2 tóm tắt luận án tiếng việt

71.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 71.3 Tính toán đối đồng điều của đại số Lie với đại số dẫn xuất thấp chiềuhoặc đối chiều thấp.. 8Chương

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều

1.1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1 71.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 71.3 Tính toán đối đồng điều của đại số Lie với đại số dẫn xuất thấp chiềuhoặc đối chiều thấp 8Chương 2 Vài lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối

2.1 Phân loại các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giảiđược có số chiều ≤ 7 112.2 Mô tả đối đồng điều của một đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều 142.3 Số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan 16Chương 3 Vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán

3.1 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều bất khả phân 173.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều bất khả phânvới phần chẵn 6 chiều 183.3 Đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản 20DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 21TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie (gọi chung là lý thuyết Lie) được khởi xướng bởiSophus Lie, nhà toán học Na Uy từ thập niên 70 của thế kỷ XVIII và được phát triểnbởi nhiều nhà toán học trên thế giới trong suốt thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX nhưFelix Klein, Friedrich Engel, Wilhelm Killing, Elie Cartan, Hermann Weyl, Nhờ

đó, những bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie như là phân loại nhóm Lie và đại số Lie,đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương, cùng nhữngtính toán đối đồng điều thường nhận được sự quan tâm của cộng đồng toán học.Nhóm Lie là một nhóm đồng thời cũng là một đa tạp khả vi, trong đó phép toánnhóm tương thích với cấu trúc khả vi Trong quá trình nghiên cứu trường véctơ bấtbiến trái của nhóm Lie, đại số Lie ra đời Trong lý thuyết Lie, một điều khá thú vị là,

có một tương ứng 1-1 giữa tập các nhóm Lie liên thông đơn liên và tập hợp các đại sốLie Trong luận án này, chúng tôi tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie.Theo định lý Levi - Malshev, mọi đại số Lie hữu hạn chiều trên một trường có đặc

số không đều phân tích được thành tích nửa trực tiếp của một đại số con nửa đơn

và một ideal giải được (xem các tài liệu của Levi [21] năm 1905 và Malshev [12] năm1945) Từ đó, bài toán phân loại các đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại

số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được Trong đó, bài toán phân loại các đại số Lie nửađơn đã được giải quyết triệt để bởi Cartan [20] năm 1894 (trên C) và bởi Gantmacher[10] năm 1939 (trên R) Bởi vậy, chúng tôi chỉ còn phải xét bài toán phân loại các đại

số Lie giải được

Đối với bài toán phân loại lớp các đại số Lie giải được, mặc dù có một vài phépphân loại trong trường hợp riêng nhưng việc phân loại trong trường hợp tổng quát,cho đến nay, vẫn còn là một bài toán mở

Nói chung bài toán phân loại đại số Lie giải được khá phức tạp, người ta thườngtìm cách thu hẹp lớp các đối tượng cần phân loại để dễ kiểm soát hơn Cụ thể, có ítnhất ba cách tiếp cận Thứ nhất là cách phân loại theo số chiều (tức là cố định sốchiều của các đại số Lie cần phân loại) Thứ hai là cách phân loại theo cấu trúc (tức

là bổ sung thêm một hay một vài tính chất đặc biệt cho lớp các đại số Lie cần phânloại) Thứ ba chính là phối hợp cả hai cách phân loại theo số chiều và theo cấu trúcmột cách hợp lý.

Về hướng phân loại theo số chiều, Mubarakzyanov [13, 14] đã phân loại đại số Liegiải được 4 và 5 chiều trên trường có đặc số không Các kết quả cho trường hợp 6 chiềucũng đạt được bởi nhà toán học Mubarakzyanov [15] Đã nhiều thập kỷ qua, bài toànphân loại từ 7 chiều trở lên vẫn chưa được giải quyết triệt để, ngay cả khi được hỗ trợbởi các phần mềm tính toán chuyên dụng Rõ ràng, sẽ khả thi hơn khi tiếp cận bàitoán phân loại đại số Lie giải được theo hướng cấu trúc hoặc phối hợp cả hai hướng:

cố định số chiều lẫn bổ sung cấu trúc Trong luận án này, chúng tôi đi theo hướng bổsung cấu trúc đồng thời phối hợp với hướng cố định số chiều

Vấn đề chúng tôi quan tâm trong luận án là nghiên cứu phân loại các đại số Liethực giải được với các đại số dẫn xuất thấp chiều hoặc đối chiều thấp và đã đạt đượcmột số kết quả khả quan như sau

Đầu tiên là kết quả về phân loại triệt để lớp Lie(n + 1, n) các đại số Lie thực giảiđược n + 1 chiều có đại số dẫn xuất n chiều cho trước thông qua lớp đối đồng điều thứnhất của đại số dẫn xuất ứng với biểu diễn phụ hợp (xem Định lý 1.1) Tiếp theo làkhẳng định phân loại lớp Lie(n + 2, n) các đại số Lie thực giải được n + 2 chiều có đại

số dẫn xuất n chiều cho trước là bài toán wild (xem Định lý 1.2) Sau cùng là một lớpcon đặc biệt của lớp Lie(n + 2, n) trong đó tính chất wild bị phá vỡ (xem Định lý1.3).Mặt khác, cũng theo hướng cấu trúc, gần đây xuất hiện một đối tượng đại số Liegiải được với cấu trúc bổ sung là một dạng song tuyến tính không suy biến và bất biếnđối với tích Lie Chúng được gọi là các đại số Lie toàn phương

Từ vài thập niên gần đây, bài toán phân loại các đại số Lie toàn phương và siêuđại số Lie toàn phương thu hút sự chú ý của một số nhà toán học Bởi thế, chúng tôi

có cơ sở để tiếp tục nghiên cứu bài toán phân loại này

Việc mô tả đối đồng điều cũng đã được giải quyết trọn vẹn trên lớp các đại số Lienửa đơn Tuy nhiên, đối với lớp các đại số Lie giải được, số kết quả về tính toán đốiđồng điều vẫn rất hạn chế và trong trường hợp tổng quát vẫn còn là vấn đề mở Việc

mô tả đối đồng điều và tính toán các số Betti của một đại số Lie giải được được cộng

đồng Toán học quan tâm Có thể kể ra đây một vài công trình điển hình, đó là côngtrình [19] của Santharoubane về đối đồng điều của đại số Lie Heisenberg h2n+1, côngtrình [18] của Pouselee về đối đồng điều của một mở rộng của đại số Lie 1 chiều hZibởi đại số Lie Heisenberg h2n+1, công trình [1] của Bai và Liu về các số Betti của siêuđại số Lie Heisenberg,

Từ đó, chúng tôi đặt nhiệm vụ nghiên cứu bài toán phân loại một số lớp đại số Liegiải được, đại số Lie toàn phương giải được, siêu đại số lie toàn phương giải được vàtính toán đối đồng điều trên một vài lớp trong chúng Luận án được mang tên: “Tínhtoán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương.”Việc thực hiện thành công đề tài luận án có ý nghĩa khoa học và đóng góp nhấtđịnh cho lý thuyết Lie nói riêng, cho Lĩnh vực Đại số, Hình học và Tôpô nói chung Cụthể đề tài có những đóng góp cụ thể dưới đây:

(1) Phân loại triệt để lớp đại số Lie giải được có đại số dẫn xuất đối chiều 1 Chỉ rabài toán phân loại đại số Lie giải được có đại số dẫn xuất dối chiều 2 là bài toánwild, đồng thời phân loại một lớp con đặc biệt của lớp các đại số Lie này khi tínhchất wild bị phá vỡ

(2) Đối đồng điều của tất cả các đại số thuộc lớp đại số Lie giải được có đại số dẫnxuất 1 chiều đã được mô tả đầy đủ

(3) Bằng cách áp dụng phương pháp của Pouseele liên quan đến mở rộng của đại sốLie một chiều bởi đại số Lie Heisenberg, chúng tôi thu được toàn bộ các số Betti

bk cho đại số Lie Kim cương tổng quát

(4) Mô tả các đối đồng điều của tất cả các đại số Lie toàn phương giải được thấpchiều, nhóm đối đồng điều thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểuJordan, của các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản đã được phân loại

(5) Mô tả tường minh không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toànphương giải được thấp chiều Từ đó, tính toán nhóm đối đồng điều thứ hai củachúng

(6) Vận dụng mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát kết hợp với một số kết quả phânloại quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic, chúng tôi phân loại một số lớpcác các đại số Lie toàn phương giải được và siêu đại số Lie toàn phương giải đượcthấp chiều.

(7) Tính toán đối đồng điều của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản bằng tích Poission phân bậc trên siêu đại số ngoài

super-Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước

ˆ Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tại Bà Rịa - Vũng Tàu, 12/2019

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song bản luận án khó tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các phản biện và độc giả đểchúng tôi có cơ hội chỉnh lý, sửa chữa và hoàn thiện hơn công trình của mình Chúngtôi xin chân thành cám ơn

Chương 0

Một số kiến thức và kết quả cơ bản

Chương này dành cho việc giới thiệu khái quát các khái niệm nhóm Lie, đại số Lie,đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương và đối đồng điều của chúng đồngthời nêu vắn tắt một số kết quả, tính chất đã biết

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm nhóm Lie, đại số Lie và một số kháiniệm liên quan như: ideal của đại số Lie, đồng cấu đại số Lie, tích nửa trực tiếp, đại

số Lie giải được, đại số Lie lũy linh, đối đồng điều của đại số Lie Đồng thời, nhắc lạiĐịnh lý Levi-Malcev, khái niệm bài toán wild, đồng dạng yếu

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm đại số Lie toàn phương, đối đồngđiều và một số khái niệm liên quan như: khái niệm ideal, idael không suy biến, đẳngcấu đẳng cự, tổng trực tiếp trực giao Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày khái niệm tíchsuper-Poisson và vận dụng vào tính toán đối đồng điều của đại số Lie toàn phương

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu khái niệm siêu đại số Lie toàn phương, đối đồngđiều của siêu đại số Lie, siêu đạo hàm, siêu đạo hàm siêu phản xứng, tích super-Poissonphân bậc và vận dụng vào tính toán đối đồng điều của siêu đại số Lie toàn phương

Chương 1

Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối

đồng điều

Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán phân loại và tính toán đối đồngđiều của các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều thấp Trướctiên, chúng tôi sẽ giới thiệu kết quả mới về phân loại triệt để lớp các đại số Lie thựcgiải được với ideal dẫn xuất đối chiều 1 Sau đó, chúng tôi giới thiệu khái niệm bài toánwild và chỉ ra rằng bài toán phân loại lớp các đại số Lie thực giải được với ideal dẫnxuất đối chiều 2 là wild, đồng thời đưa ra phân loại một lớp con của lớp này khi tínhwild bị phá vỡ Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ giới thiệu kết quả mới về phép mô tả tất

cả các đối đồng điều của lớp các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất 1 chiềuvới hệ số trên trường cơ sở và đối đồng điều của một lớp con đặc biệt các đại số Liethực giải được với ideal dẫn xuất đối chiều 1, đó là lớp các đại số Lie Kim cương tổngquát Các kết quả chính của chương này đã được công bố trong 3 bài báo quốc tế: Bàiđầu là “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groupshave only zero or maximal dimensional coadjoint orbits ” trên Tạp chí Revista de la

UM năm 2016 (một trường hợp riêng của Định lý 1.1), bài thứ hai “On the problem

of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras” trênTạp chí Communications in Algebras năm 2022 (Định lý 1.1, 1.2 và 1.3) và bài thứ ba

“Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras” trên Tạp chíEast-West Journal of Mathematics năm 2018

1.1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số

dẫn xuất đối chiều 1

Đầu tiên ta xét đại số Lie lũy linh n chiều a, với mỗi đại số Lie trong Lie(n + 1, n)

có đại số dẫn xuất a là một mở rộng của a bởi một đạo hàm của a

Định lý 1.1 Cho đại số Lie lũy linh n chiều a bất kỳ, bài toán phân loại tất cả đại

số Lie thuộc lớp Lie(n + 1, n) có đại số dẫn xuất a tương đương với bài toán phân loạilớp tương đương các đạo hàm ngoài của không gian đối đồng điều thứ nhất a thỏa mãncác điều kiện tương đương trong Mệnh đề 1.1.1, sai khác đồng dạng tỉ lệ

Mệnh đề 1.1.1 Cho a là đại số Lie lũy linh n chiều và g = RY ⊕Da với D ∈ Der(a)như trên Bằng cách đánh số lại (nếu cần), ta giả sử rằng a1 = span{X1, , Xm} với

0 ≤ m < n Khi đó những điều kiện sau tương đương nhau:

đại số dẫn xuất đối chiều 2

Mỗi đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 2, n) với đại số dẫn xuất h là mở rộng của h bởimột cặp đạo hàm Tuy nhiên, không phải mọi mở rộng của h bởi một cặp đạo hàmđều thuộc lớp Lie(n + 2, n) Sau đây là điều kiện cần và đủ của cặp đạo hàm để mởrộng đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 2, n) Sử dụng điều kiện này chúng tôi chứng minh

được bài toán phân loại Lie(n + 2, n) chứa bài toán phân loại cặp ma trận vuông saikhác đồng dạng yếu (xem Futorny et al [9, Theorem 1]), cụ thể ta có định lý sau đây.Định lý 1.2 Phân loại lớp các đại số Lie Lie(n + 2, n) là bài toán wild.

