ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN Toán 7 Thời gian 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1 ([.]
Trang 1UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN: Toán 7
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,5 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
4 33 3 12 11 49
3 3 3 1 1 1 1
7 29 53 2 3 4 5
5 5 5 7 7 7 7
7 29 53 2 3 4 5
P
2 Tìm x, biết: 2x 1 3 53
Bài 2 (2,25 điểm)
M 2x 3x y3xy xy 1 3x 3x y3xy xy a) Tìm đa thức M
b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn 2
x 10 0
2 Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac Chứng minh tỉ lệ thức:
2
2
a 2013b a
c b 2013c
Bài 3 (2,5 điểm)
Cho góc vuông xOy Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA OB) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và
OF = OA
a) Chứng minh AB = EF và AF // BE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF Chứng minh MON cân tại O
Bài 4 (1,75 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Bx, sao cho ABx ABC Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại D Qua C
vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E Chứng minh rằng AD = AE
Bài 5 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: 2 2
12 1.
x y
==========Hết==========
Trang 2UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN 7
Bài 1 (2,5 điểm)
1 Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lí:
4 33 3 12 11 49
3 3 3 1 1 1 1
7 29 53 2 3 4 5
5 5 5 7 7 7 7
7 29 53 2 3 4 5
P
2 Tìm x, biết: 2x 1 3 53
3
7 29 53
7 29 53 2 3 4 5 7 29 53 2 3 4 5
3 1 16
5 7 35
0,25
TH1 2x 1 5 x 11
0,5
0,25
0,25
Bài 2 (2,25 điểm)
M 2x 3x y3xy xy 1 3x 3x y3xy xy a) Tìm đa thức M
b) Tính giá trị của đa thức M khi x thỏa mãn 2
x 10 0
2 Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn b2 = ac Chứng minh tỉ lệ thức:
2
2
a 2013b a
c b 2013c
Trang 3Câu Đáp án Điểm
3
M 2x 3x y 3xy xy 1 3x 3x y 3xy xy
M 3x 3x y 3xy xy 2x 3x y 3xy xy 1
3x 3x y 3xy xy 2x 3x y 3xy xy 1
x 1
Với 2
x 10 0 x 10 0 x 10
Khi x = 10 ta được: M = 103 + 1 = 1001
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 2a
Ta có b2 = ac b a (do a, b,c 0)
c b
Đặt a b k a kb ; b kc
Do đó ta có:
2 2
k
2
k c
b 2013c ck 2013c c k 2013
Từ (1) và (2) suy ra
2
2
a 2013b a
c b 2013c
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3 (2,5 điểm)
Cho góc vuông xOy Các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy (OA OB) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm E, trên tia đối của Oy lấy điểm F sao cho OE = OB và
OF = OA
a) Chứng minh AB = EF và AF // BE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và EF Chứng minh MON cân tại O
Trang 4N
F
E
A
B y
x O
3a Chứng minh được AOB = FOE (c.g.c)
AB = EF (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh AOF vuông cân tại O 0
OAF 45
Tương tự chứng minh được OEB450
OAFOEB45 AF // BE
0,75 0,25 0,25 0,25
3b Vì AB = EF (cmt) nên AB : 2 = EF : 2 hay BM = EN
Chứng minh: OMB = ONE (c.g.c)
OM = ON (hai cạnh tương ứng)
OMN cân tại O
0,25
0,25 0,25
Bài 4 (1,75 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa
điểm A vẽ tia Bx, sao cho ABxABC Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với Bx tại
D Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với d tại E Chứng minh rằng AD = AE
Hình vẽ đúng
H
d E
D
A
C B
0,25
M
Trang 5Vẽ AH BC tại H.
Chứng minh ADB = AHB (cạnh huyền – góc nhọn)
Lập luận được HACEAC
Từ đó chứng minh được AHC = AEC (cạnh huyền – góc nhọn)
Từ (1) và (2) suy ra: AD = AE
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
Bài 5 (1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: 2 2
12 1.
x y
1 x2 12y2 1 x2 1 12y2 (x 1)(x 1) 12y2.
12y 2 (x 1)(x 1) 2
x – 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp.
(x 1)(x 1) 8 12y 8 3y 2 y 2 y 2.
Vậy x = 7 và y = 2
0,25
0,25
0,25 0,25
* Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.