MỤC LỤCPHẦN 2 : NỘI DUNG 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4 2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh các bài toán, tìm 4 giá trị lớn nhất, nhỏ nhất c
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Người thực hiện: Trần Phương Nhung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán Học
THANH HÓA NĂM 2018
Trang 2MỤC LỤC
PHẦN 2 : NỘI DUNG
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4
2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh các bài toán, tìm 4 giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức
2.3.2 Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli vào giải các bài toán 6 bất đẳng thức
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 12 với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
PHẦN 3 : KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trang 3ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI
ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là kiến thức rất quan trọng được học trong chương trình toán THCS và THPT Các bài toán Bất đẳng thức trong chương trình toán học phổ thông rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là trong các bài toán khó, các bài toán dùng cho học sinh giỏi Bài toán chứng minh bất đẳng thức là một trong những bài toán quan trọng với học sinh trong các kì thi Việc giải các bài toán đó luôn
là thách thức không chỉ với học sinh mà ngay cả với đa số giáo viên, chính vì vậy việc nghiên cứu tìm hiểu các lớp bất đẳng thức là việc làm cần thiết để cho việc chứng minh bất đẳng thức trở nên dễ dàng và quen thuộc hơn
Tuy vậy, trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thì những ứng dụng này chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ Các bất đẳng thức chưa được trình bày một cách có hệ thống trong sách toán bậc THPT
và THCS Hiện nay, sách giáo khoa môn toán trong chương trình THPT không
đề cập nhiều đến các bất đẳng thức Bernoulli, nhưng trong các đề thi học sinh giỏi vẫn xuất hiện các bài toán sử dụng các hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli Nhiều bài toán nếu không biết các tính chất, hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli thì lời giải sẽ dài và phức tạp nhưng nếu áp dụng thì sẽ cho lời giải ngắn gọn và
dễ hiểu
Hơn nữa, với đối tượng học sinh khá, giỏi thì việc tiếp cận bất đẳng thức
Bernoulli và ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli không phải là vấn đề khó
mà trái lại thông qua quá trình vận dụng để giải bài tập và sáng tác các bài tập mới học sinh được rèn luyện khả năng tư duy, sử dụng kiến thức một cách linh hoạt, tạo cho các em hứng thú tìm tòi, khám phá tri thức và phát huy tính chủ động, sáng tạo
Qua quá trình nghiên cứu, tôi thấy bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, và làm cho việc chứng minh nhiều bài toán trở nên dễ dàng hơn
Chính vì vậy tôi chọn đề tài “Ứng dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng
minh bất đẳng thức”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nghiên cứu, trình bày một cách có hệ thống về các ứng dụng của bất đẳng thức Bernoulli từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát, làm cho việc chứng minh các bất đẳng thức ở bậc phổ thông, nhất
là các bài toán thi học sinh giỏi trở nên nhẹ nhàng, đơn giản
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là xây dựng phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định lí Bernoulli và hệ quả của định lí (so sánh bậc α) Việc nghiên) Việc nghiên
Trang 4cứu chỉ dừng lại ở việc chứng minh một số lớp bất đẳng thức, chưa đề cập đến việc mở rộng và đi sâu hơn
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương phap phân tích, tổng hợp, khái quát hóa từ việc nghiên cứu cách giải các bài toán đơn lẻ để khái quát lên thành phương pháp chung để giải một số lớp bất đẳng thức
Phương pháp đọc sách, tài liệu, nhằm tổng hợp cách giải các dạng bài tập, để
khái quát hóa thành phương pháp tổng quát giải dạng toán
2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1 Bất đẳng thức Bernoulli
Cho x là số thực dương, khi đó
+) x 1 x với mọi ( ;0] [1; ) +) x 1 x với mọi
[0;1]
Dấu “=” xảy ra khi x 1
Chứng minh:
Xét hàm số f ( x ) x x 1, f '(x ) (x 1 1)
Xét 0, 1 thì f(x) 0, x0 nên bất đẳng thức đúng Xét 1 hoặc 0
thì f '(x ) 0 (x 1 1) 0 x 1,
do f "(x ) ( 1)x 2 0 nên f ( x ) f (1) 0, x 0 nên bất đẳng thức đúng.
Xét 01 thì f '(x ) 0(x 1 1) 0 x 1,
do f "(x ) ( 1)x 2 0 nên f ( x ) f (1) 0, x 0 nên bất đẳng thức đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
2.1.2 Hệ quả (So sánh bậc )
Cho x, y là các số thực dương, khi đó
+) x yy 1 (x y) với mọi( ;0] [1; )
+) x yy 1 (x y) với mọi[0;1]
Dấu “=” xảy ra khi x y.
Chứng minh:
Xét ( ;0] [1; ) , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có
Trang 5x x x ( 1) y xy 1 x y y 1 ( x y)
1
y y
Xét[0;1] , áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có
1
y y
Do đó bất đẳng thức được chứng minh
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi các học sinh giải các bài toán bất đẳng thức trong trương trình phổ thông gặp những bài toán khó mà trong chỉ sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc thì việc giải các bài toán đó luôn là thách thức với học sinh Ví dụ như bài toán sau:
Ví dụ1: Cho các số thực x ,y, z thỏa mãn x 5, x y 8, x y z 9 Chứng minh
rằng
x 2 y 2 z2 35 Hoặc bài toán:
Ví dụ 2: Cho các số thực dương a,b ,c Chứng minh rằng
a 5 b 5 c 5 a b c 5
Nếu học sinh chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy, hoặc Bunhiacopski thì các
em khó để tìm ra lời giải
2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli chứng minh các bài toán, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức
Phương pháp chung: Sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Bernoulli
Bài toán 1: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
x 3 y3 2
Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli khi3
Lời giải:
Ta có x 3 3x 2 ( x 1)2 (x 2) 0, x 0
Dấu “=” xảy ra khi x 1
x y 2.Chứng minh rằng
Trang 6Cộng theo vế của (1), (2) ta được x 3 y 3 4 3(x y) 6
Suy ra x 3 y3 2 Dấu “=” xảy ra khi x y 1.
Bài toán 2: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x y1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
M x 5 y5
Phân tích: Ta sử dụng bất đẳng thức Bernoulli khi 5 , tuy nhiên dấu bằng lại
xảy ra khi x y 1
2
Lời giải:
Đặt a 2x, b 2y suy ra a 0,b 0 và a b 2
Ta có a 5 5a 4 ( a 1)2 (a 3 2a 2 3a 4) 0, a 0
Dấu “=” xảy ra khi a 1
Cộng theo vế của (1), (2) ta được a 5 b 5 8 5(a b) 10 Suy ra
a5b5 2 Dấu “=” xảy ra khi a b1
Do đó (2x ) 5 (2 y ) 5 2 x 5 y5 161 Dấu “=” xảy ra khi x y 1
2 .
Bài toán 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 3 y3 2 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
M x 5 y5
Phân tích: Giả sử x5 a bx3 ta cần tìm a,b. Đặt u x3 x u 3 x 5 u do3
đó x5 a bx3 trở thành u
5
a bu .
3
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi 5 , thì a 2 ,b 5
Lời giải:
Ta có 3x 5 5x 3 2 ( x 1)2 (3x 3 6x 2 4x 2) 0, x 0
Trang 7Dấu “=” xảy ra khi x 1.
Cộng theo vế của (1), (2) ta được 3(x 5 y 5 ) 4 5(x 3 y3 ) 10
Suy ra x 5 y5 2 Dấu “=” xảy ra khi x y 1
Vậy min M 2 khi x y 1
Bài toán 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 5 y5 2 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
M x 7 y7
Phân tích: Giả sử x7a bx5 ta cần tìm a, b Đặt u x5x u 5x7u5 do đó x7 a
bx5 trở thành u 75 a bu
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi 75 , thì a 52 ,b 7 5 .
Lời giải:
Ta có 5x 7 7x 5 2 ( x 1)2 (5x 5 10x 4 8x 3 6x 2 4x 2) 0, x 0
Suy ra 5x 7 2 7 x 5 , x 0 (1) Dấu “=” xảy ra khi x 1
Cộng theo vế của (1), (2) ta được 5(x 7 y 7 ) 4 7(x 5 y5 ) 4 14
Suy ra x 7 y7 2 Dấu “=” xảy ra khi x y 1
Vậy min M 2 khi x y 1
2.3.2 Sử dụng hệ quả của bất đẳng thức Bernoulli vào giải các bài toán bất đẳng thức
Phương pháp chung: Sử dụng so sánh bậc
Bài toán 5: Cho các số thực x,y, z thỏa mãn x 4, x y 7, x y z 8
Chứng minh rằng
x 2 y 2 z2 26
Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 2 của x và y
Lời giải:
Ta có x 2 [ y ( x y )]2 y 2 2 y ( x y ) ( x y ) 2 y 2 2 y ( x y)
Trang 8Dấu “=” xảy ra khi
y 2 32 2.3( y 3), y R (2)
Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được
x 2 y 2 z 2 26 2[4(x 4) 3( y 3) ( z 1)]
26 2[1.(x 4 y 3 z 1) 2(x 4 y 3) ( x 4)] 26 2[2(x y 7) ( x 4)]
26
Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3, z 1.
Vậy x 2 y 2 z2 26
Bài toán 6: Cho các số thực x,y ,z thỏa mãn
0 z y x , x 4, x y 7, x y z 8 Chứng minh rằng
x 2 y 2 z2 26
Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 2 của x và y
Lời giải:
Ta có x 2 [ y ( x y )]2 y 2 2 y ( x y ) ( x y ) 2 y 2 2 y ( x y)
Suy ra x 2 y 2 2 y ( x y) (*)
Dấu “=” xảy ra khi
Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được
26 x 2 y 2 z 2 2[x (4 x ) y (3 y ) z (1 z)]
x 2 y 2 z 2 2[z (4 x 3 y 1 z ) ( y z )(4 x 3 y ) ( x y )(4 x)]
x 2 y 2 z 2 2[( y z )(7 x y ) ( x y )(4 x )] x 2 y 2 z2
Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3, z 1.
Vậy x 2 y 2 z2 26
Trang 9Bài toán 7: Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn x 4, x y 7, x y z 9 Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức M x 3 y 3 z3
Phân tích: Ta sử dụng so sánh bậc 3 của x và y
Lời giải:
x 3 3y 2 x 2 y 3 0 (x y ) 2 (x 2y) 0 (**)
Ta thấy (**) luôn đúng với mọi x 0,y 0 do đó (*) luôn đúng với mọi
x 0, y 0
Dấu “=” xảy ra khi
Áp dụng (*) ta có x 3 43 3.42 (x 4), x 0 (1)
y 3 33 3.32 ( y 3), y 0 (2)
z 3 2 3 3.2(z 2), z 0 (3) Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được
x 3 y 3 z 3 99 3[42 (x 4) 32 ( y 3) 22 (z 2)]
99 3[22.(x 4 y 3 z 2) (32 22 )(x 4 y 3) (42 32 )(x 4)]
99 3[5(x y 7) 7(x 4)] 99
Dấu “=” xảy ra khi x 4, y 3, z 2
Vậy min M 99 khi x 4, y 3, z 2
2.3.3 Các bài toán quy về bất đẳng thức Bernoulli
Bài toán 8: Cho các số thực dương x, y , Chứng minh rằng
x 5 y 5 1 x 7 y7 1
Lời giải:
Đặt u 5 2x 5 ,v 5 2 y 5 ,m5 x 5 y 5
, suy ra u 5 v 5 2, x mu , y mv
x 5 y 5 x 5 y5 2
Theo ví dụ 7 ta có u 7 v7 2 , do đó x 7 y 7 m 7u 7 v7m 7
x 7 y 7 x 5 y 57 x 7 y 7 1 x 5 y5 1
Trang 10Dấu “=” xảy ra khi u v 1 tức là
Bài toán 9: Cho số tự nhiên n thỏa mãn n 3 Chứng minh rằng n1 n n n 1.
Lời giải:
n 1
n 1
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli khi n, x n n 1 ta được
n 1 n
Dấu “=” xảy ra khi n 1 1 0 (vô lý) tức là dấu “=” không xảy ra.
n 1
n n 1 với mọi n 3, tức là (2) đúng, suy ra (1) đúng
Do đó
n 1
n 1
Bài toán 10: Cho các số thực dương a, b,c Chứng minh
rằng (a b ) c ( c a ) b ( b c) a 2
Lời giải: Gọi bất đẳng thức đã cho là (*)
Nếu có một số trong ba số a ,b, c lớn hơn 1 thì (*) đúng
Thật vậy, giả sử a 1 suy ra a c 1,a b 1, do c 0,b 0 nên
(a c) b 1, (a b) c 1 do đó (a c ) b ( a b) c 2 , mà (b c) a 0 nên
(*) đúng
Nếu cả ba số a , b , c đều thuộc khoảng (0;1) , thì áp dụng bất đẳng thức
Bernoulli ta có
1 a a 1 a a b c a (b c ) a b c
a b c
(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có
a b c
Trang 11( a b) c a b
a b c
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được (a b ) c ( c a ) b ( b c) a 2 Bài
toán 11: Cho các số thực dương a , b , c Chứng minh rằng
a 5 b 5 c 5 a b c 5
Lời giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với
c
5
3
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta được
a
5 1 5(b c 2a)
Dấu “=” xảy ra khi 3a 1 b c 2a
a b c
Chứng minh tương tự ta cũng có
a b c
a b c
a b c
a b c
Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được
c
5
3
a b ca b ca b c
b c 2a
Dấu “=” xảy ra khi
c a 2b a b c.
a b 2c
Bài toán 12: Cho x 0; Chứng minh rằng
2
(2 sin x ) 2 tanx (3 tan x)1 sinx
(3)
(1)
(2) (3)
Trang 12Lời giải: Đặt a 1 sin x , b 2 tan x.
Do x 0; nên 0 a b Bất đẳng thức trở thành
2
(1 a ) b (1 b) a
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta được
(1 a ) b b 1 b (1 a ) (1 a ) b
1 a (1 a ) b (1 b) a
Do 1 a 1 nên dấu “=” không xảy ra, do đó (1 a ) b (1 b) a
2.3.4 Bài tập
1. Cho các số thực x,y ,z thỏa mãn x3, x y4 Chứng minh rằng x 2
y2 10
2. Cho các số thực x,y ,z thỏa mãn x a,x y b Chứng minh rằng x 2
y 2 a 2 b2
3. Cho các số thực x, y,z thỏa mãn x 5, x y 8, x y z 9 Chứng minh
rằng
x 2 y 2 z2 35
4. Cho các số thực x, y,z thỏa mãn x a , x y b, x y z c Chứng minh
rằng
x 2 y 2 z 2 a 2 b 2 c2
5. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x 3, x y 4 Chứng minh rằng
x 3 y3 28 .
6. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x a,x y b Chứng minh rằng x 3
y 3 a 3 b3
7. Cho các số thực dương
minh rằng
8. Cho các số thực dương
Chứng minh rằng
x , y , z thỏa mãn x 2, x y 3, x y z 4 Chứng
x 3 y 3 z3 10
x , y , z thỏa mãn x a , x y b, x y z c
x 3 y 3 z 3 a 3 b 3 c3
9. Cho các số thực x ,y thỏa mãn x3, x y4 Chứng minh rằng x 4
y4 82.
Trang 1310 Cho các số thực x,y thỏa mãn x a ,x y b Chứng minh rằng x 4
y 4 a 4 b4
11 Cho các số thực x, y,z thỏa mãn x a , x y b , x y z c Chứng minh
rằng
x 4 y 4 z 4 a 4 b 4 c4
12 Cho các số thực dương x1 , x2 , , x k thỏa mãn
x1 a1
x a a 2
x x x 1 a a2 a k 1
x x x a a 2 a k
Chứng minh rằng x1n x2n x k n a1n a2n a2
13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có
14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có
1 1n n 3 n 3 2
15. Cho ba số tự nhiên
tự nhiên n sao cho n a
a , b , c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng với mọi số
ta luôn có a n b n c n
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh hai lớp 12 A và 12 B như sau:
Bài 1: Cho các số thực x,y, z thỏa mãn x 3, x y 4 Chứng minh rằng x 2
y2 10
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Trang 14Giải đúng phương pháp 30 83,5 %
Bài 2: Cho các số thực x,y ,z thỏa mãn x 5, x y 8, x y z 9 Chứng minh
rằng
x 2 y 2 z2 35
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
BIỂU ĐỒ SO SÁNH SAU KHI ĐÃ CHỈ RA SAI LẦM VÀ
UỐN NẮN HỌC SINH SỬA CHỮA SAI SÓT
80
70
60
50
40
30
20
10
Lớp 12 A
Không giải được Sai PP
Giải đúng
Như vậy, bất đẳng thức Bernoulli có nhiều ứng dụng đặc sắc, và làm cho việc chứng minh nhiều bài toán trở nên dễ dàng hơn đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá giỏi) và đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm
Trang 153 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận
Trong bài tiểu luận này, tôi đã sử dụng bất đẳng thức Bernoulli và hệ quả của nó để chứng minh các bất đẳng thức khác Đối với các bất đẳng thức liên quan đến số mũ nguyên dương thì bất đẳng thức Bernoulli có vai trò định hướng tìm lời giải viêc chứng minh hoàn toàn độc lập, đối với các bất đẳng thức liên quan đến số mũ không phải nguyên dương thì việc chứng minh được thực hiện bằng cách áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Bernoulli
3.2 Kiến nghị
Đề tài này có thể là không lạ đối với người ai yêu và thích nghiên cứu Toán Nhưng với mong muốn đáp ứng tinh thần ham học, thích khám phá của học sinh Tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần vào việc giải các dạng toán đã nêu trên ; Các thầy cô cùng phát hiện thêm những sai sót của học sinh trong quá trình giải toán, để uốn nắn kịp thời, tạo cho học sinh cơ hội sửa sai và thêm yêu thich bộ môn Toán
Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này được quý thầy cô đồng nghiệp phát triển và dạy cho học sinh khá, giỏi lớp10, lớp 11, lớp 12 trong tỉnh ta
viêt, không sao chep nôịdung cua ngươi
khac
Người viết
Trần Phương Nhung