Sáng kiến kinh nghiệm " Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác giải bài tập dao động điều hoà " pot

Methods applied "circular trigonometric resolution exercises variation" PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lượng giác giải bài tập dao động điều hoà Trần Quang Thanh K15-PPGD VậT Lý-ĐH VI

Methods applied

"circular trigonometric resolution exercises variation"

PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lượng giác

giải bài tập dao động điều hoà

Trần Quang Thanh K15-PPGD VậT Lý-ĐH VINH

I Đặt vắn đề

Trong những năm gần đây theo chủ trương của Bộ giáo dục và đào tạo đối với

kỳ thi ĐH- CĐ trên toàn quốc thì một số môn thi sẽ chuyển từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, trong đó Vật lý là một môn thi theo hình thức này Trong chương "Dao động cơ học" sách Vật lý 12 THPT với nhiều bài toán có liên quan đến các đại lượng biến thiên điều hoà bản thân tôi nhận thấy rất nhiều học sinh khi làm các bài tập dạng này vẫn chưa mạnh dạn tiếp cận với phương pháp dùng "Đường tròn lượng giác" để giải bài tập dao động điều hoà Do một

số hạn chế về kỹ năng kiến thức phương pháp giải Vì vậy, để các em làm chủ

được phương pháp này, tôi mạnh dạn " Xây dựng lại" các khái niệm và các mối liên hệ về "Sự tương ứng giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà" vào giải bài tập

II Sự tương quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Như chúng ta đN biết: " Một dao động điều hoà có thể được coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo"

Vì vậy khi xây dựng mối tương quan, chúng ta nên chuyển chuyển động tròn

đều sang dao động điều hoà Vì việc đưa vào khái niệm chuyển động tròn đều để

"Vật lý hoá" phương thức biểu diễn Thực chất đây là việc giải phương trình lượng giác dùng công cụ đường tròn lượng giác

1.1 Các công thức giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà

Chuyển động tròn đều:

+) 2

T

π

ω =

+)

t

α

ω =

∆ ( ω: là tốc độ góc , α là góc quay trong thời gian ∆t)

Do vậy : 2

T t

π = α

∆ Dao động điều hoà:

+) Phương trình dao động : x=A cos ( ωt+ ϕ )

+) Vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng thì chuyển động là chậm dần:

a v< ⇔ E ↓⇔ E ↑ và ngược lại

+) Khi vật chuyển động tròn đều trên cung phần tư thứ (III) và (IV) thì vật dao

động điều hoà đi theo chiều dương Còn trên cung phần tư thứ (I) và (II) vật đi ngược chiều dương ( Với quy ước chiều dương là chiều quay ngược chiều kim

đồng hồ)

+) Khi vật chuyển động tròn đều đi trên cung phần tư thứ (I) và (II) thì vật dao

động điều hoà lại gần VTCB Còn trên cung (II) và (IV) vật đi ra xa VTCB

Về năng lượng:

Phương trình động năng và thế năng:

2

0

2

0

.sin ( )

d

t

E E cos t

ω ϕ

ω ϕ





 với E0 là cơ năng

Tại những pha : α = ( ωt+ ϕ ) đặc biệt

.

3 k

π

α = ± + π

2 2

3 sin

4

3.

1 4

cos

α



=







, Xảy ra tại các điểm A1,A2,A3,A4

k

α = +

2 2

1 sin

4

3.

3 4

cos

α



=







, Xảy ra tại các điểm C1, C2, C3, C4

III Các cách vẽ vòng tròn lượng giác khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2

Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí x1 đến vị trí x2 được tính qua công thức sau: tmin α ( )*

ω

Trong đó α được tính qua cách vẽ vòng tròn L-G với hàm cosin còn 2

T

π

ω =

TH1: Vật đi từ VTCB ( x1=0) đếv vị trí 2

2

A

x +

= Tương ứng trên vòng tròn vật quét được cung MN⌢ = α

như hình vẽ bên:

Để tính góc α trong tam giác OMN ta dùng:

1 2 sin

A MN

ON A

π

α = = = ⇒ = α Vậy thay vào công

1

A

2

A

3

2

B

3

B

4

B

1

B

1

C

2

C

3

2

A

A

+

A

ư

O

α

thức (*) trên ta có : min

6

T t

T

π α

π ω

= = =

TH2: Vật đi từ VT 1

2

A

x +

= đến x2 = +A tương ứng trên vòng tròn vật quét được cung MN⌢ = α

như hình vẽ bên:

Để tính góc α trong tam giác OMH ta dùng:

1 2 cos

A OH

OM A

π

α = = = ⇒ = α Vậy thay vào công thức

(*) ta có : min

3

T t

T

π α

π ω

TH3: Vật đi từ VTCB 0 đến VT x2 = +A Tương ứng

trên vòng tròn vật quét được cung

2

MN⌢ = =α π như hình bên: vậy thay vào công thức (*) ta có:

min

2

T t

T

π α

π ω

TH4: Vật đi từ vị trí 1

2

A

x +

= đến 2

2

A

x ư

=

Tương ứng trên vòng tròn vật quét được cung

3

MN⌢ = =α π

( Do tam giác OMN đều)

vậy thay vào công thức (*) ta có: min

3

T t

T

π α

π ω

2

A

A

+

A

ư

O

M

N

A

+

O

α

A

ư

M

N

2

A

A

+

A

ư

O

M N

α

2

A

ư

TH5: Vật đi từ vị trí : x1= +A đến x2 = ưA

Tương ứng trên vòng tròn vật quét được góc: α π =

vậy thay vào công thức (*) ta có:

T t

T

π ω

Chú ý:Các công thức trắc nghiệm trên áp dụng tương tự cho TH vật đi ngược lại

ví dụ : x1 = ưA đến x2 = +A thì min

2

T

IV Hệ thống phương pháp giải

Với công cụ này ta có thể áp dụng để giải mọi bài tập xuất hiện phương trình lượng giác ta có thể liệt kê các dạng bài toán thường gặp trong dao động điều hoà:

Dạng 1: Tìm thời điểm xảy ra sự kiện và khoảng thời gian giữa hai sự kiện( thường gặp trong cơ học và điện từ)

Loại 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x= A cos ( ωt+ ϕ ) Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2?

Phương pháp :

a) Vẽ đường tròn lượng giác

b) Xác định toạ độ x1 và x2 trên trục Ox, xác định điểm M1 và M2 trên đường tròn ( trong đó x1 và x2 lần lượt là hình chiếu của M1 và M2 trên Ox)

c) Xác định góc quét α tương ứng trên vòng tròn khi vật đi từ x1 đến x2, suy ra thời gian cần tìm : tmin α

ω

=

Loại 2: Một vật dao động điều hoà theo phương trình x= A cos ( ωt+ ϕ ) Kể từ lúc t=t0 vật đi qua vị trí có li độ x=x1 lần thứ n vào thời điểm nào ?

Phương pháp :

a) Từ phương trình x= A cos ( ωt+ ϕ )tại t = ⇒t0 x=x0 suy ra vị trí M0, với v=v1 suy

ra chiều chuyển động Với x=x1 suy ra vị trí M1

b) Vẽ đường tròn lượng giác, xác định điểm M0, M1 trên đường tròn lượng giác c) Thời điểm cần tìm là : 1

2

n

t= T +t

( trong đó ta quy ước gọi n là số chẵn nhỏ hơn n và gần n nhất) Ví dụ : 8 = 7;

7 = 6; 2 = 0; 1 = 0 và t1 là thời gian vật đi qua vị trí đN cho 1 lần hoặc 2 lần mà

ta đN có công thức tính ở loại 1

A

O

α

Dạng 2: Xác định quNng đường mà vật đi được giữa hai sự kiện, vận tốc trung bình trên quNng đường xảy ra hai sự kiện ( thường gặp trong cơ học)

Cụ thể : Xác định quNng đường vật dao động điều hoà di chuyển được sau thời

điểm t=t0 một khoảng thời gian t

Phương pháp :

a) Tại t= ⇒t0 M0 và v=v0 suy ra chiều chuyển động của M

b) Lập tỷ số : t n

T

 

=

  ( lấy phần nguyên)

c) Phân tích thành t = nT +t1

d) Vẽ đường tròn lượng giác suy ra quNng đường vật đi được là S =S1+S2 ( trong

đó S1 là quNng đường vật đi được trong n.T chu kỳ hay S1=n.4A và S2 là quNng

đường vật đi được trong thời gian t1 Để xác định S2 ta xác định góc quét α trên vòng tròn α =t1 ω từ đó suy ra S2 )

Dạng 3: Các sự kiện liên quan đến năng lượng, các thời điểm mà năng lượng thoN mNn một điều kiện cho trước ( Thường là cơ năng và năng lượng điện từ )

Phương pháp :

a) Tại t=t0 xác định vị trí của M0

b) Xác định vị trí M1 và góc mà vật quét được khi năng lượng thoN mNn điều kiện cho trước

c) Vẽ vòng tròn lượng giác

c) Từ đó suy ra thời gian cần tìm

V Các bài tập vận dụng

Vớ dụ loại 1: Vật dao ủộng ủiều hũa với phương trỡnh Tớnh:

a) Thời gian vật ủi từ VTCB ủến A/2

b) Thời gian vật ủi từ biờn ủến – A/2 ủến A/2 theo chiều dương

c) Tớnh vận tốc trung bỡnh của vật trong cõu a

Bài giải

a) Khi vật ủi từ vị trớ cõn bằng ủến A/2, tương ứng với vật chuyển ủộng

trờn ủường trũn từ A ủến B ủược một gúc 300 (

6

π

α = )

6

T t

T

π α

π ω

b) Khi vật ủi từ vị trớ – A/2 ủến A/2, tương ứng với vật chuyển ủộng trờn

ủường trũn từ A ủến B ủược một cung

OAB⌢ = =α π π+ =π

min

2

T t

T

π α

π ω

c) Vận tốc trung bỡnh của vật: 2 6

12

tb

A

v

T

Ví dụ 2: Vật DĐĐH theo phương trình: ( )( )

2

x Acos t π cm

π

= ư Tìm thời gian từ

lúc vật bắt đầu dao động đến khi vật qua vị trí có li độ

2

A

x= lần đầu?

Bài giải: tại t=0 ta thay vào phương trình trên :

.cos(0 ) 0

2 sin(0 ) 0

2

x A

π π









Nghĩa là vật đang ở VTCB và chuyển động theo chiều dương của trục toạ độ

Tại thời điểm t vật qua vị trí có li độ

2

A

x= lần đầu tương ứng trên vòng tròn vật quét được một góc như HV

Vậy kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật đi qua VT

2

A

x= lần đầu mất một

khoảng thời gian là : min

1

6

π α

ω π

Ví dụ 2: Trong 1T dao động, thời gian ngắn nhất để 1 chất điểm dao động điều hoà với chu kỳ T đi từ VT x= +A đến

2

A

x ư

= là:

A.3

8

T

B

12

T

C

3

T

D 3

4

T

Bài giải:

Khi vật chuyển động trên đường thẳng quỹ đạo từ

VT x= +A đến

2

A

x ư

= thì tương ứng trên vòng tròn

AOM⌢ = =α π π+ = π

Vậy thời gian càn tìm là:

min

2

T

T

π α

π ω

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà theo PT: 10 ( )( )

3

x= cos πt+π cm Thời gian tính

từ lúc vật bắt đầu dao động (t=0) đến khi vật đi được quNng đường 30(cm) là :

A 2,4(s) B 2/3(s) C 4/3 (s) D 1,5(S)

Bài giải: Tại t=o ta có:

A

O

α

M

10.cos(0 ) 5( )

3

5 3.

v

π

π









Khi vật đi được quNng đường 30(cm) thì nó

α π = + + = như hình vẽ Vậy thời gian cần tìm là:

min

4

4

3

T

π α

π ω

Ví dụ 4: Hai vật dao động điều hoà có cùng biên độ,

Cùng tần số dọc theo 2 đường thẳng song song liền kề nhau Biết rằng 2 vật gặp nhau khi chúng chuyển động ngược chiều nhau và khi đó đều có li độ bằng một nửa biên độ Hiệu pha của 2 dao động này là:

A

3

π B 2

3

π C

2

π D π

Bài giải: 2 vật gặp nhau tại VT có li độ

2

A

x= lúc đó vật 1 quy được 1 cung ϕ1 vật 2 quay được 1 cung ϕ2 như hình vẽ Hiệu 2 cung này là : 2

ϕ

Ví dụ 5: 1 vật dao động điều hoà giữa hai điểm P và Q như HV T=1(S), O=gốc toạ độ Sau khi bắt đầu dao động được 2,5(s) vật có toạ độ x= ư 5 2(cm) và đi theo chiều âm của quỹ đạo với vận tốc v 10 2(cm)

s

π

10

π = a) Viết PTDĐ

b) Tính vận tốc trung bình khi vật chuyển động từ I tới J ( I là trung điểm của PQ,

J là trung điểm của OQ)

10

O

α

M

0 30

0 30

N

O

α

M

1

ϕ

2

ϕ

N

A

+

A

ư

Bài giải:

a) PT dao động của vật là : x=A cos ( ω ϕt+ ) với 2 (rad)

s

ω = π

Tại t=2,5(s) ta có : . (2 2, 5 ) 5 2

sin(2 2, 5 ) 10 2

x A cos







Hay: . (5 ) 5 2( )

.s

1

in(5 ) 5 2( ) 2

A cos

A

π ϕ

π ϕ





s

ω = π vào )

Lấy : (2)

(1) vế theo vế ta có : tan 1 4

10( )

A cm

π ϕ ϕ



= ư



= ư ⇒ 

 =



Vậy PT là : 10 (2 )( )

4

x= cos πtưπ cm

b) Khi vật chuyển động từ I đến J tương ứng trên vòng tròn véc tơ OM

 quét được

1 góc :

3

OMN π

α = ⌢ =

Suy ra thời gian chuyển động là :

min

1

π

α

60( ) 1

6

tb

v

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: 6 ( 5 )( )

4

x cos t π cm

π

Tính khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi vật bắt đầu dao động đến lúc vật có li

độ x=3(cm)?

Q

α

Bài giải: Tại t=o thì :

5 6.cos(0 ) 3 2 ( )

4

v

π

π









chất điểm ở VT M0 xác định bởi toạ độ x1= ư 3 2

Tại thời điểm vật có li độ x=3(cm) Vật quay được cung : 0 13

195

12

HK⌢ = =α = π

như

hình vẽ Vậy thời gian cần tìm là : min

13

13

12

π α

Chú ý: Góc α =OHP OPL OLKˆ + ˆ + ˆ

Ví dụ 7: Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình:

2

3

x= cos πtư π cm Thời điểm đầu tiên (sau thời điểm t=0) mà vật ặp lại vị trí

ban đầu là lúc nào?

A 1 ( )

15

t= s B 2 ( )

15

t= s C 17( )

15

t= s D Đáp số khác

Bài giải: Tại t=0 chất điểm ở vị trí M0 tại VT x0=-2(cm) và đang chuyển động theo chiều dương xác định bởi phương trình:

2 4.cos(0 ) 2( )

3

2 20 3.

v

π

π









Lần đầu tiên vật lặp lại vị trí có li độ x0 thì chất điểm ở vị trí M1 Góc quét trong thời gian đó là:

6

ư 6

ư 6

α

H

K

p

L

3 2

ư

3 2

A

O

α

1

M

0

M

2

ư

4

3

π

α = như hình vẽ Vậy thời gian cần tìm : min

4

2

π α

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật cân bằng thì lò xo giNn 3(cm) Kích thích cho vật dao động tự do theo phương thẳng đứng với biên độ A=6(cm) Trong một chu kỳ dao động, thời gian lò xo bị nén là :

A 2

3

T

B

4

T

C

6

T

D

3

T

Bài giải: Trong một chu kỳ dao động thời gian lò xo nén bằng 2 lần thời gian vật

đi từ vị trí có li độ x1= ư 3(cm)đến x2 = ư = ưA 6(cm) Khi đó trên vòng tròn vật quét một góc: 2

3

π

α = Vậy thời gian cần tìm là :

2

T

T

π

α

π

ω

Ví dụ 9: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng được kích thích dao động điều hoà có phương trình : 6 (5 )( )

6

x cos t π cm

π

= ư Gốc 0 trùng VTCB, trục toạ độ Ox trùng với trục của lò xo, hướng lên Khoảng thời gian vật đi từ thời điểm ban đầu lên độ cao cực đại lần thứ nhất là :

A 1 ( )

30 s B 11( )

30 s C 1( )

6 s D 7 ( )

30 s

Bài giải: Tại t=o ta có :

6.cos(0 ) 3 3( )

6

30 sin(0 ) 15 0

6

v

π π









Nghĩa là tại thời điểm ban

đầu vật có li x0 = 3 3(cm) và đang chuyển động theo chiều dương của trục toạ độ Khi con lắc dao động từ VT ban đầu đến độ cao cực đại (tức là vật đi từ vị trí

6

O

α

M

N

3

ư

1 3 3

x = đến x2 = 6(cm)) thì vật quét được một góc :

6

π

α = như hình vẽ Vậy thời

gian cần tìm là :

2

T

T

π α

π ω

Ví dụ 10: (TSĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng Kích thích cho con lắc dao động điều hoà theo phương thẳng đứng Chu kỳ và biên độ dao động của con lắc lần lượtlà 0,4(s) và 8(cm) Chọn trục x'x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, 0 trùng VTCB, gốc thời gian t=0 khi vật qua VTCB theo chiều dương, lấy

2

2 10(m)

g

s

π

= = Thời gian ngắn nhất kể từ khi t=0 đến khi lực đàn hồi của lò xo

có độ lớn cực tiểu là :

A 1 ( )

30 s B 3 ( )

10 s C 4 ( )

15 s D 7 ( )

30 s

Bài giải: Ta có : độ biến dạng của lò xo tại VTCB :

0, 4 10

mg g T g

Vận tốc góc : 2 5 (rad)

π

ω = = π Tại t=0 vật qua VTCB theo chiều dương nên:

ϕ

=

Vậy PTDĐ của vật là : (5 )( )

2

x=A cos πtưπ cm

Tại t=o vật đang ở vị trí M0 xác định bởi toạ độ:

.cos(0 ) 0( )

2

5 sin(0 ) 5 0

2

π π









và

đang chuyển động theo chiều dương

6 + 6

ư

O

M

N

α

Khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu- tại li độ x=-4(cm) ( trên vòng tròn là tại vị trí điểm M ) vật quét được góc : 7

α π = + = Vậy thời gian cần tìm là :

7

7

T

π

α

π

ω

Dạng bài tập dạng 1- loại 2:

Bài 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình 5 (2 )

6

x= cos πt+π (cm) Hỏi vào thời điểm nào vật qua li độ x=2,5(cm) lần thứ hai (kể từ lúc t=0)

Bài giải : Xét chuyển động tròn đều tương ứng với dao động điều hoà đN cho, ta thấy lúc t=0 vật dao động có li độ x0 ứng với vị trí M0 của chuyển động tròn đều

Lần thứ nhất vật có li độ 2, 5

2

A

x= = ứng với vị trí M2 khi đó góc quét của chuyển

động tròn đều ( Hình vẽ) là 3 ( )

2 rad

π

α = ( góc do bán kính véc tơ quét từ OM0 đến

OM2 )

Vậy thời gian cần tìm là: min

3

3

π π

Bài 2: Một vật dao động điều hoà theo phương trình 2 (2 )

6

x cos t π

π

lần thứ 2007 vật m đi qua vị trí có li độ x=-1(cm) là vào thời điểm nào?

8

O

α

M

4

ư

0

M

0

M

1

M

2

M

A A

HD : Tại t=t1 để lần đầu tiên vật có li độ x=-1(cm) thì pha của dao động là :

1

6

t π

π + Toạ độ góc của M1 lần đầu tiên là : 2

3

π Lúc này vật qúet đợc

α = ⌢ = π + = ⇒ =

ở đây ta có công thức trắc nghiệm :

Thời gian để vật đi qua vị trí x1 n lần là : 1 .

2

n

t= +t T

Trong đó t1 là thời gian vật đi qua x1 một lần hoặc 2 lần mà ta đN biết cách tính ở trên

Với quy ước gọi n là số chẵn nhỏ hơn n và gần n nhất

Ví dụ : 8 = 6; 7 = 6; 9 = 8; 2 = 0; 1 = 0

Cụ thể vật đi qua vị trí 2007 thì ta lấy n = 2006 và thay vào phương trình suy ra thời gian cần tính: 1 . 1 2006.1 1003, 25( )

n

t= +t T = + = s

Dạng bài tập dạng 2:

Bài 1: Một con lắc lò xo vật m= 100(g) mắc với lò xo có k=160(N/m) dao động

điều hoà giữa các vị trí biên B và B' quanh VTCB O ( cho BB' 16 2 ( = cm)) Tính quNng đường vật di chuyển được sau thời gian ( )

6, 4

t= π s , nếu chọn gốc thời gian

t=0 lúc vật đi ngang qua VTCB theo chiều dương

HD: Tại t=0 vật đi qua VTCB theo chiều dương nên :

ϕ

=

và biên độ ' 8 2( )

2

BB

m

ω = =

Vậy PTDĐ của vật là : 8 2 (40 )( )

2

x= cos tưπ cm

0

M

1

M

α

0

M

1

M

2 2

α 1

ư