Từ tính chất wild của bài toán phân loại Lie(n+2, n), chúng tôi xem xét các trường hợpđặc biệt (xem Belitskii et al [3], Section 3) Từ nguyên nhân dẫn đến tính chất wildtrong Định lý1.2, một cách tự nhiên ta xem xét lớp con Liead(n + 2, n) của Lie(n + 2, n)sao cho cặp đạo hàm của mở rộng có ít nhất một đạo hàm trong Đối với lớp con này,

ta có kết quả sau đây

Định lý 1.3 Cho đại số Lie lũy linh n chiều h, bài toán phân loại tất cả các đại sốLie thuộc lớp Liead(n + 2, n) với đại số Lie dẫn xuất h tương đương với phân loại lớptương đương các đạo hàm ngoài của không gian đối đồng điều thứ nhất của R ⊕ h thỏamãn các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 1.2.1, sai khác đồng dạng tỉ lệ

Mệnh đề 1.2.1 Cho h là đại số Lie lũy linh n chiều và g = RZ ⊕D k = RZ ⊕D

(RY ⊕D 0 h) có D ∈ Der(k), D(k) ⊂ h và D0 ∈ Der(h) như trên Bằng cách đánh số lại(nếu cần), ta giả sử h1 = span{X1, , Xm} với 0 ≤ m < n Khi đó, các điều kiện sauđây tương đương:

1 g ∈ Lie(n + 2, n);

2 g1 = h;

3 span{Xm+1, , Xn} ⊂ D(k) + D0(h) + h1;

4 h/h1 = Im ˜D + Im ˜D0, trong đó ˜D : k/h1 → k/h1 và ˜D0: h/h1 → h/h1 tương ứng

là đồng cấu cảm sinh từ D và D0 trên đại số Lie thương k/h1 và h/h1

số dẫn xuất thấp chiều hoặc đối chiều thấp

Định lý 1.4 Số Bettti các đại số Lie thuộc lớp Lie(n, 1) được mô tả như sau:

(i) b1(aff(R)) = 1, b2(aff(R)) = 0.

(ii) bk(aff(R) ⊕ Rn−2) =





n − 1k



−



2m

các tích Lie khác bằng không Để cho gọn ta viết g2n+2 thay cho g2n+2(Λ)

Với hai số nguyên dương p và q, gọi α(p, q) là số phần tử của tập hợp

Ta qui ước α(p, q) = 0 khi p < 0 hoặc q < 0 Khi đó ta có kết quả về số Betti:

Định lý 1.5 Giữ nguyên các kí hiệu như trên, các số Betti của đại số Lie Kim cươngđược mô tả như sau:

(i) Nếu k = 0, 1, 2n + 1 hoặc 2n + 2 thì bk(g2n+2) = 1

k 2

k 2

k−2 2

k−2 2

n+1 2

n+1 2

n−1 2

n−1 2

k−1 2

k−1 2

k+1 2

k+1 2

Định lý 2.1 Không gian các đạo hàm phản xứng và số Betti thứ hai của các đại sốLie giải được 7 chiều được mô tả theo bảng sau đây:

Đại số Lie toàn phương Mô tả đạo hàm phản xứng Số Betti

Đại số Lie toàn phương Mô tả đạo hàm phản xứng Số Betti

x, y, z, t, h, a, b, c, d, e, f, u, v, w, x1, x2, x3, y1, y2 là các số thực; A là một trong các matrận vuông 3 × 3 có vết bằng không, B là ma trận 3 × 3 phản xứng, C =



y1 y2 y3

với y1, y2, y3 ∈ C

Trên mỗi không gian các đạo hàm phản xứng của một đại số Lie toàn phương, saukhi loại bỏ các đạo hàm trong ,chúng tôi có được nhóm đối đồng điều thứ hai.Từ đó

ta suy ra hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1.1 Đối đồng điều thứ hai của tất cả các đại số Lie toàn phương giải đượcbất khả phân có số chiều bé hơn hoặc bằng 7 được cho bởi bảng sau:

Đại số Lie Nhóm đối đồng điều thứ hai

phương giải được thấp chiều

Trong mục này, chúng tôi tính toán đối đồng điều của các đại số Lie toàn phươnggiải được thấp chiều bằng phương pháp tính toán các tích super-Poisson

Định lý 2.2 Đối đồng điều của các đại số Lie giải được bất khả phân có số chiều béhơn hoặc bằng 7 chiều được mô tả như sau: