7 DẠNG TOÁN bất ĐẲNG THỨC và CÁCH CHỨNG MINH recovered

PHƯƠNG PHÁP 1 : BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bản chất : Từ giả thiết , ta dùng các phép biến đổi tương đương như quy đồng , khử mẫu , phân tích đa thức thành nhân từ để ra được điều phải chứng m

PHƯƠNG PHÁP 1 : BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Bản chất : Từ giả thiết , ta dùng các phép biến đổi tương đương như quy đồng , khử mẫu , phân tích đa thức thành nhân từ để ra được điều phải chứng minh và ngược lại Đây là phương pháp rất đơn giản và phổ biến , có thể áp dụng để giải quyết một lượng lớn các bài toán bất đẳng thức mà chúng ta hay gặp trong chương trình THCS và THPT Sau đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này

Ví dụ 1 :

Giải:

Nhận xét : Có thể thấy chỉ bằng phép bình phương 2 vế của (*) , tức là dùng phép tương đương , ta đã có được câu trả lời của bài toán với điều kiện và giả thiết đã cho của bài toán Bài này biến đổi từ đpcm đến giả thiết đúng của bài toán Ta có thể dùng theo chiều ngược lại nếu thấy thích hợp Tuy nhiên, ở đây ta nên dùng chiều từ dưới lên vì ta có một cái nhìn trực quan hơn và dễ biến đổi hơn

Ví dụ 2:

Giải:

PHƯƠNG PHÁP 2 : LÀM TRỘI

Bản chất : Không cho bất đẳng thức xảy ra dấu bằng , tức là các phép biến đổi trong bất đẳng thức không có dấu bằng , làm trội hẳn lên Ta dùng phương pháp này cho những bài chứng minh bất đẳng thức mà chỉ có dấu > , < mà ko có dấu bằng Rất khó để áp dụng các bất đẳng thức như Cô-si , Bunhia , Cauchy swaz , vì các bất đẳng thức này phải có dấu bằng xảy ra Một số ví dụ :

Ví dụ 1 :

Giải:

Ví dụ 2 :

Giải:

(đpcm)

Ví dụ 3:

Giải:

PHƯƠNG PHÁP 3 : SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC 2

Bản chất : Giả sử ta muốn tìm GTLN và GTNN của 1 biểu thức P = f(x) , tức là P là một biểu thức chứa biến x nếu f(x) có dạng bậc 2 hoặc bậc 4 ( bậc chẵn ) Ta sẽ tìm GTNN , GTLN bằng cách đưa về 1 phương trình có dạng ax^2 + bx + c = 0 với ẩn là x , các hệ số a , b , c được biểu diễn theo P Theo đó phương trình có nghiệm khi ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥0 và 𝑏2 − 4𝑎𝑐 được biểu diễn theo P Từ đó ta tìm được GTNN , GTLN của P một cách dễ dàng

Ví dụ 1:

Giải:

Xét 𝑦 ≠ 1 , vì phương trình bậc 2 có nghiệm nên ∆′≥ 0 ⇔

−1 ≤ 𝑦 ≤ 9

b) Với mọi a,b không đồng thời bằng 0

Xét 𝑏 = 0 thì 𝑎 ≠ 0, bất đẳng thức trở thành 6

7 ≤ 𝑎2

𝑎2 ≤ 2 ( đúng ) Xét 𝑏 ≠ 0 thì bất đẳng thức trở thành :

Ví dụ 2:

Giải:

Từ abc = 1 => 𝑏𝑐 = 1

𝑎 Do đó 𝑎3 > 36 nên a > 0 Bất đẳng thức có thể viết thành:

 (𝑏 + 𝑐)2 − (𝑏 + 𝑐)𝑎 − 3𝑏𝑐 +𝑎2

3 > 0  Đặt t = b + c => f(t) = 𝑡2 − 𝑎𝑡 +𝑎3

𝑎

Ta có :

Vậy f(t) có ∆ < 0 và có hệ số t > 0

PHƯƠNG PHÁP 4 : SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bản chất : Khi giải quyết một số bài bất đẳng thức , nếu không sử dụng các bất đẳng thức đã

có thì ta sẽ gặp khó khăn trong quá trình chứng minh Như vậy , để thuận tiện cho việc chứng minh bất đẳng thức , ta cần nằm lòng các bất đẳng thức quen thuộc và áp dụng chúng để giải quyết các bài bất đẳng thức nâng cao hơn Sau đây là một số bất đẳng thức quen thuộc ta cần ghi nhớ:

Với 3 số thực a,b,c bất kì , ta có :

1) 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2|𝑎𝑏| ≥ 2𝑎𝑏

2) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎

3) 1

𝑐𝑎

4) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ≥ 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)

Với 3 số dương x,y,z ta có :

1) 1

𝑥+𝑦

2) 1

𝑥+𝑦+𝑧

Trị tuyệt đối

1) |𝑎| ≥ 0

2) |𝑎| ≥ 𝑎

3) |𝑎| + |𝑏| ≥ |𝑎 + 𝑏|

4) |𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏|

Ví dụ 1:

Ví dụ 2 : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 CMR:

Giải:

(đpcm)

PHƯƠNG PHÁP 5 : PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN

Bản chất :

Ví dụ 1:

Chú ý: 𝑓′(1

4) 𝑙à đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑓(𝑥) = 6𝑥3 − 𝑥2 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 đ𝑖ể𝑚 𝑙à 𝑥 =1

4

Còn 𝑓 (1

4) = 6𝑥3 − 𝑥2 𝑣ớ𝑖 𝑥 = 1

4

Ta sẽ tính 𝑓′(1

4) như sau:

Ta nhập

Bấm bằng ta dc 𝑓′(1

4) = 5

8

*** Công thức chung cho phép tiếp tuyến của f(x) với cực trị đạt tại x = x0 :

y = 𝑓′(𝑥0) (𝑥 − 𝑥0)+ 𝑓(𝑥0)

Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

Ví dụ 3:

PHƯƠNG PHÁP 6 : SỬ DỤNG AM-GM

Ví dụ 1:

Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

Ví dụ 3:

Thỏa mãn a + b + c = 1

Giải:

Ta có :

=

Ta có : 1 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ≥ 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)

=>

Dấu bằng  a=b=c= 1/3

Ví dụ 4:

Giải:

PHƯƠNG PHÁP 7 : SỬ DỤNG BUNHIACOPXKI ( CAUCHY – SCHWARZ)

Bản chất :

Dạng phân thức :

Ví dụ 1:

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức :

Giải:

Ví dụ 2:

Giải:

Ví dụ 3:

Giải:

Ví dụ 4:

Giải:

Ta tách như sau để áp dụng Bunhia dạng phân thức :

Ví dụ 5: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn

Tìm GTNN của :

Giải: