eisagoge ste mathematike logike - kostas drosos

2.1.3 Gl¸ssa kai Logik Ac skeptìmaste th gl¸ssa wc sÔsthma ìpwc thn èqoume perigrˆyei kai ac jewr soume ìti gia alfˆbhto èqoume to atomikoÔ tÔpou alfˆbhto A me ta 24 sÔmbola ta kefalaÐa

Eisagwg  sth Majhmatik  Logik 

ApagoreÔetai h merik    olik  dhmosÐeush tou èrgou autoÔ qwrÐc thn sqetik 

ˆdeia twn suggrafèwn Epitrèpetai h qwrÐc kèrdoc anaparagwg  tou meopoiod pote mèso, gia didaktikoÔc kai mìnon skopoÔc

c

○2006, K Drìsoc, Panag c Karazèrhc, E Papadopetrˆkhc

1.1 SÔnola 1

1.1.1 'Algebra Sunìlwn 1

1.1.2 Sqèseic, Sunart seic 1

1.1.3 Arijmhsimìthta 1

1.1.4 Plhjˆrijmoi kai DiataktikoÐ ArijmoÐ 1

1.2 Majhmatikèc Domèc 1

1.2.1 H 'Ennoia thc Majhmatik c Dom c 1

1.2.2 Mhtrikèc Domèc 1

1.2.3 OmomorfismoÐ Dom¸n 1

1.3 Epagwg  1

1.4 Alfˆbhta, Gl¸ssec kai Monoeid  1

2 LOGIKH TWN PROTASEWN 3 2.1 Ennoiologik  Eisagwg  3

2.1.1 'Enac Orismìc gia th Gl¸ssa 3

2.1.2 Mia Taxinìmhsh twn Glwss¸n 6

2.1.3 Gl¸ssa kai Logik  10

2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 13

2.2.1 Frˆsh, Prìtash, Tim  al jeiac miac Prìtashc 13

2.2.2 SÔndesmoi, Protˆseic kai PÐnakec AlhjeÐac 17

2.3 H Gl¸ssa thc Protasiak c Logik c 29

3 SHMASIOLOGIA THS LOGIKHS TWN PROTASEWN 39 3.1 Ennoiologik  Eisagwg  39

3.2 Aponomèc kai Apotim seic AlhjeÐac 40

3.3 Oi LogikoÐ SÔndesmoi 47

3.4 Orismènec qr simec logikèc isodunamÐec 54 3.5 Orismènoi ˆlloi trìpoi EÔreshc thc Alhjotim c miac Prìtashc 58

v

3.6 Epark  SÔnola Sundèsmwn-Kanonikèc Morfèc 64

3.6.1 Epark  SÔnola Sundèsmwn 64

3.6.2 Kanonikèc Morfèc Protˆsewn 70

3.7 Logikˆ Kukl¸mata 73

3.8 Ikanopoi sima SÔnola kai Logikèc Sunèpeiec 77

3.9 Anexˆrthta kai IsodÔnama SÔnola Protˆsewn 82

3.10 Sumperasmatikˆ sq mata 84

4 TUPIKA APODEIKTIKA SUSTHMATA KAI PLHROTH-TA 93 4.1 Ennoiologik  Eisagwg  93

4.2 Axiwmatikˆ Tupikˆ Sust mata 96

4.2.1 To Axiwmatikì Tupikì SÔsthma tou Hilbert 96

4.2.2 'Alla Axiwmatikˆ Tupikˆ Sust mata 100

4.3 H Mèjodoc twn Tamplì   Dèndrwn Al jeiac 101

5 GIA TO JEWRHMA THS SUMPAGIAS 111 5.1 Mia apìdeixh tou Jewr matoc 111

5.2 Merikèc sunèpeiec tou Jewr matoc 113

5.3 Ask seic 116

6 LOGIKH TWN KATHGORHMATWN 119 6.1 Ennoiologik  Eisagwg  119

6.2 H gl¸ssa thc logik c twn kathgorhmˆtwn 121

6.3 EleÔjerec kai desmeumènec emfanÐseic metablht¸n 127

6.4 ParadeÐgmata glwss¸n sta majhmatikˆ 129

6.5 Ask seic 135

7 SHMASIOLOGIA 'H ERMHNEIA THS LOGIKHS TWN KATHGORHMATWN 139 7.1 Orismìc thc al jeiac 139

7.2 Ikanopoi simec protˆseic, tautologÐec 150

7.3 Sullogistikˆ sq mata 154

7.4 Ask seic 157

8 KATASKEUAZONTAS ERMHNEIES 161 8.1 ErmhneÐec pou kataskeuˆzontai apì ìrouc thc gl¸ssac 162

8.2 Kataskeuèc ermhnei¸n apì ˆllec gnwstèc 164

8.3 Ask seic: 173

Kefˆlaio 1

PROKATARKTIKES GNWSEIS

Kefˆlaio 2

LOGIKH TWN PROTASEWN

2.1 Ennoiologik  Eisagwg 

2.1.1 'Enac Orismìc gia th Gl¸ssa

Prin proqwr soume eÐnai anagkaÐo na aposafhnÐsoume kai na oriojet soumeshmasiologikˆ orismènouc ìrouc pou mac eÐnai aparaÐthtoi

Ston ìro gl¸ssa dÐnoume to perieqìmeno enìc sust matoc to opoÐo leÐtai apì trÐa toulˆqiston sÔnola:

apote-a) 'Ena peperasmèno sÔnolo shmeÐwn (  sumbìlwn) to alfˆbhto

To alfˆbhto mporeÐ na apoteleÐtai apì sÔmbola atomikoÔ tÔpoudhlad  kˆje sÔmbolo na eÐnai èna memonwmèno grˆmma,   apì sÔmbolamoriakoÔ tÔpou, dhlad  sunarmogèc atomik¸n sumbìlwn,   akìmh

na eÐnai meÐgma twn dÔo prohgoÔmenwn peript¸sewn Se orismènecpeript¸seic to alfˆbhto den eÐnai peperasmèno EÐnai ˆpeiro allˆ ari-

jm simo

2.1.1 Parˆdeigma To alfˆbhto tou sust matoc arÐjmhshc pou mera eÐnai se qr sh , kai pou apoteleÐ th {gl¸ssa} twn fusik¸n ari-jm¸n:

s -{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

eÐnai èna alfˆbhto atomikoÔ tÔpou Ap autì kataskeuˆzontai oi lèxeic

pou apoteloÔn ta onìmata twn arijm¸n 'Opwc 154, 100059687 k.t.l.

AntÐjeta sto alfˆbhto thc fusik c mac gl¸ssac ta sÔmbola twn ifjìggwn ei, oi, ai ou, metˆ th monof¸nhs  touc èginan sÔmbola atom-

d-3

ikoÔ tÔpou Summetèqoun san na eÐnai èna sÔmbolo, wc sunarmogèc,sto sqhmatismì twn lèxewn.

b) 'Ena peperasmèno sÔnolo kanìnwn sÔntaxhc Oi kanìnec autoÐ, jorÐzoun th seirˆ me thn opoÐa prèpei na tejoÔn ta stoiqeÐa tou alfˆb-htou ¸ste na sugkrotoÔn epitreptèc   kalèc (grammatik¸c orjèc)akoloujÐec sumbìlwn, tic lèxeic (  tic frˆseic, an wc alfˆbhto è-qoume to sÔnolo twn lèxewn thc Ellhnik c gl¸ssac dhlad  èna alfˆb-hto moriakoÔ tÔpou.)

ka-2.1.2 Parˆdeigma SÔmfwna me touc suntaktikoÔc kanìnec tou noÔ sust matoc arÐjmhshc h akoloujÐa 00000013 den eÐnai apodekt ,dhlad  den eÐnai lèxh thc gl¸ssac twn arijm¸n, den dhl¸nei èna arijmì,

shmeri-en¸ h 13, ìpwc kai kˆje ˆllh pou den arqÐzei apì 0, eÐnai EpÐshc sth

fusik  mac gl¸ssa h {aik} den eÐnai kal  en¸ h {kai}, pou apoteleÐtaiapì ta Ðdia sÔmbola, eÐnai

An fantastoÔme to sÔnolo twn lèxewn thc Ellhnik c gl¸ssac, toEllhnikì dhlad  lexilìgio, wc èna moriakoÔ tÔpou alfˆbhto, tìte

me thn efarmog  twn suntaktik¸n kanìnwn èqoume wc apotèlesmagrammatik¸c orjèc akoloujÐec, dhlad  frˆseic, thc ellhnik c Giaparˆdeigma h {to paidÐ pètaxe to tìpi} eÐnai frˆsh AntÐjeta h {topaidÐ pètaxe tou tìpi} den eÐnai frˆsh afoÔ parabiˆzetai ènac shman-tikìc kanìnac sÔntaxhc pou upagoreÔei ìti to antikeÐmeno miac frˆshctÐjetai pˆnta se aitiatik  pt¸sh Prìkeitai gia mia mh grammatikˆswst  akoloujÐa lèxewn

g) 'Ena sÔnolo shmasiologik¸n kanìnwn Oi kanìnec autoÐ apodÐdounshmasÐa se kˆje stoiqeÐo tou alfˆbhtou pou summetèqei sth sug-krìthsh miac frˆshc

EÐnai anˆgkh na diaqwrÐsei kaneÐc tic dÔo diadikasÐec pou emplèkontaied¸:

• Th diadikasÐa thc shmatodìthshc (S), pou se kˆje

shmasÐ-a {σ ∈ S} shmasÐ-antistoiqeÐtshmasÐ-ai ènshmasÐ-a toulˆqiston {s mshmasÐ-a}   lo} {S(σ) ∈ L} H shmasÐa σ, lègetai shmainìmenon   kai shmatodotoÔmenon, to de sÔmbolo S(σ), lègetai shmaÐnon  

{sÔmbo-kai shmatodotoÔn EÐnai bebaÐwc dunatìn se mia shmasÐa naantistoiqoÔn perissìtera tou enìc s mata

• Th diadikasÐa thc shmasiodìthshc (E), ìpou se kˆje

sÔm-bolo   s ma s ∈ L antistoiqeÐ mia shmasÐa   ermnhneÐa E(s) ∈ S.

ậ 2.1 Ennoiologik  Eisagwg  5

Anaforikˆ me aut  th diadikasĐa ja mporoÔse kaneĐc na onomˆsei

to s, shmasiodotoÔmeno, to de E(s), shmasiodotoÔn.

Sqhmatikˆ paristˆnoume tic dÔo antĐstrofec diadikasĐec wc:

Ljj E S ++SMporoÔme na fantastoÔme touc shmasiologikoÔc kanìnec wc dimeleĐcsqèseic apì to sÔnolo twn lèxewn L sto sÔnolo twn shmasiịn S Mia

tètoia sqèsh E paĐrnei mia lèxh x (shmaĐnon) kai thn antistoiqeĐ s èna stoiqeĐo y (shmainìmeno), sugkrotịntac to glwssikì shmeĐo (x, y)

E : L −−→ S // x 7→ E(x) = y

Stic glịssec twn arijmịn pou anafèrame h dimel c aut  sqèsh eĐnaisunˆrthsh kai mˆlista èna proc èna H lèxh dhlad  17 dhlịnei pˆntaton Đdio arijmì pou apoteleĐtai apì mia dekˆda kai eptˆ monˆdec Edị

to sÔnolo twn shmasiịn eĐnai to sÔnolo twn fusikịn arijmịn, enị hshmasiologik  sunˆrthsh perigrˆfetai apì th sqèsh:

f (a n a n−1 a2a1a0) = a n10n + + a2102+ a1101+ a0100

ìpou a i ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Stic fusikèc glịssec, idiaĐtera ìtan autèc jewroÔntai diaqronikˆ,

h antistoĐqhsh aut  den eĐnai èna proc èna H shmasĐa miac

lèxh-c exartˆtai apì th gnwstik  perioq  kai endeqomènwlèxh-c apì ta frazìmena Gia parˆdeigma h lèxh ˆrtioc se èna majhmatikì keĐmenoshmaĐnei fusikìc arijmìc pou diaireĐtai dia tou dÔo enị s èna logote-qnikì keĐmeno shmaĐnei kaloftiagmènoc To fainìmeno autì onomˆzetaipolushmĐa

sum-AxĐzei na anafèroume ìti stic fusikèc glịssec ta shmaĐnonta kai ta ena apoteloÔn èna adiˆspasto ìlo, organikì sustatikì thc {glwssikˆ domh-mènhc nìhshc} To glwssikì shmeĐo, parˆ th sumbatikìthtˆ tou, eĐnai ènaadiˆspasto ìlo, mia dom , me ton Đdio trìpo pou eĐnai adiˆspasto èna mìri-

shmainìm-o nershmainìm-oÔ: ìtan tshmainìm-o nerì diaspasteĐ se udrshmainìm-ogìnshmainìm-o kai shmainìm-oxugìnshmainìm-o, qˆnei ìlec ticidiìthtèc tou, enị gia parˆdeigma sb nei th fwtiˆ, ta prođìnta thc diˆspas ctou thn eunooÔn afoÔ to men udrogìno kaĐgetai, to de oxugìno, me thn ènnoiaìti h kaÔsh den eĐnai tĐpota ˆllo apì thn ènwsh me to oxugìno

'Opwc diapistịnei o Leb Bugkìtski h shmasĐa miac lèxhc eĐnai

tautìqron-a ktautìqron-ai glwssikì ktautìqron-ai nohtikì ftautìqron-ainìmeno To glwssikì loipìn shmeĐo eĐntautìqron-ai mitautìqron-a,

exelissìmenh dom , dialektik  sÔnjesh metaxÔ shmaÐnontoc kai nou:

shmainìme-shmainìmeno −→ ª ←− shmaÐnon

H sunduasmènh efarmog  twn suntaktik¸n kai shmasiologik¸n kanìnwn

pˆ-nw sto lexilìgio, mia kajìlou grammik  diadikasÐa, apoteleÐ mia ulopoÐhsh,mia pragmˆtwsh, thc gl¸ssac To apotèlesma thc pragmˆtwshc aut c eÐnai

o lìgoc Graptìc men eˆn to alfˆbhto eÐnai sÔnolo grafhmˆtwn, forikìc de eˆn to alfˆbhto eÐnai sÔnolo fwnhmˆtwn Ta poiotikˆ qarak-thristikˆ thc diadikasÐac ulopoÐhshc kaj¸c kai tou apotelèsmatoc, dhlad tou lìgou, exart¸ntai apìluta apì to eÐdoc thc gl¸ssac pou ulopoieÐtai Toparapˆnw plaÐsio apoteleÐ analutikì orismì gia tic teqnhtèc gl¸ssec, en¸agkaliˆzei mìno touc treic basikoÔc tomeÐc twn fusik¸n glwss¸n (alfˆbhto,sÔntaxh, shmasiologÐa) af nontac apèxw ˆllouc shmantikoÔc tomeÐc ìpwc hfwnologÐa, h etumologÐa, h orjografÐa k.t.l

pro-To gegonìc ìti to plaÐsio tou orismoÔ pou d¸same parapˆnw apoteleÐanalutikì orismì gia tic teqnhtèc gl¸ssec shmaÐnei ìti an dojoÔn ta trÐaautˆ sÔnola h gl¸ssa eÐnai pl rwc orismènh, en¸ se ìti aforˆ tic fusikècgl¸ssec agkaliˆzei mìno touc treic basikoÔc tomeÐc pou mac endiafèrouned¸

2.1.2 Mia Taxinìmhsh twn Glwss¸n

Oi gl¸ssec anaptÔssontai sth bˆsh thc anˆgkhc gia epikoinwnÐa Ap aut 

th skopiˆ mporoÔme na tic diakrÐnoume se fusikèc, pou eÐnai oi gl¸ssec

oi opoÐec diamorf¸nontai mèsa apì thn anˆgkh gia dianjr¸pinh epikoinwnÐa,autèc dhlad  pou istorikˆ anaptÔqjhkan m èna fusikì trìpo, kai se teqn-htèc, pou eÐnai oi gl¸ssec pou dhmiourgoÔntai apì ton ˆnjrwpo kˆtw apìthn anˆgkh epikoinwnÐac anjr¸pou me th mhqan    mhqan c me mhqan   mer¸n thc Ðdiac mhqan c, ìpwc eÐnai oi gl¸ssec twn upologist¸n

Oi fusikèc gl¸ssec diakrÐnontai se kajomiloÔmenec gl¸ssec , poueÐnai oi gl¸ssec pou qrhsimopoieÐ o ˆnjrwpoc gia dianjr¸pinh epikoinwnÐasta plaÐsia thc kajhmerinìthtac, kai se eidikèc oi opoÐec dhmiourgoÔntaiapì thn anˆgkh katagraf c, epexergasÐac kai antallag c plhrofori¸n pouanafèrontai se mia polÔ sugkekrimènh, suqnˆ austhrˆ orismènh, gnwstik perioq , ìpwc eÐnai ta Majhmatikˆ, h Fusik , h Iatrik , h Nauphgik , k.t.l Exetˆzontac tic aparqèc tou EllhnikoÔ majhmatikoÔ lìgou(?), ton opoÐoprèpei na blèpoume wc ulopoÐhsh thc majhmatik c gl¸ssac, diapist¸noumeìti mia eidik  gl¸ssa diamorf¸netai, sta pr¸ta thc stˆdia, mèsasta plaÐsia thc kajomiloumènhc, me stadiakèc allagèc arqikˆ s-

to sÔsthma twn shmasiologik¸n kanìnwn, en¸ gia tic nèec ènnoiec pou

§ 2.1 Ennoiologik  Eisagwg  7

èrqontai sto fwc eÐnai dunatìn na plˆjontai kai nèec lèxeic gia na tic soun Tètoiec gl¸ssec eÐnai ìlec oi exeidikeumènec episthmonikèc gl¸ssec,ìpwc h gl¸ssa thc Iatrik c, thc BiologÐac, thc Majhmatik c k.t.l

ekfrˆ-AxÐzei na tonÐsoume ìti kaj ìlh th diˆrkeia thc klasik c arqaiìthtac

h eidik  gl¸ssa twn Majhmatik¸n dièjete to Ðdio alfˆbhto kai sÔntaxh me

th kajomiloÔmenh thc epoq c, dièfere mìno wc proc touc shmasiologikoÔckanìnec, oi lèxeic dhlad  eÐqan diaforetikì perieqìmeno Ta sÔmbola wcsuntomografÐec arqikˆ kˆpoiwn lèxewn emfanÐsjhkan polÔ argìtera Hemfˆnis  touc shmatodoteÐ thn allag  kai tou alfˆbhtou kai twn suntak-tik¸n kanìnwn 'Eqoume dhlad  mia akìma megalÔterh diaforopoÐhsh apì

th kajomiloÔmenh H diaforopoÐhsh aut  ègine akìma megalÔterh stic qèc tou ai¸na mac H eisagwg  apì ton Cantor thc ènnoiac tou sunìlousta majhmatikˆ, perÐ ta tèlh tou 19ou ai¸na, ta parˆdoxa pou akoloÔ-jhsan kai h prospˆjeia upèrbashc thc krÐshc pou dhmioÔrghsan, èdwsanìpwc eÐnai gnwstì, megˆlh ¸jhsh sthn anˆptuxh thc majhmatik c logik ckai tou majhmatikoÔ formalismoÔ Mèsa s autì to gìnimo klÐma twn ar-q¸n tou ai¸na mac, h prospˆjeia austhr c oriojèthshc twn ekfrastik¸nmèswn thc majhmatik c gl¸ssac sthn opoÐa enupˆrqoun ìlec oi {adunamÐec}thc kajomiloumènhc apì thn opoÐa proèrqontai, eÐnai ènac apì touc kÔrioucparˆgontec dhmiourgÐac twn {tupik¸n} majhmatik¸n glwss¸n pou èqoun ì-

ar-la ta qarakthristikˆ twn teqnit¸n Glwss¸n kai oi opoÐec eÐnai antikeÐmenomelèthc thc Majhmatik c Logik c

Oi teqnhtèc tèloc gl¸ssec, kataskeuasmènec katˆ kanìna apì ton jrwpo gia polÔ sugkekrimènouc skopoÔc, eÐnai polÔ ftwqèc sugkrinìmenec

ˆn-me tic fusikèc Diajètoun èna polÔ mikrì, sugkritikˆ, arijmì apì tupikoÔckanìnec sÔntaxhc, me ènan toulˆqiston apì touc kanìnec anadromikì, en¸

h shmasiologÐa touc eÐnai austhrˆ oriojethmènh H shmeiosunˆrths  touc,

h apeikìnish dhlad  pou dÐnei perieqìmeno (shmasÐa) stic lèxeic, eÐnai ènaproc èna To diˆgramma thc taxinìmhshc pou proteÐnoume parousiˆzetai stoparakˆtw sq ma

H tupik  majhmatik  gl¸ssa, ìpwc ja doÔme sth sunèqeia, an kai torikˆ èqei prokÔyei apì thn eidik  gl¸ssa twn majhmatik¸n, èqei ta Ðdiaqarakthristikˆ me tic teqnhtèc gl¸ssec, dhlad  tupikoÔc kanìnec sÔntaxh-

is-c shmasiologÐais-c AxÐzei ed¸ na shmei¸soume ìti h fusik  gl¸ssa diajèteimegˆlh ekfrastikìthta allˆ mikr  akrÐbeia, en¸ oi tupikèc-teqnhtèc gl¸ssecèqoun megˆlh akrÐbeia allˆ mikr  ekfrastikìthta H poreÐa apì tic fusikècgl¸ssec stic tupikèc majhmatikèc gl¸ssec kai th majhmatik  logik  skia-grafeÐtai apì to akìloujo sq ma:

Fusik  Gl¸ssa tupopoÐhsh-afaÐresh−−−−−−−−−−−−−−−→ Tupikèc Gl¸ssec

Sq¨ma 2.1: Taxinìmhsh Glwss¸nTupikèc Gl¸ssec −−−−−−−−−−−−−−−→MajhmatikopoÐhsh Majhmatik  Logik Katˆ thn afairetik  diadikasÐa oi dÔo adiˆspastoi pìloi tou dialek-tikoÔ glwssikoÔ shmeÐou entˆssontai se diaforetikoÔc tomeÐc: to {shmaÐ-non} sth sÔntaxh to de {shmainìmeno} sth shmasiologÐa, kai melet¸ntaixeqwristˆ 'Ena axÐwma   je¸rhma mporeÐ na eidwjeÐ apì dÔo skopièc: M-poreÐ na jewrhjeÐ wc mia {grapt  prìtash} pou grˆfetai sto qartÐ   na jew-

r soume thn {shmasÐa} thc prìtashc, to gegonìc dhlad  sto opoÐo tai h prìtash H sÔntaxh kai h shmasiologÐa eÐnai ta dÔo basikˆ mèrh thclogik c me ta opoÐa ja asqolhjoÔme sth sunèqeia H grapt  prìtash eÐnaièna sugkekrimèno antikeÐmeno, en¸ h shmasÐa sun jwc eÐnai mia afhrhmènhmajhmatik  ènnoia 'Etsi melet¸ntac to suntaktikì mèroc proseggÐzoume toafhrhmèno me to sugkekrimèno Wstìso o ap¸teroc stìqoc eÐnai h shmasi-ologÐa, h melèth dhlad  twn majhmatik¸n ennoi¸n MporoÔme dhlad ,

anafère-§ 2.1 Ennoiologik  Eisagwg  9

na meletoÔme tic ènnoiec pou sullambˆnontai kai ekfrˆzontai apì

è-na majhmatikì axiwmatikì sÔsthma, melet¸ntac thn dom  twn {grapt¸nprotˆsewn} pou tupikˆ ekfrˆzoun ta axi¸mata, melet¸ntac dhlad  to an-tÐstoiqo tupikì sÔsthma

'Ena apì ta jaumastˆ fainìmena pou ephreˆzoun ta jemèlia twn matik¸n eÐnai h diapÐstwsh ìti sth gl¸ssa twn majhmatik¸n antanaklˆtai

majh-h dom  pou diajètoun oi {majmajh-hmatikèc ènnoiec} kai epomènwc eÐnai wmènh wc mia dom , pou mporeÐ katˆ sunèpeia na melethjeÐ me majhmatikècmejìdouc To megˆlo er¸thma th logik c eÐnai katˆ pìson h sÔntaxh ek-frˆzei shmasiologÐa!

arjr-Stic tupikèc teqnhtèc gl¸ssec, ìpwc gia parˆdeigma oi gl¸ssec grammatismoÔ, Basic, Pascal, C++, k.t.l h allhlepÐdrash metaxÔ ennoi¸nkai sumbìlwn paÔei na eÐnai zwntan , paÔei sthn ousÐa na upˆrqei ètsi pou

pro-o diaqwrismìc se sÔmbpro-ola kai ènnpro-oiec eÐnai fusipro-olpro-ogikˆ dunatìc me th dpro-om twn ennoi¸n na antanaklˆtai sth dom  thc gl¸ssac H tupik  majhmatik gl¸ssa ja eÐnai antikeÐmeno melèthc thc kathgorhmatik c logik c sto Ke-fˆlaio 3

Sthn pio pˆnw suz thsh upˆrqoun dÔo sugkekrimènec pleurèc pou japrèpei na tonisjoÔn H ènnoia thc {tupopoÐhshc} kai h ènnoia thc {majh-matikopoÐhshc} H tupopoÐhsh èqei pˆntote na kˆnei me ton austhrì ka-jorismì miac {gl¸ssac} sumbìlwn kai mhqanik¸n diadikasi¸n (algorÐjmwn).'Ena tupikì sÔsthma eÐnai èna axiwmatikì sÔsthma, sto opoÐo mporoÔme

na kˆnoume apodeÐxeic pou mporoÔn na elegqjoÔn mhqanikˆ

'Ena tupikì sÔsthma loipìn qondrikˆ, eÐnai to suntaktikì mèroc enìcaxiwmatikoÔ sust matoc kai eÐnai èna eÐdoc {mhqanik c nohmosÔnhc}pou eÐnai dunatìn na sullambˆnei kai na ekfrˆzei, mèsa apì th {dom } twnprotˆsewn thc gl¸ssac, th {shmasÐa} twn ennoi¸n pou sullambˆnei to an-tÐstoiqo majhmatikì axiwmatikì sÔsthma

Apì thn ˆllh meriˆ h {majhmatikopoÐhsh} den eÐnai anagkaÐa èna {tupikìsÔsthma} allˆ eÐnai mia axiwmatik  sÔllhyh thc {dom c} kˆpoiou mèroucmiac {pragmatikìthtac} Sun jwc tètoiec {majhmatikopoi seic} ekfrˆzon-tai s mera   me th qr sh thc sunolojewrÐac (sÔnola, sqèseic, sunart seic,domèc, omomorfismoÐ k.lp.)   me th qr sh thc JewrÐac Kathgori¸n kaibasÐzontai ìlec pˆnw sthn genik  ènnoia tou {axiwmatikoÔ sust matoc}

H majhmatikopoÐhsh tou tupikoÔ sust matoc thc majhmatik c logik c nai akrib¸c h èkfrash twn {glwssik¸n dom¸n} thc tupik c gl¸ssac me

eÐ-th qr sh kajierwmènwn majhmatik¸n dom¸n kai axiwmatik¸n suseÐ-thmˆtwn.EpÐ plèon oi ermhneÐec thc tupik c gl¸ssac gÐnontai ston kìsmo twn majh-matik¸n antikeimènwn Ta axiwmatikˆ sust mata eÐnai to koinì stoiqeÐo twn

tupik¸n kai twn majhmatik¸n susthmˆtwn.

'Otan parousiˆzoume thn majhmatik  logik , prospajoÔme na deÐxoumeìti h tupopoÐhsh mporeÐ na epiteuqjeÐ, allˆ potè den epimènoume sthn pl rhkai austhr  èkjesh thc tupopoÐhshc

2.1.3 Gl¸ssa kai Logik 

Ac skeptìmaste th gl¸ssa wc sÔsthma ìpwc thn èqoume perigrˆyei kai ac

jewr soume ìti gia alfˆbhto èqoume to atomikoÔ tÔpou alfˆbhto A me ta 24

sÔmbola (ta kefalaÐa grˆmmata) kai wc suntaktikoÔc kai shmasiologikoÔckanìnec autoÔc pou eÐnai enswmatwmènoi sto glwssikì mac aisjht rio, kai oiopoÐoi kajorÐzoun th seirˆ me thn opoÐa tÐjentai ta stoiqeÐa tou alfˆbhtougia na d¸soun kalèc akoloujÐec tic lèxeic, anexˆrthta apì to an diajètoume  ìqi analutik  gn¸sh aut¸n twn kanìnwn Mia pragmˆtwsh thc gl¸ssacaut c ja èqei wc apotèlesma to sÔnolo twn lèxewn thc Ellhnik c gl¸ssac,dhlad  to lexilìgio L Thn pragmˆtwsh aut  ja thn onomˆsoume prag-mˆtwsh pr¸tou bajmoÔ

An t¸ra jewr soume wc alfˆbhto to A ∪ L pou eÐnai èna alfˆbhto

mo-riakoÔ tÔpou, kai wc sÔnolo kanìnwn sÔntaxhc kai shmasiologÐac autoÔcpou pˆli diajètoume sto glwssikì mac aisjht rio kai pou mac kajorÐzoun

th seirˆ me thn opoÐa tÐjentai oi lèxeic gia na d¸soun grammatik¸c jèc akoloujÐec dhlad  frˆseic, tìte h pragmˆtwsh aut c thc gl¸ssac den

or-ja eÐnai tÐpote ˆllo apì to sÔnolo twn frˆsewn Φthc ellhnik c gl¸ssac.Krat¸ntac thn prohgoÔmenh orologÐa thn ulopoÐhsh aut  ja prèpei na thnonomˆsoume pragmˆtwsh deutèrou bajmoÔ

MporoÔme t¸ra na jèsoume to ex c er¸thma: Me alfˆbhto to A ∪ L ∪ Φ

eÐnai dunat  mia pragmˆtwsh trÐtou bajmoÔ? EÐnai fanerì pwc nai 'Omwcpoioc eÐnai o qarakt rac twn suntaktik¸n kanìnwn Ti mac upagoreÔei thseirˆ me thn opoÐa ja tejoÔn oi frˆseic ¸ste na d¸soun apodektèc akoloujÐec

Ac exetˆsoume kˆpoia paradeÐgmata Ac upojèsoume ìti, sqediˆzoume ènafantastikì senˆrio gia na anoÐxoume mia suz thsh gia touc kÔknouc kai ìtidiatup¸noume dÔo eisagwgikèc frˆseic tic:

ϕ1 : Briskìmaste sthn ˆkrh thc lÐmnhc

ϕ2 : 'Enac katˆleukoc kÔknoc èpese fterougÐzontac sto nerì

H seirˆ me thn opoÐa ja ekfèroume tic dÔo frˆseic eÐnai profan¸c ϕ1ϕ2kai

ì-qi ϕ2ϕ1ektìc kai lìgoi logoteqnikoÔ Ôfouc epibˆloun mia tètoia antistrof thc seirˆc Oi dÔo frˆseic apoteloÔn mèroc miac di ghshc h opoÐa perigrˆfei

§ 2.1 Ennoiologik  Eisagwg  11

kˆpoia gegonìta pou sunèbhsan se kˆpoia mikr  perioq  thc tac Ta gegonìta autˆ sunèbhsan me mia seirˆ h opoÐa upobˆlei kai th ro tou afhghmatikoÔ lìgou, dhlad  th seirˆ ekforˆc twn frˆsewn

pragmatikìth-'Omwc giatÐ kˆnoume anaforˆ se lÐmnh, giatÐ dhlad  epilègoume wc jesÐa th lÐmnh kai ìqi thn koruf  tou OlÔmpou? H epilog  aut  èqei gÐnei mebˆsh èna polÔ sugkekrimèno kanìna ton opoÐo èqoume aujìrmhta efarmìsei.Tìso aujìrmhta, dhlad  qwrÐc analutik  skèyh, ìso aujìrmhta èqoume jè-

topo-sei th lèxh lÐmnh sth ϕ1 se genik  pt¸sh kai ìqi se aitiatik  O kanìnacèqei leitourg sei sta plaÐsia enìc sullogismoÔ pou èqei pragmatopoihjeÐsto bˆjoc thc skèyhc mac wc ex c:

−'Ola ta antikeÐmena pou eÐnai kÔknoi zoun kontˆ se nerì

− To antikeÐmenì mac(autì sto opoÐo jèloume na anaferjoÔme) eÐnai kÔknoc

−O kÔknoc mac zei kontˆ se nerì

Shmei¸ste ìti h orizìntia gramm  ston pio pˆnw sullogismì shmaÐnei tìte,  ˆra,   opìte, paÐzei genikˆ to rìlo enìc sumperasmatikoÔ sundèsmou, miaclèxhc dhlad  pou tÐjetai mprostˆ apì mia frˆsh gia na deÐxei pwc h frˆshaut  eÐnai to apotèlesma enìc sullogismoÔ

H leitourgÐa tou Ðdiou logikoÔ kanìna upagoreÔei to qarakthrismì leukìc

(  katˆleukoc gia èmfash) sth ϕ2:

−'Ola ta antikeÐmena pou an koun sth klˆsh twn kÔknwn eÐnai leukˆ

−To antikeÐmenì mac eÐnai kÔknoc

−O kÔknoc mac eÐnai leukìc

To sullogistikì autì sq ma melet jhke, mazÐ me ˆlla, gia pr¸th forˆ apìton Aristotèlh ston opoÐo ofeÐletai to klassikì parˆdeigma:

−'Oloi oi ˆnjrwpoi eÐnai jnhtoÐ

−O Swkrˆthc eÐnai ˆnjrwpoc

−O Swkrˆthc eÐnai jnhtìc

Thc Ðdiac morf c eÐnai kai to:

−'Ola ta pthnˆ eÐnai sarkofˆga

−To gerˆki eÐnai pthnì

−To gerˆki eÐnai sarkofˆgo

Apì ta dÔo teleutaÐa to men pr¸to den proxeneÐ kamiˆ amfibolÐa, kˆti pouden isqÔei gia to deÔtero, afoÔ nai men To gerˆki eÐnai sarkofˆgo den eÐnaiìmwc swstì ìti 'Ola ta pthnˆ eÐnai sarkofˆga.

Se mia genik  diatÔpwsh o kanìnac autìc eÐnai:

− 'Ola ta antikeÐmena pou an koun sto A eÐnai B

An kai ja eÐmaste se jèsh na exetˆsoume analutikˆ tètoia paradeÐgmataafoÔ doÔme orismèna stoiqeÐa apì thn protasiak  logik , ja anafèroume ènatètoio parˆdeigma Pìte kˆpoioc eÐnai se jèsh na diatup¸sei tic frˆseic:

EÐnai mèra 'Eqei fwcqwrÐc na upˆrqei perÐptwsh na diayeusteÐ? Fusikˆ ìtan th stigm  pou ticdiatup¸nei eÐnai mèra Poia eÐnai ìmwc h antanˆklash tou gegonìtoc au-toÔ sth diadikasÐa ekforˆc twn frˆsewn aut¸n kai me aut  th seirˆ? Ed¸leitourgeÐ èna sumperasmatikì sq ma1, to ex c:

−Eˆn eÐnai mèra tìte èqei fwc

−EÐnai mèra

−'Ara èqei fwc

Autì shmaÐnei pwc eÐnai gnwstì apì thn anjr¸pinh empeirÐa kai

adiamfis-b thto ìti pˆnta ìtan eÐnai mèra èqei fwc Opoted pote loipìn kˆpoioc mac

1 to sq ma eÐnai èna apì ta pènte sumperasmatikˆ sq mata ta opoÐa eÐqan sei oi StwðkoÐ filìsofoi, oi pr¸toi sthn istorÐa thc anjr¸pinhc skèyhc pou melèthsan potè tètoiou eÐdouc sq mata kai ton trìpo na bgˆzoume swstˆ sumperˆsmata To pro- hgoÔmeno parˆdeigma sullogismoÔ oi StwðkoÐ to diatÔpwnan: {eÊ tä prÀton, tä deÔteron;

melet -‚ll€ m˜n tä prÀton; tä Šra deÔteron.}

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 13

diabebai¸sei ìti eÐnai mèra tìte abÐasta kai aujìrmhta bgaÐnei to

sumpèras-ma ìti èqei fwc

An sumbolÐsoume tic protˆseic pou emfanÐzontai ed¸ me grˆmmata: Thn

{eÐnai mèra} me to A, kai thn {èqei fwc} me to B, tìte to sq ma ekfrˆzetai

wc:

A → B, A B

Opoiesd pote kai na eÐnai oi protˆseic A kai B, anexˆrthta dhlad  apì tic shmasÐec twn A kai B, to sq ma autì eÐnai pˆnta swstì, pou shmaÐnei pwc prìtash B eÐnai logik  sunèpeia,   sumpèrasma twn A → B kai A.

H logikìc sullogismìc (h ousÐa thc Logik c) loipìn eÐnaisÔmfutoc me th gl¸ssa, kai basÐzetai sthn tupik -suntaktik morf  twn protˆsewn, me ton Ðdio akrib¸c trìpo pou h gram-matik  kai to suntaktikì eÐnai sÔmfuta me th fusik  gl¸ssa,kai ekfrˆzoun tic {swstèc} apì suntaktik c kai grammatik capìyewc protˆseic

H logik  xekÐnhse,  lje dhlad  sto prosk nio thc istorÐac, wc diereÔnhshthc skèyhc se sunˆrthsh me th glwssik  èkfrash Sugkekrimèna kai ta dÔofilosofikˆ reÔmata thc klasik c arqaiìthtac, o Aristotèlhc dhlad  kai oiPeripathtikoÐ apì th mia kai oi StwðkoÐ me to QrÔsippo apì thn ˆllh, poueÐnai oi patèrec thc Logik c, epiqeÐrhsan na sugkrot soun mia jewrÐa gia

th dialektik −gia thn tèqnh dhlad  thc suz thshc− kai dhmioÔrghsan thn

pr¸th Kathgorhmatik  kai Protasiak  Logik  antÐstoiqa

Parˆllhla h glwssik  epist mh diereunˆ th gl¸ssa kai to lìgo sesunˆrthsh me th skèyh pou ekfrˆzetai

2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn

2.2.1 Frˆsh, Prìtash, Tim  al jeiac miac Prìtashc

O ˆnjrwpoc sunennoeÐtai, epikoinwneÐ me touc sunanjr¸pouc tou me th jeia katall lwn sunìlwn apì lèxeic Ta sÔnola autˆ eÐnai domhmè-

bo -na sÔmfwbo -na me touc grammatiko-suntaktikoÔc kanìnec thc gl¸ssac allˆ

kai sÔmfwna me logikoÔc kanìnec ìpwc sth prohgoÔmenh parˆgrafo èqoumesuzht sei H mikrìterh akoloujÐa apì lèxeic h opoÐa apoteleÐtai apì ènaonomatikì kai èna rhmatikì sÔntagma, to lème atomik  frˆsh (  perÐodo).Prìkeitai gia ekeÐno to kommˆti lìgou pou oi filìlogoi onomˆzoun prìtash:

