MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY

Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG I.. Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG I.. Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU

Trang 1

GV THỰC HIỆN : ÐỖ TRẦN MINH VŨ

BỘ MÔN : TOÁN

Trang 2

Phát biểu định lý trung tuyến trong tam

giác ?

A

B

AM2 = AB2+AC2 BC2

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng cách

đều một điểm cố định là gì?

Trang 3

1/ ĐỊNH NGHĨA

Cho một điểm O cố định và một số thực dương R

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm

O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính

R Ký hiệu : S(O;R) hay viết tắt là (S)

O

Trang 4

A2

A1

B O

Nếu OA = R thì điểm A

nằm trên mặt cầu S(O;R)

Nếu OA < R thì điểm A nằm

trong mặt cầu S(O;R)

Nếu OA > R thì điểm A nằm

ngoài mặt cầu S(O;R)

Trang 5

2/ Bán kính, đường kính của mặt cầu:

A

B O

* Nếu điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)

thì đoạn thẳng OA được gọi là

bán kính mặt cầu (S).

* B đối xứng với A qua tâm O thì

AB được gọi là đường kính của

mặt cầu (S).

Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian sao cho tổng bình phương các khoảng cách

từ M tới hai điểm cố định A và B bằng một hằng số k2.

Ví dụ 1:

Trang 6

B

O M

Giải:

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng

AB, với M bất kỳ ta có:

OM2 = MA2+MB2 AB2

= k2

2

AB2

4

*Nếu k2

2

AB2

4

{M/ MA2+MB2= k2} = {M/ OM = R}=S(O;R).

Khi đó quỹ tích điểm M là mặt cầu tâm O bán

kính

{M/ MA2+MB2= k2}= ???

2

AB2

4

k2

R=

2

AB2

4

k2

R=

Trang 7

2

4

= thì OM = 0 hay M 0 Khi đó quỹ tích điểm M là một điểm O.

*Nếu k2

2

AB2

4

< thì quỹ tích là tập rỗng.

*Nếu

Trang 8

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC vuông tại B, DA (ABC)

a/ Xác định mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

b/ Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a Tính bán kính

A

B

C

Giải:

a/ Ta có: DA (ABC) DA BC

Lại có: AB BC nên BC DB

Suy ra: DAC = DBC = 900

Vậy A,B,C,D nằm trên mặt cầu tâm O là trung điểm DC

b/ R = 5a 2

2

I

A

D

B

C O

Trang 11

Bài 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU

VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

I Vị trí tương đối của một mặt

cầu và một mặt phẳng:

Cho một mặt cầu S(O;R) và mp(P)

bất kỳ.

Gọi H = hc O /mp(P)

Khi đó OH = d [ O, mp(P) ]

O

H

R

Ta xét các trường hợp sau :

Khi đó mọi điểm M ∈ (P) thì

OM>OH Vậy mọi điểm của (P)

đều nằm ngoài mặt cầu (S)

M

Nếu OH > R:

P

Trang 12

bất kỳ

Gọi H = hc O / mp(P)

O

H

R

Khi đó điểm H ∈ (S) ∀ M∈ (P),

M ≡ H thì OM > OH = R

Vậy (S) ∩ (P) = H

M

Điểm H gọi là tiếp điểm của (S)

và (P)

Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện

của mặt cầu (S)

P

Nếu OH = R:

Trang 13

O

H R

Khi đó mp(P) sẽ cắt mặt cầu (S)

theo một đ tròn C( H, r ) với r = √R2

– d2

bất kỳ

Gọi H = hc O / mp(P)

Ta xét các trường hợp sau : M

Khi d=0 thì (S)∩(P) = C (O;R) C(O;R) gọi là đường tròn lớn của

P

Nếu OH < R:

Trang 14

II Vị trí tương đối của một mặt

cầu và một đường thẳng:

Cho một mặt cầu S(O;R) và đường

thẳng (d) bất kỳ

Gọi H = hc O /(d)

Khi đó OH = d [ O, (d) ]

Vậy d ∩(S) = ∅

P

Nếu d> R:

(C) H

d

Nếu d không đi qua O thì:

(O,d)∩(S)= C(O;R)

Khi đó: d ∩(C)= ∅

Nếu d đi qua O thì d cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B với AB là đường kính của mặt cầu

Trang 15

O

Gọi H = hc O /(d)

P

Nếu d= R:

(C) H

d

(O,d)∩(S)= C(O;R)

Khi đó: d ∩(C)= {H}

Ta nói rằng d tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại điểm H, điểm H gọi là tiếp điểm của d và (S)

Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến

Trang 16

O

Gọi H = hc O /(d)

Vậy d cắt (S) tại 2 điểm

P

Nếu d< R:

(C) H

d

(O,d)∩(S)= C(O;R)

Khi đó: d cắt (C) tại 2 điểm

Trang 17

O

III.Các tính chất của tiếp tuyến:

Định lý 1:

Qua điểm A nằm trên mặt cầu

S(O;R) có vô số tiếp tuyến của

mặt cầu (S) Tất cả các tiếp tuyến

này đều nằm trên tiếp diện của (S)

tại điểm A

Trang 18

O

III.Các tính chất của tiếp tuyến:

Định lý 2:

Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu

S(O;R) có vô số tiếp tuyến với mặt

cầu (S) Độ dài các đoạn thẳng kẻ

từ A tới các tiếp điểm đều bằng

nhau

A

M

M’

(C)

p

Trang 19

Ví dụ:

Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a, qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết CD = a 3 a/ Tính AB

b/ Tính d(O,CD)

O A

B

D H

C

Đáp số:

a/ AB = a 3

b/ d(O,CD) = a

2

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	605 KB