bài tập dao động điều hòa

+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ trở lại trạng thái ban đầu... Dao động điều hòa+ Dao động điều

DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

TÓM TẮT LÝ T HUYẾT.

+ Dao động cơ là chuyển động qua lại c

ủa vật quanh 1 vị trí cân bằng.

+ Dao động tuần hoàn là dao động mà

sau những khoảng thời gian bằng nhau vật

trở lại

vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở

lại trạng thái ban đầu).

2 Dao động điều hòa

+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hoặc sin) của thời gian

+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn

thẳng luôn luôn có thể dược coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường kính là đoạn thẳng đó

+ Phương trình dao động: x = Acos(t + )

Trong đó: x (m;cm hoặc rad): Li độ (toạ độ) của vật; cho biết độ lệch và chiều lệch của vật so với VTCB.

A>0 (m;cm hoặc rad): Là biên độ (li độ cực đại của vật); cho biết độ lệch cực đại của vật so với VTCB.

(t + ) (rad): Là pha của dao động tại thời

điểm t; cho biết trạng thái dao động (vị trí và chiều chuyển động) của

vật ở thời điểm t.

 (rad): Là pha ban đầu của dao động; cho biết

trạng thái ban đầu của vật.

 (rad/s): Là tần số góc của dao động điều hoà; cho biết tốc độ biến thiên góc pha

3.Chu kỳ, tần số của dao động điều hoà

+ Chu kì T(s): Là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần

Chính là khoảng thời gian ngắn nhất để vật trở lại vị trí và chiều chuyển động như cũ (trở lại trạng thái ban đầu)

4.Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà

+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  + ) Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên

điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn so với với li độ

- Ở vị trí biên (x =  A): Độ lớn vmin = 0

- Ở vị trí cân bằng (x = 0): Độ lớn vmin =A.

Giá trị đại số: v max = A khi v>0 (vật chuyển động theo chiều dương qua vị trí cân bằng)

v min = -A khi v<0 (vật chuyển động theo

chiều âm qua vị trí cân bằng)

+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian:

a = v' = x’’ = -  2 Acos(t + ) = -  2 x

Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa

cùng tần số nhưng ngược pha với li độ (sớm pha so với vận tốc).

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về

vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ lớn của li độ.

- Ở vị trí biên (x =  A), gia tốc có độ lớn cực đại : amax =

 2 A.

Giá trị đại số: amax= 2 A khi x=-A; amin=- 2 A khi x=A;.

- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0.

+ Đồ thị của dao động điều hòa là một đường hình sin.

+ Quỹ đạo dao động điều hoà là một đoạn thẳng.

5.Dao động tự do (dao động riêng)

+ Là dao động của hệ xảy ra dưới tác dụng chỉ của nội lực

+ Là dao động có tần số (tần số góc, chu kỳ) chỉ phụ thuộc các đặc tính của hệ không phụ

thuộc các yếu tố bên ngoài

Khi đó:  gọi là tần số góc riêng; f gọi là tần số riêng; T gọi là chu kỳ riêng

x v







c.Chú ý:

– Phương trình chuẩn : x = Acos(t + φ) ;

v = –Asin(t + φ) ; a = – 2Acos(t + φ) – Một số công thức lượng giác :

sinα = cos(α – π/2) ; – cosα = cos(α + π) ; cos2α =



1 cos2

2

 

2.Bài tập.

Bài 1 Cho các phương trình dao động điều hoà như sau

Xác định A, , , f của các dao động điều hoà đó?

Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà Xác định biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó.

Dạng 2: Xác định li độ, vận tốc và gia tốc tại thời

điểm t biết trước.

a.Phương pháp.

+ Muốn xác định x, v, a ở một thời điểm hay ứng với pha dã cho ta chỉ cần thay t hay pha đã cho vào các công thức :

- Khi : Vận tốc , gia tốc, lực phục hồi

ngược chiều với chiều dương trục toạ độ

b.Bài tập.

Bài 1

Một chất điểm có khối lượng m = 100g dao động điều hoà theo phương trình :

(cm) Lấy Xác định li độ, vận tốc, gia tốc trong các trường hợp sau :

Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương trục toạ độ

Khi pha dao động là 120 0 thay vào ta có :

Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là :

Tìm chiều dài của quỹ đạo, chu kỳ, tần số.

Vào thời điểm t = 0 , vật đang ở đâu và đang di chuyển

theo chiều nào? Vận tốc bằng bao nhiêu?

4

x   t  

Dạng 3: Vận tốc và gia tốc cực đại.

a.Phương pháp.

1.Vận tốc trong dao động điều hoà ;

+ v max = A  x = 0 ( Tại VTCB )

+ vmin = 0  x = A ( Tại hai biên )

2.Gia tốc trong dao động điều hoà

+ amax =  2 A  x = A ( Tại hai biên )

+ a min = 0  x = 0 ( Tại VTCB )

+ luôn có hướng về VTCB A luôn ngược dấu với x

b.Bài tập

5cos(20t – π/2) (cm, s) Vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật là bao nhiêu?

Dạng 4: Vận tốc và gia tốc tại vị trí có li độ x biết trước.

- Chú ý: + v > 0 : vận tốc cùng chiều dương trục toạ độ.

+ v < 0 : vận tốc ngược chiều dương trục toạ độ.

2 Để xác định gia tốc tại một điểm trên quỹ đạo, ta áp dụng công thức:

- Chú ý: + a > 0 : gia tốc cùng chiều dương trục toạ độ.

+ a < 0 : gia tốc ngược chiều dương trục toạ độ.

b.Bài tập.

Bài 1 Một vật dao động điều hoà với chu kỳ và đi được

quãng đường 40cm trong một chu kỳ Xác định vận tốc và gia tốc của vật khi đi qua vị trí có li độ x = 8cm theo chiều hướng về VTCB.

Lời Giải

- ADCT: ;

- Ta có :

- Bình phương hai vế, cộng vế với vế, ta được:

- Theo đầu bài ta có: ( vì v < 0 )

Ta có :

Dấu “ – “ chứng tỏ gia tốc ngược chiều với chiều dương

trục toạ độ, tức là nó hướng về VTCB.

( ) 10

T  s

40 10

rad s T

Bài 2 Một vật dao động điều hoà trên đoạn thẳng

dài 10cm và thực hiện 50 dao động trong 78,5s Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó đi qua vị trí

có toạ độ

x = -3cm theo chiều hướng về VTCB

Lời Giải

Biên độ: A = ; Chu kỳ: T = ; Tần số góc:

Bài 3 Một vật dao động điều hòa có phương trình : x = 5cos(2πt - π/6) (cm, s) Lấy π) (cm, s) Lấy π 2 = 10, π = 3,14 Vận tốc và gia tốc của vật khi có li độ x = 3cm là bao nhiêu?

Bài 4 Vật dao động điều hòa có phương trình

Xác đin hj vận tốc của vật khi qua li

độ

Bài 5 Một vật dao động điều hòa có đặc điểm sau:

-Khi đi qua vị trí có tọa độ thì vật có vận tốc

Dạng 5: Xác định thời điểm vật đi qua vị trí đã

x0 = Acos(t + φ)  cos(t + φ) = = cosb  t + φ = ±b + k2π b + k2π

* t1 = + (s) với k  N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0

theo chiều âm

* t2 = + (s) với k  N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0theo chiều dương kết hợp với điều kiện của bai toán ta loại bớt đi một nghiệm

ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và

CĐTĐ ” Thông qua các bước sau

* Bước 1 : Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang

b - Khi vật đạt vận tốc v 0 thì :

Từ: v0 = -Asin(t + φ)

 sin(t + φ) = - = sinb

 

với k  N khi và k  N* khi

* Liệt kê n nghiệm đầu tiên (thường n nhỏ)

* Thời điểm thứ n chính là giá trị lớn thứ n

0

v A



b.Bài tập.

Bài 1 Một vật dao động với phương trình: (cm) Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều

dương.

Bài 2 Một vật dao động điều hoà với phương trình :

(cm) Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x

= - (cm) lần thứ ba theo chiều âm.

Bài 3 Một vật dao động điều hoà với phương trình :

(cm) Xác định thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = 5cm lần thứ 2008.

Bài 4 Một vật dao động điều hoà theo phương trình :

(cm) Xác định thời điểm vận tốc của vật có độ lớn

bằng nửa vận tốc cực đại lần thứ nhất, lần thứ hai.

Bài 5 Một vật dao động điều hoà theo phương trình :

(cm) Xác định thời điểm vận tốc của vật có độ lớn

Dạng 6 Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian t Biết tại thời điểm t vật có

hoặc t +  = -  ứng với x đang tăng (vật chuyển động

theo chiều dương)

* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó t giây là

b.Bài tập.

Bài 1 Vật dao động điều hòa theo phương

trình : x = 10cos(4πt + )cm Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm và đang tăng Tìm li độ của vật tại thời điểm sau đó 0,25s

Bài 2 Vật dao động điều hòa theo phương

trình : x = 10cos(4πt + )cm Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6) (cm, s) Lấy πcmvà đang tăng, li độ của vật tại thời điểm t’ = t + 0,125(s) là bao nhiêu?

Dạng 7: Xác định khoảng thời gian ngắn nhất

2 2

s s

x co

A x co

b.Bài tập

Bài 1 Một vật dao động điều hòa có biên độ 4cm, tần

số 10Hz Xác định khoảng thời gian ngắn nhất để vật

đi từ vị trí cân bằngdđến vị trí có li độ

theo chiều dương

Bài 2 Một vật dao động điều hòa với phương trình

Xác định khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu dao động đến lúc vật đi qua vị trí có li độ

Dạng 8: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t 1 đến t 2 .

Để tính S 2 ta biểu diễn các vị trí x 1 , x 2 và các véc tơ vận tốc tương ứng

trên trục Ox Từ x1 ta kẻ một đường song song với Ox đi qua x2 cho đến khi chiều của đường kẻ đó cùng chiều Khi đó chiều dài đoạn vẽ được chính là S2.

Lưu ý:

-Chiều dài quỹ đạo: 2A

-Quãng đường đi trong 1 chu kỳ luôn là 4A; trong 1/2 chu kỳ luôn là 2A -Quãng đường đi trong l/4 chu kỳ là A khi vật đi từ VTCB đến vị trí biên hoặc ngược lại

b.Bài tập

12cos(50t - π/2)cm Xác định quãng đường vật đi được

trong khoảng thời gian t = π/12(s), kể từ thời điểm gốc (t = 0).

6) (cm, s) Lấy πcos(20t + π/3)cm Xác định quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t = 13π/6) (cm, s) Lấy π0(s) kể từ khi bắt đầu dao động

chu kì 1s Tại t = 0, vật đi qua VTCB theo chiều âm của trục toạ

độ Tổng quãng đường đi được của vật trong khoảng thời gian 2,375s kể từ thời điểm được chọn làm gốc là bao nhiêu?

3π/4)cm Xác định quãng đường vật đi từ thời điểm t 1 = 1/10(s) đến t2 = 6) (cm, s) Lấy πs.

Dạng 9: Lập phương trình dao động của dao động điều hoà.

1 – Tìm 

* Đề cho : T, f, k, m, g, l0

-  = 2πf = , với T = , N – Tổng số dao động trong thời gian Δt

Nếu là con lắc lò xo :

nằm ngang treo thẳng đứng

 = , (k : N/m ; m : kg)  = , khi cho l0 = =

Đề cho x, v, a, A

 = = = =

2 T

N



k m

0

g l

max

a

v A

2 – Tìm A

* Đề cho : cho x ứng với v  A =

- Nếu v = 0 (buông nhẹ)  A = x

- Nếu v = vmax  x = 0  A =

Đề cho : amax  A =

* Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD  A = .

Đề cho : lực F max = kA  A =

* Đề cho : l max và l min của lò xo A =

* Đề cho : W hoặc hoặc A = Với W = W đmax = Wtmax =

* Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim  A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin

x ( ) 



max

v



max 2

a

2

max

F

k lmax lmin

2



dmax

k

2

1 kA 2

3 - Tìm  (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu

– Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác

– sinx = cos(x – ) ; – cosx = cos(x + π) ; cosx = sin(x + ).

0 0

A v sin

v a



– Các trường hợp đặc biệt :

Chọn gốc thời gian t = 0 là :

– lúc vật qua VTCB x0 = 0, theo chiều dương v0 > 0 Pha ban đầu φ = – π/2.

– lúc vật qua VTCB x 0 = 0, theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ = π/2.

– lúc vật qua biên dương x0 = A

Pha ban đầu φ = 0

– lúc vật qua biên dương x 0 = – A

Pha ban đầu φ = π

– lúc vật qua vị trí x0 = A/2, theo chiều dương v0 > 0

Pha ban đầu φ = –

– lúc vật qua vị trí x0 = – A/2, theo chiều dương v0 > 0 Pha ban đầu φ = –

3



2 3



– lúc vật qua vị trí x 0 = A/2 theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ =

– lúc vật qua vị trí x 0 = – A/2 theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ =

– lúc vật qua vị trí x 0 = theo chiều dương v 0 > 0

Pha ban đầu φ = –

– lúc vật qua vị trí x 0 = – theo chiều dương v 0 > 0

Pha ban đầu φ = –

– lúc vật qua vị trí x 0 = theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ =

– lúc vật qua vị trí x 0 = – theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ = .

– lúc vật qua vị trí x 0 = theo chiều dương v 0 > 0

Pha ban đầu φ = –

– lúc vật qua vị trí x 0 = – theo chiều dương v 0 > 0

Pha ban đầu φ = –

– lúc vật qua vị trí x 0 = theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ =

– lúc vật qua vị trí x 0 = – theo chiều âm v 0 < 0

Pha ban đầu φ = .

A 2 2

A 2 2

A 2 2

A 2 2

A 3 2

A 3 2

A 3 2

A 3 2



3 4



3 4



5 6



b.Bài tập

Bài 1 Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo Lập phương trình dao động của vật.

Bài 2 Một vật dao động điều hòa với  = 5rad/s Tại VTCB

truyền cho vật một vận tốc 1,5 m/s theo chiều dương Lập phương trình dao động của vật.

Bài 3 Một vật dao động điều hòa với  = 10 rad/s Chon gốc thời gian t = 0 lúc vật có ly độ x = 2 cm và đang đi về vị trí cân bằng với vận tốc 0,2 m/s theo chiều dương Lấy g

=10m/s 2 Viết phương trình dao động của vật.

Bài 4 Một vật dao động với biên độ 6) (cm, s) Lấy πcm Lúc t = 0, con lắc

qua vị trí có li độ x = 3 cm theo chiều dương với gia tốc có

độ lớn /3cm/s 2 Viết phương trình dao động của vật.

2 2

2

2