Prob ch4 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Microsoft PowerPoint ch4 ppt Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Problem/ch 4 4 1 Chứng tỏ rằng nếu f(t) là hàm chẵn thì 0 ( ) 2 ( )cosF f t tdtω ωω ωω ωω ω ∞∞∞∞ ==== ∫∫[.]

4.1 Chứng tỏ rằng nếu f(t) là hàm chẵn thì:

0 ( ) 2 ( )cos

F ωωωω = ∫∫∫∫∞ f t ωωωωtdt

và nếu f(t) là hàm lẻ thì:

0 ( ) 2 ( )sin

F ωωωω = − j∫∫∫∫∞ f t ωωωωtdt

do đó nếu f(t) là tín hiệu thực, chẵn thì F(ω) là phổ thực, chẵn và nếu f(t)

là tín hiệu thực, lẻ thì F(ω) là phổ thuần ảo và lẻ theo ω

4.2 Tín hiệu f(t) có thể được biểu diễn theo thành phần chẵn và lẻ:

( ) e( ) o( )

f t ==== f t ++++ f t

a) Nếu f t( ) ↔ F( )ω , f(t) là tín hiệu thực, chứng tỏ rằng:

( ) Re ( ) & ( ) Im ( )

f t ↔↔↔↔ F ωωωω f t ↔↔↔↔ j F ωωωω

b) Kiểm chứng kết quả trên bằng cách tìm biến đổi Fourier của thành phần chẵn và lẻ của các tín hiệu sau: u(t) và e-atu(t), a>0?

4.3 Dùng định nghĩa của biến đổi thuận, tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t)

trên hình 4.3?

( )

f t

at

t

at

e

T

t t

1

( )

f t

( )

f t

1

Hình 4.3

4.4 Dùng định nghĩa của biến đổi ngược, tìm biến đổi Fourier ngược của phổ

tín hiệu trên hình 4.4?

Hình 4.4

4.5 Vẽ các hàm sau: a rect) (((( ))))2t (((( ))))3

100 )

b Λ ω (((( 10))))

8

c rect − d) sinc(((( ))))πω5

(((( 10 ))))

5 ) sin

e c ωω ω ω − π πππ f ) sinc(((( ))))5t rect( 10tπ)

4.6 Tìm phổ của các tín hiệu sau (trình bày cách tính):

1 2 ) ( ) /

a δδδδ t + j ππππt b) (δδδδ t ++++T)++++δδδδ(t −−−−T) c) (δδδδ t ++++T)−−−−δδδδ(t −−−−T)

4.7 Tín hiệu f(t) trên hình 4.7 có phổ như sau: 2

1

F e ωωωω j e ωωωω

ω

ω ==== −−−− ω −−−− Hãy xác định phổ của các tín hiệu còn lại dựa trên phổ của f(t)

( )

f t

t

1( )

f t

t

2( )

f t

t

t

3( )

f t

t

4( )

f t

t

5( )

f t

Hình 4.7

4.8 Tìm tín hiệu f(t) biết phổ của nó như hình 4.8

Hình 4.8

4.9 Tìm phổ F(ω) của tín hiệu f(t) trên hình 4.9

Hình 4.9

4.10 Tìm phổ của các tín hiệu trên hình 4.10?

Hình 4.10

2

( )sin j ( ) ( )

f t ωωωω t ↔↔↔↔ F ω ωω ωω ωω ω−−−− −−−− F ω ωω ωω ωω ω++++

1

2j[ (f t ++++T)−−−− f t( −−−−T)]↔↔↔↔ F( )sinωωωω Tωωωω

Vận dụng kết quả trên tìm phổ của tín hiệu trên hình 4.11?

Hình 4.11

4.12 Tín hiệu trên hình 4.12 được điều chế AM với sóng mang cos10t Hãy

xác định và vẽ phổ của tín hiệu điều chế?

Hình 4.12

4.13 Xác định tín hiệu f(t) biết phổ của nó như trên hình 4.13?

Hình 4.13

4.14 Một tín hiệu f(t) có băng thông giới hạn là B Hz Chứng minh rằng tín

hiệu fn(t) có độ rộng băng thông là nB Hz? Gợi ý: dùng tính chất về độ

rộng của tích chập!

4.15 Cho hệ thống LTIC với hàm truyền: ( ) 1

1

H s

s

= +

Xác định đáp ứng (Zero-state) nếu tín hiệu vào f(t) là: (a) e-2tu(t); (b) e-tu(t); (c) etu(-t); (d) u(t)?

4.16 Cho hệ thống LTIC ổn định với hàm truyền: ( ) 1

2

H

j

ω

ω

−

=

− Xác định đáp ứng xung h(t) của hệ thống và chứng tỏ rằng đây là hệ thống không nhân quả? Xác định đáp ứng của hệ thống nếu f(t) là: (a) e-tu(t); (b)

etu(-t)?

4.17 Cho hệ thống với sơ đồ trên hình 4.17 Biết:

Hình 4.17

1 ( ) 10 (10 )

f t = rect t

2 ( ) ( )

f t = δδδδ t , H1 ( )ω = rect((((40000ω π )))) , H2 ( )ω = rect((((20000ω π ))))

a) Vẽ F1(ω) và F2(ω)?

b) Vẽ H1(ω) và H2(ω)?

c) Vẽ Y1(ω) và Y2(ω)?

d) Xác định băng thông của y1(t), y2(t) và y(t)?

4.18 Xét bộ lọc với hàm truyền: ( 2 0 )

( ) k j t

H ω = e−−−− ωωωω ++++ ωωωω

Chứng tỏ rằng bộ lọc không thực hiện được trên thực tế dựa trên miền thời gian [h(t) không nhân quả] và miền tần số (Paley-Wiener)? Có thể chọn giá trị của t0 đủ lớn để có thể thực hiện bộ lọc trên thực tế? Nếu được xác định giá trị t0 này?

5

2 10

2.10 ( )

10

j t

ω

−

=

+

Chứng tỏ rằng bộ lọc không thực hiện được trên thực tế dựa trên miền thời gian [h(t) không nhân quả]? Có thể chọn giá trị của t0 đủ lớn để có thể thực hiện bộ lọc trên thực tế? Nếu được xác định giá trị t0 này?

4.20 Xét tín hiệu: ( ) 2 2a 2

f t

=

+

Xác định băng thông B Hz của f(t) sao cho năng lượng chứa trong

khoảng băng thông này là 99% năng lượng của tín hiệu?

4.21 Xét các tín hiệu băng gốc sau: (i) m(t)=cos1000t; (ii)

m(t)=2cos1000t+cos2000t; (iii) m(t)=cos1000tcos3000t

a) Xác định và vẽ phổ của m(t)?

b) Xác định và vẽ phổ tín hiệu DSB-SC m(t)cos10000t?

c) Xác định phổ USB và LSB?

d) Xác định các tần số trong tín hiệu băng gốc và các tần số tương ứng trong phổ DSB-SC, USB và LSB?

4.22 Cho hệ thống điều chế và tín hiệu băng gốc có phổ như hình 4.22, biết

bộ lọc thông dãi được điều chỉnh để chọn lọc tần số ωc

a) Có thể tạo tín hiệu điều chế DSB-SC chỉ với hệ thống này không? Nếu được hãy xác định giá trị của k?

b) Xác định phổ tín hiệu tại các điểm a, b và c?

c) Giá trị nhỏ nhất có thể của ωc là bao nhiêu?

d) Hệ thống có thể hoạt động như mong muốn nếu bộ tạo sóng mang là cos2ω t? giải thích?

Hình 4.22

4.23 Việc thực hiện bộ nhân tương tự rất khó thực hiện và đắc tiền do vậy có

thể thực hiện nhân số (chuyển mạch) như hệ thống trên hình 4.23 trong

đó T0=2π/ωc Chứng tỏ rằng hệ thống này có thể tạo tín hiệu điều chế biên độ km(t)cosωct? Xác định giá trị của k? Chứng tỏ rằng hệ thống này

có thể thực hiện giải điều chế bằng cách thay thế bộ lọc thông dải thành

bộ lọc thông thấp?

Hình 4.23

4.24 Cho sơ đồ giải điều chế đồng bộ trên hình 4.24 Chứng tỏ rằng sơ đồ

này có thể giải điều chế tín hiệu AM [A+m(t)]cosωct với bất kể giá trị nào của A?

Hình 4.24

4.25 Vẽ tín hiệu AM [A+m(t)]cosωct với tín hiệu m(t) trên hình 4.25 theo các

chỉ số điều chế: (a) µ=0.5; (b) µ=1; (c) µ=2 và µµµ=∞∞∞?

Hình 4.25

( )

m t

4.26 Cho các tín hiệu băng gốc: (a) m(t)=cos100t; (b) m(t)=cos100t+2cos300t

(c) m(t)=cos100tcos500t Tương ứng với mỗi tín hiệu hãy:

(i) Vẽ phổ của m(t)

(ii) Xác định và vẽ phổ tín hiệu DSB-SC 2m(t)cos1000t

(iii) Từ phổ thu được ở bước (ii), triệt phổ LSB để thu được phổ USB

(iv) Biết được phổ USB ở bước (iii), viết hàm mô tả cho ϕUSB(t) cho tín hiệu USB

(v) Lặp lại bước (iii) & (iv) để thu được tín hiệu ϕLSB(t)