập hiệu quả sẽ tạo nền tảng vững chắc cho các môn học nâng cao sau này.

• Nếu d cho dưới dạng tham số: 0 1

• Nếu d cho dưới dạng tổng quát: ax by + + = c 0

 Cách 1: Chuyển d về dạng tham số rồi làm như trên

 Cách 2: Chọn x (hoặc y ) làm tham số rồi rút y (hoặc x ) theo x (hoặc y ) ta được tọa độ điểm M

Mách nhỏ: ta nên chọn tham số trùng với tên điểm cho dễ nhớ, chẳng hạn như điểm

M ta chọn m , điểm B ta chọn b , …

VD 1.31 Cho hai đường thẳng : 2 – – 3 0 d x y = , d ′ : x + 3 –1 0 y = và điểm I ( 3;0 ) Tìm đường thẳng ∆ qua I sao cho ∆ cắt d và d′ lần lượt tại A , B

②②②② Cho A , B là 2 điểm cố định trên d ′ : 2 – x y + = 9 0 , biết đoạn AB = 2 5 Tìm M ∈ d sao cho diện tích ∆ MAB bằng 5 đơn vị

1.57 Cho điểm A ( 1;2 ) , B ( 3;2 ) và đường thẳng 1

②②②② Tìm N ∈ d sao cho BN nhỏ nhất Tìm GTNN đó

1.58 Cho hai điểm A ( 2; 2 ) , B ( ) 5;1 Tìm điểm C trên : – 2 ∆ x y + = 8 0 sao cho diện tích tam giác

 Tìm B = BC ∩ BB′ , C = BC ∩ CC′

 Viết AB : qua B và AB ⊥ CC′

 Viết AC : qua C và AC ⊥ BB′

 Viết AB : qua A và AB ⊥ CC′

 Viết AC : qua A và AC ⊥ BB′

 M ∈ BM  M có tọa độ theo tham số t

 M là trung điểm AC  tọa độ C theo t

 Thay tọa độ C vào CN   t C

 N ∈ CN  N có tọa độ theo tham số t′

 N là trung điểm AB  tọa độ B theo t′

 Thay tọa độ B vào BM   t ′ B

 Gọi A′ đối xứng với A qua BD

 Gọi A′′ đối xứng với A qua CF

 Viết phương trình cạnh BC

 Xác định B , C : B = BC ∩ BD , C = BC ∩ CF

 Chúý:Các bài toán cho kết hợp giữa đường cao, phân giác, trung tuyến đều dựa vào các giải các bài toán trên.

B CÁC VÍ D C VÍ D C VÍ D C VÍ DỤ Ụ Ụ Ụ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có điểm A tại tọa độ (2; 2) và đường cao từ điểm B có phương trình $x + y = 20$ Cần xác định phương trình của cạnh AC của tam giác này.

VD 1.34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đỉnh A ( 1; 1 ) Các đường cao hạ từ B và

C lần lượt là d 1 : 2 x − + = y 8 0 và d 2 : 2 x + 3 y − = 6 0 Lập phương trình đường cao hạ từ A và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

VD 1.35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

: 4 2 0 d x − y − = , cạnh BC song song với d và đường cao vẽ từ B có phương trình

3 0 x + + = y Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C ; biết điểm M ( 1; 1 ) là trung điểm cạnh AC

VD 1.36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C ( − 1; 2 − ) , đường trung tuy ến kẻ từ

A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5 x + − = y 9 0 và x + 3 y − = 5 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh A tại tọa độ (3; 9) Phương trình đường trung tuyến từ đỉnh B là $3x - 4y + 9 = 0$ và từ đỉnh C là $y - 6 = 0$ Cần tìm tọa độ của hai đỉnh còn lại của tam giác ABC.

VD 1.38 Cho ∆ ABC , biết phương trình cạnh BC và hai đường cao BB ′ và CC ′ lần lượt là

4 x + y – 2 0 = ; 5 – 4 –15 0 x y = ; 2 x + 2 – 9 0 y = Viết phương trình các cạnh AB , AC

VD 1.39 Cho ∆ ABC , biết đỉnh A ( 3;0 ) , phương trình hai đường cao BB′ và CC ′ lần lượt là

2 x + 2 – 9 0 y = ; 3 –12 –1 0 x y = Viết phương trình các cạnh của tam giác đó

VD 1.40 Cho ∆ ABC , biết đỉnh A ( ) 1;3 , phương trình hai đường trung tuyến BM và CN lần lượt là

– 2 1 0 x y + = ; –1 0 y = Viết phương trình các cạnh của tam giác đó

VD 1.41 Cho ∆ ABC , biết đỉnh A ( ) 1;3 , phương trình hai đường trung tuyến BM và CN lần lượt là

– 2 1 0 x y + = ; –1 0 y = Viết phương trình các cạnh của tam giác đó

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh B tại tọa độ (2; -1) Đường cao từ đỉnh A và đường phân giác trong của góc C có phương trình lần lượt là $3x - 4y + 27 = 0$.

2 5 0 x + y − = Tìm tọa độ của A và C

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh A tại tọa độ (1; 2) Đường trung tuyến từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc C có phương trình lần lượt là $2x + 1 = y$ và $x - 1 = y$ Cần lập phương trình đường thẳng BC.

Tài liệu học tập Toán 10 cung cấp kiến thức quan trọng về hình học và tọa độ trong mặt phẳng Nội dung này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản và ứng dụng của tọa độ trong không gian hai chiều Việc hiểu rõ về hình học và tọa độ sẽ hỗ trợ học sinh trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC có đỉnh A tại tọa độ (−1; 5) Đường trung trực của đoạn AC và đường phân giác ngoài tại đỉnh B lần lượt có phương trình là $x + 2y - 30 = 0$.

3 2 0 x − y + = Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC

1.59 Cho ∆ ABC , biết phương trình một cạnh và hai đường cao Viết phương trình hai cạnh còn lại, với:

1.60 Cho ∆ ABC , biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường cao Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:

1.61 Cho ∆ ABC , biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến Viết phương trình các cạnh của tam giác đó, với:

1.62 Cho ∆ ABC , biết phương trình một cạnh AB và hai đường trung tuyến AM , BN Viết phương trình hai cạnh còn lại, với:

1.63 Cho ∆ ABC , biết phương trình hai cạnh AB , AC và tọa độ trung điểm M của cạnh thứ ba

Viết phương trình cạnh thứ ba, với:

Tiêu đề	Chuyên đề Toạ Độ Phẳng Trần Quốc Nghĩa
Trường học	Trần Quốc Nghĩa University
Chuyên ngành	Mathematics
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	140
Dung lượng	14,37 MB