Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 1

Tính chu vi, diện tích và độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A.. a Tính góc B của tam giác ABC b Tính diện tích hình bình hành ABCD... Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạ

NGƯT ThS LÊ HOÀNH PHÒ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội

Điện thoại: Biên tập - C h ế bản: (04) 39714896;

Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011

SACH MEN KETCÁC CHUYÊN ĐỄ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA

TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN_ _ _ _ _ _ _ _ _

Mã số: 1L-338ĐH2015

In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang

Địa chỉ: Số 6 Nguyễn Trung Trực - P5 - Q, Binh Thạnh - TP Hổ Chí Minh

Sô xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/2-217-189/ĐHŨGHN, ngày 3/6/2015

Quyết định xuất bản số: 356LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN, ngày 13/6/2015

LỜI NÓI ĐẦU

Các lOm học sinh thân mến!

Nhằm mục đích ^'iúp các hạn học sinh lớp 12 chuan bị thật tòl cho KY THI TRUNG HOC! PHÔ THÔNG QUỒC GIA dạt diem khá, diêm cao d(1 trúng tuyổn vào các trường Cao dang Dại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho tương lai, thoo dịnh hướng mới.

Bộ sách này gồm cS cuón cho 8 chuvòn dồ, dô các om tiộn dùng trong ôn

- TỌA DỘ KHÔNG GIAN

- PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT DANG THỨC

Cuôn TOA DÔ KHÔNG GIAN gôm có 12 phân nhỏ dc liộn luyện tcập theo chù d'ô l ù các kiôn thúc và phưcmg pháp giai Toán căn bàn Vcà nâng cao dần tlần, kôt họp ôn tập toán lóp 10 và 11, bô sung Vià mò rộng kiến thức và phưong plỉáp giai khác nhau, luyộn tập Ihôm loàn khó, 1'oán lông hạp, các btỢn ròn luyện

kỹ năng Icàm bái v<à lừng buóc giai dùng, giái gọn các bài Itập, các bài tOián trong kiê’m tra, thi cú'.

Dù dã cô g ắn g kiêm tr a tr ong (Ịuá t rì nh hiôn l.ập song cũng không t r á n h khỏi n h ữ n g sai sót mà tác giá chiia t h ấ y hốt mong dón n h ậ n các gÓỊ) ý của (Ịuý hạn doc, học sinh de lần iiì s au hoàn t hi ện h(ín

l 'á c giá

i i : HOẢ.NH PHÒ

TOẠ ĐỘ ĐIỂM, VECTƠ

Toạ độ không gian

Ba vectơ đơn vị i, j , k trên 3 trục Ox, Ov, Oz:

- Toạ độ trung điêm M của đoạn AB, trọng lâm G của lam giác ABC, trọng tâm

E của tứ diện ABCD với tọa độ

A(xi, yi, Zi), B( x 2, y 2, Zĩ), C(X3, ys, Zỉ) , D(X4 ,y4 ,24):

Veclơ [ tíf, /) ] vuông góc vói a , b

Hai vectơ a, b cùng phương o h ^ k a

Hai vectơ a , h cùng phương <=> \ a , h ] = 0

Ba 3 veclơ a, h , c đông phăng <=í> [ a , b I c = 0

Bổn điếm A, B, c, D đồngphẳng Cí> I ÁB , AC ] AD = 0

Ba 3 veclơ a, b , c không đồng phang <=> [ a , ố ] C' 0

Bôn điêm A, B, c, D không đông phăng <:í> [ AB , A C ^ AD ^ 0.

Chú ỷ: ứ ng dụng tọa độ không gian dê giải các hài toán hình không gian cô điên,

quạn hệ song song, vuông góc, dộ dài, góc , khoảng cách, vị trí lương đổi,

Bài toán 1.1: Cho ba vectơ a = (2; -5; 3), b = (0; 2; -1), c = (1; 7; 2)

a) Tìm toạ độ của vectơ c = a - 4 b - 2 c

b) Tìm toạ độ của vectơ ĩ ' = 4 a - —b + 3 c

Bài toán 1.3: Cho hai bộ ba điểm; A(1; 3; 1) B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) và

A'(l; 1; 1;), B'(-4; 3; 1), C'(-9; 5; l).HỎi bộ ba điểm nào thẳng hàng?

k để vectơ p = k u + 17 V vuông góc với vectơ q = 3 u - V.

Bài toán 1.7: Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; Vs ; 5) và C(sin5t; cos3t; sin3t) Tìm t

để AB vuông góc với o c

Giải

Ta có AB = (2; V3 ; 1), o c = (sinSt; cos3t; sin3t)

Hai đường thẳng AB và o c vuông góc với nhau khi và chỉ khi:

A B o c = 0 <=> 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = 0.

Vậy 3 vectơ đồng phang

Bài toán 1.9: Cho 4 vectơ: a = (1; -1; 1), b = (0; 1; 2), c = (4; 2; 3) và d = (2; 7; 7).

a) Chứng minh các vcctơ a , b , c không đồng phẳng

b) Hãy biêu thị vectơ d theo các vectơ a , b , c

Bài toán 1.10: Trong không gian cho bốn điổm;

= (yiZ2 - y2Zi; Z1X2 - Z2X1; Xiy2 - X2yi)

= -(y2Z| - yiZ2; Z2Xi - Z1X2; X2yi - Xiy2)

phuơng Chửng minh rằng điều kiện cần và đủ đổ vcclơ long; a (- b + c = 0

=> b cùng phương với veclơ a' + b + c

Chứng minh tương tự ta cũng có vectơ a cùng phương với vectơ a + b + c

NhuTig a và b không cùng phương, vậy a + b + c = 0

Bài toán 1.14: Cho điểm M(a; b; c)

a) rim toạ độ hình chiếu của M trên các mặt phang toạ độ và trên các trục toạ

Vì MM,' ĩ = 0 và MM| ] = 0 nên x - a = 0, y - b = 0 Vậy Mi(a; b; 0)

Tương tự hình chiếu của M trên mp(Oyz) là M2(0; b; c) hình chiếu của M trên mp(Oxz) là M3(a; 0; c)

Giả sử Mx(x; 0; 0) là hình chiểu của M(a; b; c) trên trục Ox thi

MM, = (x - a; -b; -c) Vì MM^ 1 = 0 nên X = a, do đó Mx(a; 0; 0)

'1'ương tự, hình chiếu cùa M(a; b; c) trên trục Oy là My(0; b; 0), hình chiếu của M(a; b; c) trên trục Oz là Mz(0; 0; c).

b) d(M; (Oxy)) = MMi = -y/(a-a)’ + ( b - b ) " + { c - 0 ) ’ = | c |

Tương tự d(M; (Oyz)) == I a I , d(M; (Ozx)) = I b I

Ta có d(M; Ox) = MMx /(a-a)-"+ (b -0 )'+ (c-0 )" = /b - + c '

Tương tự d(M; Oy) = + c^' , d(M; Oz) = yja^ + b^'

Bài toán 1,15: Trong không gian Oxyz cho ba điểm

Bài toán 1.16: Cho A ( 2 ;- l;3 ) , B(4; 0; ỉ), C(-10; 5; 3)

a) Chứng minh rằng: A, B, c là ba dỉnh của một lam giác

b) Tìm chân đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC

E'(x'2; y'2; 7!2), k)'(x'4; y'4; z'4) Tìm loạ độ của các đỉnh còn lại

Bài toán 1.19: Cho tam giác ABC có A(-2; 1; 0), B(0; 3; -1), C ( - l; 0; 2).

a) Chứng minh tam giác ABC có góc B nhọn

b) Tìm toạ độ điểm II là hình chiếu của A trên cạnh BC

Bài toán 1.20: Cho bốn điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0) Hỏi

hai đường thẳng AB và CD có cắt nhau hay không? Neu chúng cắt nhau, hãy tìm toạ độ giao điểm

Bài toán 1.21: a) Cho hai điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4).

Tìm điểm C(x; y; 6) để A, B, c thẳng hàng,

b) Cho hai điểm A (-l; 6; 6), B(3; -6; -2)

Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA + MB nhỏ nhất

b) Vì za = 6, Zn = -2 za zb < 0 => A, B ở hai phía của mp(Oxy).

Bài toán 1.22: Cho tứ diện ABCD có: A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D

thuộc trục Oy Biết V a b c d = 5 Tìm toạ độ đỉnh D

Bài toán 1.23: Gọi G là trọng tcim của tứ diện ABCD

Chứng minh ràng dường thăng đi qua G và một dinh của tứ diện cũng di qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó Gọi A' là trọng tâm tam giác BCD Chứngminh răng = 3

GA'

Giải

Ta giải bằng phương pháp toạ độ

Trong không gian toạ độ Oxyz, giả sử A(xi; yi; Z | ) , B(X2; V2; /2), C(X3; y3 Za),

D(x4; y4; Z4) thì trọng tâm A' của tam giác BCD, trọng lâm tứ diện G:

A'^ X, + X, + y^ + y, -f y4 z, + z, + z /

GA' = 3.

Tưong lự thì có đpcm

Gọi G là trọng tâm AACD, E, F là trung điếm BG, AỈC

Chọn H làm gốc toạ độ với hệ trục Hx, Ily, Hz

sao cho I lA là trục Mz, HB là trục Hy

AC = (Ci; C2; -a), OD = (di; dỵ, -z)

Theo giả thiết OA = OB = oc = OD <=> OA" = OB‘ = oc^ = OD^

(a - z)" = b^ + z^ = c^ + cị + z^' = df + dị + z^

» a - 2az = b^ = c? + cl = d,“ + dỉ

Ta có: OF.BG = 0 « (C i + d i)^ + (C2 + d2)^ - 9b^ + 7a' - 12az = 0

(1)(2)

Khai triển (2) và thay thế (1) ta được:

(2) <=> 32 + Cidi + C2d2 = 0 <tí> OD AC = 0: đpcm

B À I T Ậ P Bài tập 1.1: Tính tích vô hướng của hai vectơ sau:

Bài tập 1.4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các điểm A (l; 0; 1), B(2; 1; 2),

Và ÃA' = BB' = DD' = CC' = (2; 5; -7) nên A'(3; 5; -6), B'(4; 6; 5), D'(3; 4; -6)

Bài tập 1.5: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ

1) a = ( l ; - 2 ; 2 ) , b = ( 1 ; 0 ; 0), c = (2;-1; 1)

2 ) a = ( - 5 ; l ; 4 ) , b = ( - 3 ; 2 ; 3), c = ( l ; 2 ; 0 )

IID-ĐS

Bài tập 1.6: Cho 4 điểm A(5; 1; 3), B (l; 6; 2), C(5; 0; 4) và D(4; 0; 5).Chứng

minh A, B, c, D là 4 đỉnh tứ diện Tìm trọng tâm G của tứ diện

HD-ĐS

^15 7 15^

4 ’ 4 ’ 4 ,Trọng tâm G

a) Tìm hình chiếu M(2;-4;7) lên Ox, Oy, Oz., (xOy), (yOz), (zOx)

b) Tìm điểm đối xứng M (-l;9;3) qua o, Ox, Oy, (xOy), (zOy)

2 J P góc , k h o ả n g c á c h , d iệ n t íc h , t h ể t íc h

Tích có hướng của a = (x,y,z) và h = (x'.y',z') là veclơ:

n = [ a , h ] = ? z X X ''

z' z' > X'

- Độ dài của vectơ: u = (x,y,z): I M I = + y~

- Góc của tam giác ABC: cos A = cos(AB, A C ).

- Diện tích lam giác ABC: s = — \ [AB , AC Ị \

3) ứng dụng tọa độ không gian đế giải các hài toán hình không gian cô điển,

CỊuạn hệ song song, vuông góc, độ dài, góc , khoảng cách, vị tri tương đổi,

Bài toán 2.1: Tính côsin của góc giữa hai vectơ u và V trong mỗi trường họp sau:

Bài toán 2.3: Cho hình bình hành ABCD với A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2 )

Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ AC và B D

Bài toán 2.4: Ba vcctơ đơn vị trên 3 trục Ox, Oy, Oz là i, j , k

Cho vectơ u tuỳ ý khác 0

Chứng minh rằng: cos^( u , i ) + cos^( u , j ) + cos^( u , ỉc) = 1.

Từ đó suy ra cos^( u , i ) f cos^( u , j ) + cos^( u , k ) = 1

Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC vuông ở A biết A(4; 2; -1), B(3; 0; 2), C(x; -2; 1)

a) Tìm tâm và bán kính đưòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Tìm độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A

Giải

a) Tam giác ABC vuông tại A nên AB^ + AC^ = BC^

Mà AB^ = 1 + 4 + 9 = 14, AC^ = (x - 4)^ + 16 + 4 = (x - AỶ + 20

Bài toán 2.6: Cho ba điểm A(l; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)

a) Chứng minh A, B, c không thẳng hàng Tính chu vi, diện tích và độ dài đường cao của tam giác ABC vẽ từ đỉnh A

b) Tính các góc của tam giác ABC

Vì BC^ = AB^ + AC^ nên tam giác ABC vuông tại A do đỏ diện tích:

a) Tính độ dài đường cao hA của tam giác vẽ từ đỉnh A

b) Tính độ dài đường phân giác trong của tam giác vẽ từ đỉnh B

11

' 3

z = 1

V â y D U ; i i BD = 2 4 ĨẦ

Bài toán 2.8: Cho hình bình hành ABCD có 3 dinh A(3; 0; 4), B(1; 2; 3), C(9; 6; 4).

a) Tính góc B của tam giác ABC

b) Tính diện tích hình bình hành ABCD

a) Chứng minh ABCD là một hình thang.

b) Tính diện tích hình thang ABCD

Giải

a) AB = (-1; 1; 7), AC = (-6; -6; 16), hai vectơ này không cùng phưong vì toạ

độ không tỉ lệ suy ra A, B, c không thẳng hàng và có;

DC = ( - 2 ; 2 ; 14) = 2 ÃB => A B / / CD.

Vậy ABCD là hình thang

b) Sabcd - Sabc + Sadc

= - | [ A B , A C ] | + - | [ A D , Ã C ] | = 3 V l0 4 6

Bài toán 2.10: Cho hai điểm A(2; 0; -1), B(0; -2; 3)

a) Tìm toạ độ điểm c e Oy để tam giác ABC có diện tích bằng V ĩĩ và thoả mãn o c > 1

b) Tìm toạ độ điểm D e (Oxz) để ABCD là hình thang có cạnh đáy AB

Bài toán 2.11: Cho bốn điểm A( ]; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; ]) và D(-2; 1; -2)

a) Chứng minh rằng A, B, c, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ đỉnh A

a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD

b) Tim hình chiếu của D lên mặt phang (ABC)

b) Gọi H(x; y; z) là hình chiếu D trên mặt phẳng (ABC) thì:

ÃH = ( x + l ; y - 2 ; z ) , Ĩ5h = ( x - 2 ; y - l;z) Ta có:

18DH.ÃB = 0

Gọi I là trung điểm của BC;

=>I ( - 1; 3; 2) => ^ + ^ = 2MỈ =>T = 2(MA + MI)

Z a - 3 > 0 và Zi = 2 > 0 => A và I nằm về cùng 1 phía đối với mp(Oxy) và M(x; y; 0) thuộc mp(Oxy) nên lấy đối xứng I(-l; 3; 2) qua mp(Oxy) thành J (-l; 3; -2)

^ MI = MJ ^ T = 2(MA + MJ) > 2AJ = 2

Dấu = xảy ra khi M là giao điểm của đoạn MJ với mp(Oxy) là M 1 9

V 5 5Vậy minT = 2 - \ / ^

Bài toán 2.14: Cho hình lập phưcmg ABCD.A'B’C'D' có cạnh bàng a Gọi I, J lần

lượt là trung điểm của A'D' và B'B

a) Chứng minh rằng u ± A C Tính độ dài đoạn thẳng u.

b) Chứng minh rằng D'B -L mp(A'C'D), mp(ACB') và tính góc giữa hai đưòng thẳng u và A'D

- —.a + a.O - —(-a )

Bài toán 2.15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Trên các cạnh

BB', CD, A ’D' lần lượt lấy các điểm M, N, p sao cho B'M = CN = D ’P = ka ( 0 < k < l )

a) Tính diện tích tam giác MNP theo k và a

b) Xác định vỊ trí M trên BB' để diện tích tam giác MNP có giá trị bé nhất

M

1i

=> MN = (-ka; a; -a + ka), MP = (-a; a - ka; ka) nên:

[ , ^ ] = (k^a- - ka- + a^ k V - ka^ + a^; k^a^ - ka^ t- a^)

S m n p = - l [ M N , MP] I = - ^ ^ ( k ^ - k + l ) v ớ i k e (0; 1)

b) Ta có: k k + 1 = (k ) H >

Dấu = khi k = — e (0; 1) nên S m n p bé nhất khi M là Irung điểm BB'

Bài toán 2.16: Cho hình lập phưcmg ABCD.AiBiCiDi cạnh a, trên BCi lấy điểm

M sao cho D|M, DÃ|, AB| đồng phang Tính diện tích s của AMAB)

Bài toán 2.17: Lăng trụ tứ giác đều ABCD.AiBịCiDi có chiều cao bằng nửa cạnh

đáy Điểm M thay đổi trên cạnh AB Tim giá trị lớn nhất của góc A,MC,

Vậy góc a == A,M C| lớn nhất 90® khi X = 1 tức M trung điểm AB.

Bài toán 2.18: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC

vuông tại c , AC = b, BC = a Gọi M là trung điêm của AC và N là điêm saocho SN = - S Ĩ Ì

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB

Giải

Ta chọn hộ trục toạ dộ Oxyz có gốc o trùng với A, tia Ox trùng với tia AC, tia

Oz trùng với tia AS sao cho điổm B nằm trong góc xOy

- b ' ^ -2 1 r

• 4 ■—h ■

6 3 3 = 0<=>4h^ = 2 a ^ - b l

Bài toán 2.19: Cho tứ diện SABC có sc = CA AB = aV 2 , sc 1 (ABC), tam giác ABC vuông tại A Các điểm M e SA N G BC sao cho:

AM = CN = t (0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t đế MN ngắn nhất

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của

BC và SA

Giải

a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc toạ độ o = A Trục Ox chứa AC, trục Oy chứa AB và trục Oz ± (ABC) Khi đó cạnh sc song song với trục Oz và ta có:

A(0; 0; 0 ) , B(0; aV2 ; 0), C(a^Í2 ; 0; 0), S(a V2 ; 0; a ^/2 )

b) Khi MN ngắn nhất thì: M^a-s/2 „ a-v/2^-;0;- và

ị Ĩ ^ B C = 0

=> MN là đưòng vuông góc chung của SA và BC

Bài toán 2.20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, mặt bên tạo với

đáy góc a Tìm tana để SA vuông góc sc.

