Ứng dụng bất đẳng thức bernoulli để chứng minh bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Trần Phương Nhung Chức vụ: Giáo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Người thực hiện: Trần Phương Nhung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Học

THANH HÓA NĂM 2018

MỤC LỤC

Trang

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

PHẦN 2 : NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli 3

2.1.2 Hệ quả 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4 2.3 Các giải pháp để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh các bài toán, tìm 4

giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức

2.3.2 Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli vào giải các bài toán 6

bất đẳng thức 2.3.3 Các bài toán quy về bất đẳng thức Bernoulli 8

2.3.4 Các bài tập 11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 12

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

PHẦN 3 : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 14

3.2 Kiến nghị 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức là kiến thức rất quan trọng được học trong chương trình toán THCS và THPT Các bài toán Bất đẳng thức trong chương trình toán học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là trong các bài toán khó, các bài toán dùng cho học sinh giỏi Bài toán chứng minh bất đẳng thức là một trong những bài toán quan trọng với học sinh trong các kì thi Việc giải các bài toán đó luôn

là thách thức không chỉ với học sinh mà ngay cả với đa số giáo viên, chính vì vậy việc nghiên cứu tìm hiểu các lớp bất đẳng thức là việc làm cần thiết để cho việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng và quen thuộc hơn

Tuy vậy, trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thì những ứng dụng này chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ Các bất đẳng thức chưa được trình bày một cách có hệ thống trong sách toán bậc THPT

và THCS Hiện nay, sách giáo khoa môn toán trong chương trình THPT không

đề cập nhiều đến các bất đẳng thức Bernoulli, nhưng trong các đề thi học sinh giỏi vẫn xuất hiện các bài toán sử dụng các hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli Nhiều bài toán nếu không biết các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli thì lời giải sẽ dài và phức tạp nhưng nếu áp dụng thì sẽ cho lời giải ngắn gọn và

dễ hiểu

Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi thì việc tiếp cận bất đẳng thức

Bernoulli và ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli không phải là vấn đề khó mà trái lại thông qua quá trình vận dụng để giải bài tập và sáng tác các bài tập mới học sinh được rèn luyện khả năng tư duy, sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, tạo cho các em hứng thú tìm tòi, khám phá tri thức và phát huy tính chủ động, sáng tạo

Qua quá trình nghiên cứu, tôi thấy bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, và làm cho việc chứng minh nhiều bài toán trở nên dễ dàng hơn

Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng

minh bất đẳng thức”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu, trình bày một cách có hệ thống về các ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát, làm cho việc chứng minh các bất đẳng thức ở bậc phổ thông, nhất

là các bài toán thi học sinh giỏi trở nên nhẹ nhàng, đơn giản

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là xây dựng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định lí Bernoulli và hệ quả của định lí (so sánh bậc α) Việc nghiên

cứu chỉ dừng lại ở việc chứng minh một số lớp bất đẳng thức, chưa đề cập đến việc mở rộng và đi sâu hơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa từ việc nghiên cứu cách giải các bài toán đơn lẻ để khái quát lên thành phương pháp chung để giải một số lớp bất đẳng thức

Phương pháp đọc sách, tài liệu, nhằm tổng hợp cách giải các dạng bài tập, để

khái quát hóa thành phương pháp tổng quát giải dạng toán

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

Cho x là số thực dương, khi đó

+) x   � với mọi  1 x � � �( ;0] [1;� )

+) x   � với mọi  1 x  �[0;1]

Dấu “=” xảy ra khi x 1

Chứng minh:

Xét hàm số ( )f x x x  ,  1 f x'( )(x 11)

 Xét  0,  thì ( ) 0,1 f x    nên bất đẳng thức đúng.x 0

 Xét   hoặc 1   thì 0 f x'( ) 0 �(x 1 1) 0� x1,

do f x"( ) ( 1)x 2  nên ( )0 f x �f(1) 0,  x 0 nên bất đẳng thức đúng.

 Xét 0  thì  1 f x'( ) 0 �(x 1 1) 0� x1,

do f x"( ) ( 1)x 2  nên ( )0 f x �f(1) 0,  x 0 nên bất đẳng thức đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

2.1.2 Hệ quả (So sánh bậc )

Cho ,x y là các số thực dương, khi đó

+) x �y y 1(x y ) với mọi � � �( ;0] [1;� )

+) x �y y 1(x y ) với mọi  �[0;1]

Dấu “=” xảy ra khi x y .

Chứng minh:

 Xét � � �( ;0] [1;� , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có )



� �  �

� �

� �

1 ( 1)

x    y xy

� � ۳ x y y 1(x y )

 Xét  �[0;1], áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có

1



� �  �

� �

� �

1 ( 1)

x    y xy

� � ۣ x y y 1(x y )

Do đó bất đẳng thức được chứng minh

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi các học sinh giải các bài toán bất đẳng thức trong trương trình phổ thông gặp những bài toán khó mà trong chỉ sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc thì việc giải các bài toán đó luôn là thách thức với học sinh Ví dụ như bài toán sau:

Ví dụ1: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�5,x y �8, x y z  9 Chứng minh rằng

2 2 2 35

x  y  �z . Hoặc bài toán:

Ví dụ 2: Cho các số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng

5

5 5 5

a  b c �a b c  �

Nếu học sinh chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, hoặc Bunhiacopski thì các em khó để tìm ra lời giải

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh các bài toán, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức

Phương pháp chung: Sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Bernoulli

Bài toán 1: Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x y � Chứng minh rằng2

3 3 2

x  y �

Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli khi   3

Lời giải:

Ta có x3 3x  2 (x 1) (2 x2) 0,�  x 0

Dấu “=” xảy ra khi x 1

Tương tự ta cũng có y3  � 2 3y (2)

Cộng theo vế của (1), (2) ta được x3 y3 4 3(� x y ) 6�

Suy ra x3 y3 � Dấu “=” xảy ra khi 2 x y 1

Bài toán 2: Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x y � Tìm giá trị nhỏ nhất 1 của biểu thức

5 5

M   x y

Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli khi   , tuy nhiên dấu bằng lại5 xảy ra khi 1

2

x y 

Lời giải:

Đặt a2 ,x b2y suy ra a0,b và 0 a b � 2

Ta có a55a  4 (a 1) (2 a3 2a2 3a4) 0,�  a 0

Dấu “=” xảy ra khi a1

Tương tự ta cũng có b5  � 4 5b (2)

Cộng theo vế của (1), (2) ta được a5  b5 8 5(� a b ) 10�

Suy ra a5  � Dấu “=” xảy ra khi b5 2 a b 1

Do đó (2 )5 (2 )5 2 5 5 1

16

x  y � � x  y � Dấu “=” xảy ra khi 1

2

x y 

Vậy min 1

16

2

Bài toán 3: Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x3  y3 � Tìm giá trị nhỏ 2 nhất của biểu thức

5 5

M   x y

Phân tích: Giả sử x5  � ta cần tìm , a bx3 a b Đặt u x 3 �x u 13 �x5 u53 do

đó x5 � trở thành a bx3 u53  � a bu

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi 5

3

  , thì 2, 5

a b

Lời giải:

Ta có 3x55x3   2 (x 1) (32 x36x2 4x2) 0,�  x 0

Dấu “=” xảy ra khi x 1.

Tương tự ta cũng có 3y5 2 5 ,� y3  y 0 (2)

Cộng theo vế của (1), (2) ta được 3(x5  y5) 4 5( � x3  y3) 10�

Suy ra x5 y5� Dấu “=” xảy ra khi 2 x y 1

Bài toán 4: Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x5  y5  Tìm giá trị nhỏ 2 nhất của biểu thức

7 7

M x  y

Phân tích: Giả sử x7  � ta cần tìm , a bx5 a b Đặt u x 5 � x u 15 � x7 u75

do đó x7  � trở thành a bx5 u75  � a bu

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi 7

5

  , thì 2, 7

a b

Lời giải:

Ta có 5x7 7x5  2 (x 1) (52 x5 10x4 8x36x24x2) 0,�  x 0

Dấu “=” xảy ra khi x 1

Tương tự ta cũng có 5y7 2 7 ,� y3  y 0 (2)

Cộng theo vế của (1), (2) ta được 5(x7  y7) 4 7( � x5 y5) 4 14 

Suy ra x7  y7 � Dấu “=” xảy ra khi 2 x y 1

2.3.2 Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli vào giải các bài toán bất đẳng thức

Phương pháp chung: Sử dụng so sánh bậc 

Bài toán 5: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�4,x y �7, x y z  8

Chứng minh rằng

x2  y2  � z2 26

Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 2 của x và y

Lời giải:

Ta có x2   [y (x y)]2  y2 2 (y x y  ) (x y)2 �y22 (y x y )

Dấu “=” xảy ra khi

Áp dụng (*) ta có x2 �42 2.4(x4),x R� (1)

2 32 2.3( 3),

y �  y y R� (2)

2 12 2.1( 1),

Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được

x  y z �  x  y  z

26 2[1.(  x     4 y 3 z 1) 2(x    4 y 3) (x 4)]

26 2[2(�  x y   7) (x 4)] 26� Dấu “=” xảy ra khi x 4,y 3,z1.

Vậy x2  y2  � z2 26

Bài toán 6: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn

0� � �z y x x, �4,x y �7, x y z  8 Chứng minh rằng

2 2 2 26

x  y  � z

Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 2 của x và y

Lời giải:

Ta có x2   [y (x y)]2  y2 2 (y x y  ) (x y)2 �y22 (y x y )

Suy ra x2 �y2 2 (y x y ) (*)

Dấu “=” xảy ra khi

Áp dụng (*) ta có 42 �x2 2 (4x x),x R� (1)

2 2

3 �y 2 (3y  y),y R� (2)

2 2

1 �z 2 (1z z),z R� (3) Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được

2 2 2

26�x y  z 2[ (4x  x) y(3 y) z(1z)]

2 2 2 2[( )(7 ) ( )(4 )] 2 2 2

Dấu “=” xảy ra khi x 4,y 3,z1.

Vậy x2  y2  � z2 26

Bài toán 7: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x�4,x y �7, x y z  9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x3 y3 z3

Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 3 của x và y

Lời giải:

x  y x y x y x y

Ta thấy (**) luôn đúng với mọi x0,y do đó (*) luôn đúng với mọi0

x  y

Dấu “=” xảy ra khi

Áp dụng (*) ta có x3�43 3.4 (2 x4), x 0 (1)

3 33 3.3 (2 3), 0

3 23 3.2( 2), 0

Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được

3 3 3 99 3[4 (2 4) 3 (2 3) 2 (2 2)]

x  y z �  x  y  z

99 3[2 (x 4 y 3 z 2) (3 2 )(x 4 y 3) (4 3 )(x 4)]

99 3[5( x y  7) 7(x4)] 99

Dấu “=” xảy ra khi x 4,y 3,z2.

Vậy minM 99 khi x 4,y 3,z2.

2.3.3 Các bài toán quy về bất đẳng thức Bernoulli

Bài toán 8: Cho các số thực dương ,x y , Chứng minh rằng

5 5 5 7 7 7

Lời giải:

Đặt

2



5 5 2, ,

u  v x mu y mv 

Theo ví dụ 7 ta có u7  � , do đó v7 2

7 7 5 5 5 7 7 7 5 5 5

x  y �۳�x  y � �x  y � �x  y �

Dấu “=” xảy ra khi u v  tức là1

Bài toán 9: Cho số tự nhiên n thỏa mãn n� Chứng minh rằng 3 n 1n  n n 1

Lời giải:

( 1)

n

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi ,

1

n

n x n

 ta được 1

1

Dấu “=” xảy ra khi 1 1 0

1

n

 (vô lý) tức là dấu “=” không xảy ra.

n n

� � với mọi n� , tức là (2) đúng, suy ra (1) đúng 3

Bài toán 10: Cho các số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng

(a b )c  (c a)b  (b c)a 2

Lời giải: Gọi bất đẳng thức đã cho là (*)

 Nếu có một số trong ba số , ,a b c lớn hơn 1 thì (*) đúng.

Thật vậy, giả sử a suy ra 1 a c 1,a b  , do 1 c 0,b nên0

(a c )b  (1, a b )c  do đó (1 a c )b  (a b)c  , mà (2 b c )a  nên 0 (*) đúng

 Nếu cả ba số , ,a b c đều thuộc khoảng (0;1) , thì áp dụng bất đẳng thức

Bernoulli ta có

1

a

b c

a b c



�

  (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có

c a

a b c



( )c a b

a b

a b c



Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được (a b )c  (c a)b  (b c)a  2

Bài toán 11: Cho các số thực dương , ,a b c Chứng minh rằng

5

5 5 5

a  b c �a b c  �

Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với

3

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta được

 

Dấu “=” xảy ra khi 3a 1 b c 2a

a b c  �  

  Chứng minh tương tự ta cũng có

5

1

 

5

1

 

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được

3

Dấu “=” xảy ra khi

2

2

b c a

a b c

 

�

�

�  

�

Bài toán 12: Cho 0;

2

x �  �

�� �� � Chứng minh rằng

2 tan 1 sin (2 sin ) x  x  (3 tan )x  x

Lời giải: Đặt a 1 sin ,x b 2 tan x

2

x �  �

�� �� � nên 0 a b  Bất đẳng thức trở thành

(1a)b  (1 b) a

Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta được

   �  �  � � (1a)b �(1b) a

Do 1  nên dấu “=” không xảy ra, do đó (1a 1 a)b  (1 b) a

2.3.4 Bài tập

1. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�3,x y 4 Chứng minh rằng

2 2 10

x  y �

2. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x a x y b�,   Chứng minh rằng

2 2 2 2

x  y �a b

3. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�5,x y �8, x y z  9 Chứng minh rằng

2 2 2 35

x  y  � z

4. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x a x y b x y z c�,  �,    Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

x  y z �a  b c

5. Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x�3,x y 4 Chứng minh rằng

3 3 28

x  y �

6. Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x a x y b�,   Chứng minh rằng

3 3 3 3

x  y �a b

7. Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x�2,x y �3,x y z  4 Chứng minh rằng

3 3 3 10

x  y  �z

8. Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn x a x y b x y z c�,  �,   

Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

x  y z �a  b c

9. Cho các số thực ,x y thỏa mãn x�3,x y 4 Chứng minh rằng

4 4 82

x y �

10 Cho các số thực ,x y thỏa mãn x a x y b�,   Chứng minh rằng

4 4 4 4

x  y �a b

11 Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x a x y b x y z c�,   ,    Chứng minh rằng

4 4 4 4 4 4

x y z �a  b c

12 Cho các số thực dương x x1, , ,2 x thỏa mãn k

1 1

2 1 2

x a

�

�

�

�

�

�

      

� Chứng minh rằng 1n 2n n 1n 2n 2n

k

x x  x �a a  a

13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có

1

1



14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có

2

n

� �� 

15 Cho ba số tự nhiên , ,a b c thỏa mãn a b c  Chứng minh rằng với mọi số

tự nhiên n sao cho n a ta luôn có a n  b n c n

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh hai lớp 12 A và 12 B như sau:

Bài 1: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�3,x y 4 Chứng minh rằng

2 2 10

x  y �

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:

Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ

Giải đúng phương pháp 30 83,5 %

Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ

Bài 2: Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn x�5,x y �8, x y z  9 Chứng minh rằng

2 2 2 35

x  y  �z .

Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:

Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ

Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ

BIỂU ĐỒ SO SÁNH SAU KHI ĐÃ CHỈ RA SAI LẦM VÀ UỐN NẮN

HỌC SINH SỬA CHỮA SAI SÓT

Như vậy, bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, và làm cho việc chứng minh nhiều bài toán trở nên dễ dàng hơn đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá giỏi) và đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm