bất đẳng thức và cách chứng minh

Trong bài viết này tôi xin giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứng minh BDT ñó là kĩ thuật “ðưa về một biến” 4 x > y > x + =y.. Nhận xét: * Các

BðT và cực trị thường gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð Trong bài viết này tôi xin giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứng

minh BDT ñó là kĩ thuật “ðưa về một biến”

4

x > y > x + =y Chứng minh : 4 1 5

4

x + y ≥ (1)

4

5 4

5 4

−

Từ bảng biến thiên ta ñược: ( ) ( )

5 0;

4

min f x f 1 5

 

 

 

= = , từ ñó suy ra 4 1 5

4

x + y ≥

ðẳng thức xảy ra khi 1, 1

4

x = y =

Ví dụ 2 Cho ,x y∈ − 3;2 thỏa x3 +y3 =2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

P =x +y

Lời giải.

Từ giả thiết ta suy ra ñược x = 32−y3 thay vào P ta ñược

Trong ñó ta ñã ñặt t =y3 Vì x∈ − 3;2⇒x3 ∈ − 27; 8⇒−27≤ −2 y3 ≤ ⇔ − ≤8 6 y3 ≤29,

do y3 ∈ − 27; 8⇒t∈ − 6; 8

Xét hàm số f t( ) trên D = − 6; 8 , ta có:

'( )

f t

−

Dựa vào bảng biến thiên ta có ñược

3

D

ðạt ñược khi x y, ∈{ }0, 23

3

D

P = f t = − = +f ðạtñược khi x y, ∈ −{ }33;2

Nhận xét:

* Cách giải trên chỉ ñòi hỏi chúng ta kĩ thuật khảo sát hàm số Cái khó của bài toán trên là ñiều kiện hạn chế của ,x y∈ − 3;2 ! Nếu ,x y không bị ràng buộc bởi ñiều kiện này thì bài toán trở nên ñơn giản và ta có thể giải bài toán trên theo cách chuyển qua tổng và tích của ,x y

t −6 0 1 2 8

'

f − || + 0 − || +

f

Nguyễn Tất Thu

ðặt

3

2

2

3

4 3

a b

a

a

a

a

−

Xét hàm số ( )f a với a∈D =(0;2] có: 3

'( )

f a

−

3

⇒ = ⇔ = Lập b ảng biến thiên ta có ngay minP = f( 2)3 = 34

ðạt ñược khi x y, ∈{ }0, 23

0

lim ( )

a

+

→ = +∞⇒ không có GTLN

* Khi gặp bài toán mà các biểu thức có trong bài toán là các biểu thức ñối xứng hai biến thì ta có thể chuyển về bài toán của tổng và tích hai biến ñó với lưu ý S2 ≥ 4P

Ví dụ 3. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn: ab+ + =a b 3 Chứng minh:

Lời giải.

Nhận thấy các biểu thức có trong bài toán là các biểu thức ñối xứng hai biến ,a b nên ta ñặt

3

t = +a b⇒ab = −t và a2 +b2 =t2 −2(3− =t) t2 +2t−6

Vì (a+b)2 ≥4ab ⇒t2 ≥ 4(3− ⇔t) t2 +4t −12≥ ⇔ ≥0 t 2 (do t > 0)

2

2

t

4

t

( )

t

= − + + với t ≥2 Ta có :

2

12

t

( ) (2) 4 2 (1.1)

⇒ ≥ = ∀ ≥ ⇒ ñúng⇒ ñpcm ðẳng thức xảy ra ⇔ = =a b 1

Ví dụ 4 Cho các số thực x, y thay ñổi và thoả mãn (x +y)2 +4xy ≥2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= 3(x4 +y4 +x y2 2) 2(− x2 +y2) 1+

Lời giải.

Ta có:

3

2





A= x +y +x y − x +y + =3 (x2 +y2 2) −x y2 2−2(x2 +y2) 1+

2 2 2

4

9

ðặt 2 2 ( )2 1

x y

2 t

4

A≥ t − t+

f t = t − t+ t ≥ có '( ) 9 2 0 1 ( ) ( )1 9

9

16

A

⇒ ≥ ðẳng th ức xảy ra 1

2

⇔ = = Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

16

Ví dụ 5. Cho hai số thực ,a b ≥ 0 Chứng minh : a4 +b4 ≥a b3 +b a3 (1)

Lời giải :

* Nếu một trong hai số ,a b bằng 0 thì (1) luôn ñúng

* Với a ≠ 0, ñặt b ta= Khi ñó (1) trở thành

Xét hàm số f t( )=t4 −t3 − +t 1, có :

Lập bảng biến thiên, từ ñó suy ra f t( )≥ f(0)=0 ñpcm

Nhận xét : * Bài toán trên ta chỉ cần biến ñổi trực tiếp là có ñược kết quả

* Cách giải trên ñược trình bày ñể lưu ý với chung ta về một tính chất ñó là tính chất của biểu thức ñẳng cấp hai biến

Cụ thể :Biểu thức ( , )f x y ñược gọi là biểu thức ñẳng cấp bậc k nếu : ( ,f mx my)=m f x yk ( , ) Khi gặp bài toán chứng minh BðT hai biến có dạng : ( , )

( , )

f x y

p

g x y ≥ , trong ñó ( , )f x y và ( , )g x y là những biểu thức ñẳng cấp bậc k hai biến, ta có thể ñặt x =ty y ( ≠ 0) Khi ñó BðT cần chứng minh trở thành : ( ,1)

( ,1)

f t

p

g t ≥ ñây là BðT một biến ðể chứng minh BðT này ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số

* Khi gặp biểu thức ñẳng cấp ba biến , ,a b c ta có thể ñặt b =xa c, =ya và chuyển về bài toán hai biến

Ví dụ 6. Cho hai số thực ,x y thay ñổi và thỏa mãn hệ thức x2 +y2 =1 Tìm GTLN, GTNN của

2

6

P

+

=

+ + ( B – 2008 )

Lời giải:

P

* Nếu y =0 ⇒P =1

* Nếu y ≠ 0thì ñặt : 2 22 2 26 2 2 2 2 6 ( )

Ta có : ( )

2

2 2

2

, lim→±∞ ( ) = 1

Nguyễn Tất Thu

Vậy minP = −3 ñạt ñược khi

1

13

y



⇔

= −

max 3

2

P = ñạt ñược khi 2 2

1

3 3

10

y

x



= ±



⇔

=



Ví dụ 7. Cho các số thực ,x y thỏa x2 +xy +y2 ≤3 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

P =x −xy+ y

Lời giải

ðặt a =x2 +xy +y2 ⇒0 ≤ ≤a 2

* Nếu a = ⇔ = =0 x y 0⇒P = 0 (1)

* Nếu a ≠ 0, ta giả sử y ≠ 0 ðặt x ty=

( ) 1

f t

Khảo sát hàm số ( )f t ta có: 2

2

+ +

Từ ñó ta có ñược min ( ) (1 7) 7 2 7

7 2 7

P

a

Vậy minP =0; maxP = +7 2 7

Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thoả (x x + +y z)=3yz (*), ta luôn có:

(x +y) +(x+z) +3(x+y y)( +z z)( +x)≤5(y+z) (1)

Lời giải

Vì giả thiết và BðT (1) là những biểu thức ñẳng cấp ñồng thời giả thiết và BðT cần chứng minh

ñối xứng ñối với y và z nên ta nghĩ tới cách ñặt y =ax z; =bx

Khi ñó (*) trở thành: x x( +ax+bx)=3abx2 ⇔ + + =1 a b 3ab (**) và (1) trở thành:

(x +ax) +(x+bx) +3(x+ax ax)( +bx bx)( +x)≤5(ax+bx)

(1 a) (1 b) 3(1 a)(1 b a)( b) (a b)

Vì (**) và (2) là những biểu thức ñối xứng ñối với ,a b nên ta nghĩ tới cách ñặt S =a+b P; =ab

Mỗi quan hệ giữa S và P là 2

2

1 4

3

S P

1 3 2

S P

S



⇔ 

 ≥



( )3

3

(2 ) 4(1 )(2 )

Nên (2)⇔(2+S)3−4(S2 +3S+2)+4 (1S +S)≤5S3

2

2S 3S 2 0 (2S 1)(S 2) 0

Vậy bài toán ñã ñược chứng minh

Ví dụ 9 Cho , ,x y z là số thực thỏa mãn x2 +y2 +z2 =2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P =x3 +y3 +z3 −3xyz

Lời giải:

Từ các ñẳng thức : x2 +y2 +z2 +2(xy +yz +zx)=(x + +y z)2

x +y +z − xyz = x + +y z x +y +z −xy −yz −zx

và ñiều kiện ta có:

P = x + +y z x +y +z −xy−yz −zx ( ) 2 ( )2 2

2

ðặt t = + +x y z ⇒− 6 ≤ ≤t 6 Ta có: (2 2 2) 3 3 ( )

P =t − − = − + t = f t Xét hàm số ( )f t với − 6 ≤ ≤t 6

2

max f t( ) ( 2)f 2 2; min f t( ) f( 2) 2 2

Vậy maxP =2 2 ñạ t ñược khi x = 2;y = =z 0

minP = −2 2 ñạtñược khi x = − 2;y = =z 0

Ví dụ 10. Cho 0< < <a b 1 Chứng minh rằng: a2lnb−b2lna > lna−lnb

Lời giải.

Bất ñẳng thức cần chứng minh

Xét hàm số

2

ln

1

t

t

2

1

'( )

t

f t

Do 0< <t 1⇒lnt <0⇒ f t'( )> ∀ ∈0 t ( )0;1

( )

f t

⇒ là hàm ñồng biến trên (0;1) nên với 1> > >b a 0 thì ta có

( ) ( )

f b f a

(ñpcm)

Lưu ý: Khi gặp BðT có dạng ( )f a ≥ f b( ), a ≥b (a b≤ ) ta liên tưởng tới tính ñơn ñiệu của hàm

số Khi ñó ta ñi chứng minh hàm f t( ) là hàm ñồng biến (nghịch biến)

Ví dụ 11 Cho ,x y là các số thực thay ñổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( 1)2 2 ( 1)2 2 2

Lời giải. Trong hệ tọa ñộ Oxy, xét u x( −1;y v x) (, +1;y)

Nguyễn Tất Thu

Do u + v ≥ u+v

nên ta có:

(x−1)2 +y2 + (x +1)2 +y2 ≥ 4+4y2 =2 1+y2

Do ñó A≥2 1+y2 + y−2 = f y( )

* Với y ≤ ⇒2 f y( )=2 1+y2 + −2 y

Lập bảng biến thiên suy ra ngay ( ) ( 1 ) 2 3

3

* Với y >2⇒ f y( )=2 1+y2 + y−2 >2 1+y2 >2 5> +2 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2+ 3

Lưu ý: Khi gặp biểu thức trong căn có dạng tổng hai bình phương ta liên tưởng ñến phương pháp hình học với ñánh giá quen thuộc sau:

Cho k véc tơ u u1, 2, ,uk

  

, khi ñó ta có:

≥

∑  ∑

Ví dụ 12 Cho , ,a b c là các số thực dương thoả 4

3

ab+bc+ca ≥ Chứng minh rằng

5

Lời giải Gọi P là biểu thức ở vế trái của (1)

Xét ba véc tơ sau: ( ; 1 ), ; 1 , ; 1

Áp dụng BðT u + v + m ≥ u+ +v m

ta có:

2



2

2

81

+ + +

ðặt t =a+ + ⇒ ≥b c t 3(ab+bc+ca)=2

Xét hàm số 2

2

81

( 3)

t

162 2[ ( ) 169]

'( ) 2

g t

+

Trong ñó: g t( )=(t−2)(t3+11t2 +49t+125)+169

25

5 P

9

Ví dụ 13. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ( )3

32

a+ +b c = abc Chứng minh rằng :

4

+ +

(1)

Lời giải :

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a+ + =b c 4 ⇒abc =2

Khi ñó (1) 383 165 5 1 ( 4 4 4) 9

−

ðặt t ab bc ca= + + Ta có :

2

2

2

a

⇔ −3 5 ≤ ≤a 2 (vì 0< <a 4)

2

a

−

2

f t = t − t+ t∈ − ⇒ ñiều cần chứng minh

Trong một số bài toán ta phải ñánh giá rồi mới ñặt ẩn phụ ñược

Ví dụ 14. Cho các số dương , ,a b c vớia + + ≤b c 1

Lời giải: Ta có: ( ) 1 1 1 3 3 1

+ +

+ +

0 t a b c 1 và f t t

t

Ta có : ( ) 62 2 2 6

−

= − = < ∀ ∈ , nên hàm số nghịch biến trên (0;1]

( ) ( )1 7, (0;1]

Ví dụ 15: Cho a b c, , >0 và a2 +b2 +c2 =1 Chứng minh rằng:

2 3

Lời giải. ðặt t = + + ≤a b c 3(a2 +b2 +c2) ⇒0< ≤t 3

a + + ≥b c a b c

+ +

Nguyễn Tất Thu

trên(0; 3]⇒ f t( ) ≥ f ( )3 =2 3,∀ ∈t (0; 3]

Ví dụ 16: Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn:a2 +b2 =1; c− =d 3

4

F =ac+bd −cd ≤ +

Lời giải: Ta có: F ≤ (a2 +b2)(c2 +d2)−cd = 2d2 +6d + −9 d2 −3d = f d( )

Ta có

2

2

'( ) (2 3)

d

Vì

2

2

d

<

nên ( ) ( 3) 9 6 2

f d ≤ −f = + ta có ñpcm

Ví dụ 17 Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãna+ + =b c 1

Lời giải: Kí hiệu: F a b c( ; ; ) ( )( )( )= a−b b−c c−a

Vì F a c b( ; ; ) ( )( )( )= a−c c−b b−a = −F a b c( ; ; ) suy ra miền giá trị của F là tập ñối xứng vì vậy

ta chỉ cần chứng minh : ( ) 3

; ;

18

F a b c ≤

* Nếu trong ba số , ,a b c có hai số bằng nhau thì ( ) 3

18

F a b c = <

* Nếu , ,a b c ñôi một khác nhau thì không mất tính tổng quát giả sử a =max{ }a b c; ; khi ñó n ếu

b >c thì ( ) 3

18

F a b c < < do vậy ta chỉ cần xéta c b> > ðặt x = +a b⇒c = −1 x

Ta có: F a b c( ; ; ) ( )( )( ) ( ) (= a−b c −b a −c ≤ a+b c a + −b c) ( )(=x 1−x 2x −1) ( )=h x

Xét ( ) ( )( ) 1

2

6

Lập bảng biến thiên ta ñược: ( ) 3 3 3

  với m ọi ( ;1]1

2

ðẳng thức xảy ra khi 3 3, 0, 3 3

Ví dụ 18 Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn : 21ab+2bc +8ca ≤12

Chứng minh rằng: 1 2 3 15

2

a + + ≥b c

Lời giải: ðặt: x 1,y 2,z 3 x y z, , 0

Khi ñó: 21ab 2bc 8ca 12 2 4.2 7.3 2 .1 2 3

2

x + + ≥y z

xy

+

−

Áp dụng bất ñẳng thức AM-GM ta có:

2

2 1 2

3

2

7 2

1

f x

x x

x

+

Ta thấy f '( )x tăng khi x > 0 và f ' 3( )= 0 ( ) 15

3 2

x y z f

ðẳng thức xảy ra khi:

3

2

2

x

a x

x

z

z xy

−

−

= +



Bài tập.

1) Chox + =y 2 Chứng minh rằng: x2010 +y2010 ≥2

2) Cho x2 +y2 ≠ 0 Chứng minh: ( 2 2)

2a

+

3) Cho các số thực ,x y thay ñổi và thỏa mãn x2 −xy +y2 ≤ 3 Chứng minh rằng:

Nguyễn Tất Thu

4) Chứng minh với tam giác ABC nhọn ta có:

a) tanA+tanB +tanC +sinA+sinB+sinC >2π

5) Chứng minh mọi tam giác ABC ta luôn có:

a) 1 os 2 1 os 2 1 os 2 3 3

sin sin sin

6) Cho tam giác ABC có 0 <A≤B ≤C <900 Chứng minh:

2 cos 3 4 cos 2 1

2 cos

C

7) Cho 0< < ≤ ≤x y z 1 thỏa: 3x +2y + ≤z 4.Chứng minh rằng :

3

x + y +z ≤

8) Chứng minh:

3

16 81

+ +

với a b c, , ≥0 và a+ + >b c 0

9) Cho , ,a b c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 Chứng minh :

( 2 2 2)

3 a +b +c +4abc ≥13 10) Cho bốn số nguyên , , ,a b c d thay ñổi thỏa: 1≤ < < < ≤a b c d 50

Chứng minh: 53

175

b + ≥d 11) Cho ,x y >0 Chứng minh rằng : 2

3

8 4

xy

≤

12) Cho hai số thực ,a b > 0 thỏa a+ =b 1 và1≤ ≤k 2 Chứng minh rằng:

( ) 3 1( )

13) Cho hai số ,x y ≠ 0thay ñổi thỏa mãn (x +y xy) =x2 +y2 −xy Chứng minh:

16

14) Với x,y khác không chứng minh rằng: 4 4 2 2

3 2

16) Cho , ,x y z ≥ 0 &x + + =y z 1 Cmr: 2 2 2 9

10

17) Cho , , 0

1

x y z





+ + =

12

x y −z +y z −x +z x −y ≤

18) Cho hai số thực a ≥ >b 0 Chứng minh rằng: 2 1 2 1

19) Cho , ,x y z > 0 thỏa x + + ≤y z 1 Chứng minh rằng

82

20) Cho ,x y∈R và ,x y >1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( 3 3) ( 2 2)

( 1)( 1)

P

=

21) Cho các số thực ,x y thoả mãn 0 , 0

≤ ≤ ≤ ≤ Chứng minh rằng:

( )

cosx +cosy ≤ +1 cos xy (D1-2008)

22) Cho các số thực không âm x, y thay ñổi và thỏa mãn x + =y 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =(4x2 +3y)(4y2 +3x)+25xy.(D-2009)

Chúc các em học giỏi

Tác giả: Nguyễn Tất Thu – GV Trường THPT Lê Hồng Phong Biên Hòa

Trần Văn Thương – GV Trường THPT Trần Hưng ðạo – Bà Rịa Vũng Tàu