Giải

Chọn hệ trục Oxyz có o là tâm đáy ABCD, lia Ox chứa A, tia Oy chứa B, tia

Oz chứa s

Ta có:

V , BíoC ^;oì

Dnên

Bài tập 2.2: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có trọng tâm G(l ; 1; 2)

với A e Ox, B e Oy và c e Oz

Bài tập 2.3: Cho 4 điổm A (6,-2,3), B (2 ,0 ,-l), C (0 ,l,6 ), D(4,l,0)

Chứng minh A, B, c, D là 4 đinh tứ diện, 'kính khoảng cách từ trọng tâm G dến điểm c.

ỈỈD-DS

G(3;0;2) suy ra đoạn GC

Bài tập 2.4: Cho A (4, 2, 6), B (4, -4, 0), c (10, -2, 4) Tìm chân đường cao AH

Gọi I là điêm sao cho /y4 + /.ổ + 5/C = 0 rôi chèn I

Bài tập 2.6: Cho tam giác ABC có: A(l ; 1; 3), B (-l; 3; 2), C (-l; 2; 3) 'iì'nh diện

tích tam giác ABC và thê tích tứ diện OABC

IID-DS

Bài tập 2.7: Cho 4 điểm A(2; -4; 2), B(0; 2; -2) C(4; 8; 0), D(6; 2; 4)

Chứng minh ABCD là hình thoi, tính diện tích và bán kính r dường tròn nội tiếp hình thoi

lĩD -Đ S

S abcd ~ a/2736 , r

-V 14

Bài tập 2.8: Cho tam giác ABC có A(2; 0; 1), B(0; 1; 0), C( 1; -1; -4).

1) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình cliữ nhật và điếm s € mp(Oyz) sao

MẶT CẦU

Phương trình mặt cầu

- Mặt cầu (S) tâm ỉ(a, h, c) bán kính R:

(x - a f + (y - b f + (z - c f =

với điều kiện t - D > 0 là mặt cầu có lâm I(-A, -B, -C) và bán kính R = ^ A ^ +B^ +C- - - D

nên - d = - + - + 1 - 100 < 0

Vậy đó không là phương trình mặt cầu

Bài toán 3.2; Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

nên phương trình mặt cầu cần tim là: (x - 5)^ + (y 4- 3)^ 4 (z - 7)^ = 4

b) Mặt cầu tâm I đi qua gốc toạ độ nên có bán kính R = 10 = -\/l64-16 + 4 = 6

Vậy phương trình mặt cầu: (x - 4)^ 4^ (y 4 4)^ 4- (z - 2Ý = 36.

Bài toán 3.3: Lập phương trình mặt cầu:

a) Nhận đoạn AB làm đường kính với A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

b) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz)

Vậy mặt cầu có phương trình: x^ 4- (y - l ý 4-(z - 5)^ = 26.

Bài toán 3.4: Cho A(0; -2; 1), B (-l; 0; 1), C(0; 0; -1) Lập phương trình mặt cầu

có đưòng tròn lớn là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

và bán kính R = AI

,,2 , 1.2 / 3 T 33

I) + (y + - ) '+ ( z

Bài toán 3.5: Lập phương trình mặt cầu:

a) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox.b) Có tâm 1(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz)

Mặt cầu có phương trinh: (x - 1 )^ + (y - 2Ý + (z - 3)^ = 1.

Bài toán 3.6: Cho A (l; 2; -4), B (l; -3; 1), C(2; 2; 3), D (l; 0; 4) Lập phương trình

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài toán 3.7: Cho tứ diện OABC có A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).

a) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC

Vì (S) qua các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4) nên ta có:

Cách khác: Ta có OA, OB, oc đôi một vuông

góc nên gọi M là trung điêm AB thi MI = — oc

Mặt cầu (S) đã cho có tâm I(~2; -4; 1), R = 5

a) Gọi ("S') là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(xOy) thì có tâm

I'(-2; -4; -1) và R' = R = 5 nên có phương trình:

(S'); (x + 2 ỷ + (y + 4 ỷ + (z + \ỷ = 25.

b) Gọi (S") là mặt cầu đối xứng của (S) qua mp(yOz) thì

(S") có tâm I"(2; -4; 1) và R" = R = 5 nên có phương trình:

(S"); (x - 2 ý + (y + 4 Ý + ( z - ỉ ỷ = 25

Bài toán 3.9: Cho điểm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0) Lập phương trình mặt cầu có tâm là

hình chiểu H của gốc o lên đường thẳng AB và bán kính R = ^J\915

Giải

Ta có A thuộc triic Ox, B thuộc trục Oy

Trong tam giác AOB: AO^ = AILAB

Bài toán 3.10: Cho phưonng trình;

x^+ Ý + + 2xcosa - 2ysina - 4z - (4 + sin^a) = 0

Tìm a để phương trình trên là phương trình một mặt cầu và tìm a để bán kínhmặt câu là nhỏ nhât

Giải

Ta có: a = -cosa, b = sina, c = 2, d = -(4 + sin^a)

=> a^ + b^ + c“ - d = cos^a + sin^a + 4 + 4 + sin^a = 9 + sin^a > 0, V a

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu với mọi a

Ta có R = V9 + sin^ a > 3 => min R = 3 khi a = kn, (k e Z).

a) Chứng minh ABCD là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bàng nhau.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

b) Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Vậy tứ diện ABCD có cặp cạnh đối bằng nhau

Trung điểm cúa AB là E(0; 2; —), của CD là F(0; 6; )

b) Gọi A' là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy Hãy viết phưoTig trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A', B, c, D.

Gọi phương trình mặt câu (S): x^ + y^ ^ 7 } + 2ax -t- 2by

(S) qua A', B, c, D nên;

a) Xét các điểm M (l; -2; 1) và N(-3; -1; 3) điểm nào nam trong và điểm nào nằm ngoài mặt cầu?

b) Lập phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu đã cho qua mặt phang (xOz) Hai mặt cầu đó có cắt nhau không?

Giải

a) Ta có thể viết phương trình mặt cầu dã cho dưới dạng:

(x- l)^ + (y + 3)^ + (z + 1)^ = 25

Mặt cầu này có tâm 1(1; -3; -1), R = 5

Ta có IM = -71^”+ ^ = Vs < R nên điểm M ở trong mặt cầu và

IN = VI6 + 4 + I 6 - 6 > R nên điểm N nằm ngoài mặt cầu

b) Gọi I' là điểm đối xứng của I qua mặt phẳng (xOz) thì điểm r có toạ độ là (1; 3; -1) Do đó mặt cầu đối xứng với mặt cầu cho trước qua mặt phẳng (xOy) có phương trình là: (x - 1 )^ + (y - 3)^ + (z + 1 )^ = 25

Hai mặt cầu này có khoảng cách d giữa hai tâm là 6 và d < 2R = 10 nên hai mặt cầu đó cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn

Bài toán 3.14: Xét vị trí tương đối của 2 mặt cầu:

(Si): X" + y" + z^ - 4x -( 6y + 2z + 5 0

Và (S2): 2x^ -+ 2y^ + 2/+ - 2x + 8y - 6z - 1= 0

Giải

Mặt cầu (S|) có tâm 1(2; -3; -1), bán kính R 3

1 3nên có tâm J ( ^ ; -2; ^ r = v 7 .

Vì R + r < IJ < I R - r I nên 2 mặt cầu cắt nhau

Bài toán 3.15: Cho mặt cầu (S): x^ + y^ + z^ - 4x -t 4y - 2z = 0 và hai điểm A(4; 2; 0), B(2; 1; 2) ChÚTig minh rằng đường thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung

Vậy đường thẳng AB và mặt cầu (S) không có điểm chung

Bài toán 3.16: Cho phương trình với a là tham sổ tuỳ ý:

+ Ý + 7 } - 2(sina - 1 )x - 2(sina + 1 )y - 2cosa.z + 1 = 0

a) Chứng minh (1) là phương trình của một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó

b) Tìm bán kính lớn nhất, nhỏ nhất của mặt cầu đó, xác định tâm của các mặt cầu trong các trường hợp đó

min R = V2 khi sin a = 0 Cĩ> a = kn

Khi max R = V3 ta có tâm mặt cầu là: li(0; 2;0) hoặc l2(-2; 0; 0)

Khi min R = V2 ta có tâm mặt cầu là: l3(-l; 1; 1) hoặc l4(-l; 1; -!)•

Bài toán 3.17: Cho điem A (l; -1; 2) và B(2; 0; 1)

rim quỹ tích các đicm M sao cho MA^ + MB^ = 3

Bài toán 3.18: Cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6)

Tỉm tập họp các điểm M trong không gian sao cho

C (0 ;3 ;3 ),D (3 ;3 ;3 ) , ^ ,

1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c , D

2) Tìm toạ độ tâm dường tròn ngoại tiếp lam giác ABC

Bài tập 3.3: Cho tứ diện MNPQ có M( 1,1,1), N( 1,2,1), P (l,l,2 ), Q (2,2,l) Tính V

và lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp

Tìm hình chiếu của E lên Ox là M(3;0;0) suy ra R = HE.

Bài tập 3.5: Cho tam giác ABC có A (l;-2;-3), Ị3(0;2;l), C(3;2;0) Lập phương

trình mặt cầu qua A, B, C.có đường kinh bé nhất

IID-DS

la m mặt cầu là tâm đường tròn qua A, B, c.

Bài tập 3.6: Cho hình lập phương ABCD.AiBiCiDi Gọi M là trung điểm của

AD, N là tâm hình vuông CCiDiD rim bán kính mật cầu đi qua các điểm B, C,, M, N

ỈID-DS

Chọn hệ trục Axyz qua 3 cạnh chung đỉnh A, R =

4

Bài tập 3.7: Cho bốn điểm A(3; 2; 0), B (-l; 3; 2), C (l; 0; 1), D(0; -1; 3) Tìm tập

hợp những điểm M trong không gian thoả mãn diều kiện:

họp những điểm M trong không gian thoả mãn từng điều kiện: MA^ + MB^ = 23

ỈID-ĐS

x^ + y^ + z ' - 2x - 5v - 2z + 2 = 0 Tập hợp những điểm M cần tìm là mặt cầutâm 1(1; Ậ ; 1), bán kính R = Ậ

Bài tập 3.9: Cho sáu điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), A'(a'; 0; 0), B'(0; b'; 0),

C'(0; 0; c') với aa’ = bb' = cc’ 0; a xí a', b ^ b', c ^ c'

a) Chứng minh có một mặt cầu đi qua sáu điếm nói trên

b) Chứnu minh dưừim ihăng di qua gốc loạ dộ 0 và trọng tâm tam giác ABC',

\'uông góc với mặt phăng (A'1V('').

lỉD -D S

aì Ta xác dịnh lâm I và hán kính R cua mặt cầu qua 4 dicm A A' IT C' rối

h) (ìọi Ci là trọng tâm AAICC' ' t> (Xi = " ; ; Ị

PhuoniỊ Irìnli tôniỊ (Ịiiát cua niặi phùníỊ

Mã! pììăny di qua dicm MịìiXti.Vn) rà có rcdo' pháp luyên

n

A ( X - X u ) ■ B(y - Vuì ■ Clz-Zii) II

IiPhưonq Irình các lìiăl loa dô:

(Oxrl: z 0 í()\zj: X I) (Ozx/: r II

2ì Măt J)hăny di (Ịua 3 diêm A lỉ (' khõny ihãini hànq có r c d ơ pháp luyén

li | AB AC' l

3) Mặì phăny di qua qồc () có dạny Ax ■ By ■ Cz fl A ■ l f ■ c~ /■ (ì.