O Swkrˆthc eÐnai sofìc

Ta dÔo basikˆ sustatikˆ thc frˆshc eÐnai to onomatikì sÔntagma (to lesma dhlad  miac diadikasÐac sÔntaxhc pou èqei axÐa onìmatoc) kai torhmatikì sÔntagma Sth pio pˆnw frˆsh eÐnai: To {O Swkrˆthc}, eÐnai

apotè-to onomatikì sÔntagma kai apotè-to: {eÐnai sofìc} apotè-to rhmatikì

H frˆsh, apì shmasiologik  skopiˆ, eÐnai to mikrìtero kommˆti lìgou

me autotelèc perieqìmeno (  shmasÐa)

Oi frˆseic anˆloga me to perieqìmenì touc, diakrÐnontai se matikèc, prostaktikèc, apofantikèc, jaumastikèc, k.t.l Sto sÔno-

erwth-lo twn frˆsewn, ìpwc mia erwthmatik  frˆsh ekfrˆzei mia er¸thsh, miaprostaktik  frˆsh ekfrˆzei mia prostag , mia euktik  frˆsh ekfrˆzei miaeuq    mia epijumÐa k.t.l ètsi kai mia apofantik  (  dhlwtik ) frˆshekfrˆzei mia prìtash Protˆssei autì pou endeqomènwc sumbaÐnei

An to gegonìc pou dhl¸netai sumbaÐnei tìte lème ìti h frˆsh lèei thn

al jeia ,   ìti h antÐstoiqh prìtash eÐnai shmasiologikˆ alhj c, an densumbaÐnei lème ìti eÐnai yèma,   yeud c h antÐstoiqh prìtash Proc to parìnmac arkeÐ h diaisjhtik  aut  perigraf  twn ennoi¸n {al jeia} kai {yeÔdoc}.2.2.1 Parˆdeigma 1) {O arijmìc x eÐnai ˆrtioc kai pollaplˆsio tou 3}

H akoloujÐa aut  eÐnai mÐa frˆsh

2) {3 ˆrtioc x tou kai o eÐnai arijmìc pollaplˆsioi}

H akoloujÐa aut  den eÐnai frˆsh, giatÐ oi lèxeic pou thn zoun den èqoun tejeÐ se mia seirˆ problepìmenh apì touc grammatiko-suntaktikoÔc kanìnec, den eÐnai {domhmènh} sÔmfwna me touc kanìnecthc gl¸ssac

apartÐ-3) {To trÐgwno enìc tetrag¸nou eÐnai diairèthc tou 3}

H akoloujÐa aut  den frˆsh, giatÐ en¸ akoloujeÐ touc tupikoÔc tikoÔc kanìnec, apoteleÐtai apì èna onomatikì sÔntagma to {To trÐg-wno enìc tetrag¸nou} kai èna rhmatikì to {eÐnai diairèthc tou 3}, ag-noeÐ entel¸c touc shmasiologikoÔc kanìnec, den ekfrˆzei loipìn kˆpoionìhma

suntak-§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 15

4) {Gia kˆje pragmatikì arijmì x, (x + 1)2 = x2+ 2x + 1}

H akoloujÐa aut  eÐnai mÐa frˆsh thc Majhmatik c Gl¸ssac IdoÔ kaimerikˆ akìmh paradeÐgmata frˆsewn :

5) {Upˆrqei ènac toulˆqisto fusikìc arijmìc x megalÔteroc tou 10}

6) {To qiìni eÐnai maÔro kai o ouranìc eÐnai katagˆlanoc}

7) {'Ena apì ta biblÐa tou Kazantzˆkh èqei tÐtlo Kapetˆn Miqˆlhc,ˆra oKapetˆn Miqˆlhc eÐnai ènac  rwac mujistor matoc}

8) {O fusikìc arijmìc x eÐnai pollaplˆsio tou fusikoÔ arijmoÔ 100}

9) {Eˆn taxidèyw, tìte ja sac apoqairet sw}

10) {'Ena trÐgwno eÐnai isog¸nio, mìno an eÐnai isìpleuro}

11) {To qiìni eÐnai maÔro}

12) {O arijmìc 14 eÐnai ˆrtioc}

'Otan meletˆme thn arijmhtik  eÐnai polÔ bolikì na sumbolÐzoume ta tikeÐmena ta opoÐa jèloume na melet soume me grˆmmata, tou EllhnikoÔ  LatinikoÔ, alfˆbhtou 'Etsi h diatÔpwsh tou kanìna:

an-{To tetrˆgwno tou ajroÐsmatoc dÔo opoiwnd pote fusik¸n arijm¸n eÐnaiÐso me to ˆjroisma twn tetrag¸nwn twn arijm¸n aut¸n, sun to diplˆsioginìmenì touc}

me th bo jeia thc gl¸ssac thc arijmhtik c, grˆfetai:

a-Ja sumbolÐzoume loipìn me grˆmmata kai mˆlista ta kefalaÐa tou hnikoÔ alfˆbhtou tic aploÔsterec protˆseic 'Ena grˆmma dhlad , èstw to

Ell-A, ja sumbolÐzei mia prìtash dhlad  to perieqìmeno kˆpoiac apofantik cfrˆshc pou den xèroume poia eÐnai oÔte mac endiafèrei Autì gia to opoÐo

Sq¨ma 2.2: Sqhmatik  anaparˆstash tou (a + b)2 = a2+ b2+ 2ab

eÐmaste bèbaioi eÐnai ìti aut  h prìtash èqei dÔo dunatìthtec na eÐnai

al -jeia (α)   na eÐnai yèma (ψ) To grˆmma A dhlad  mporeÐ na pˆrei dÔo timèc,

me ton Ðdio trìpo pou to grˆmma x sth sumbolik  gl¸ssa thc arijmhtik c twn jetik¸n akeraÐwn mporeÐ na pˆrei mia apì tic timèc 0, 1, 2, 3, 4, EÐnai loipìn kai to A mia metablht  kai mˆlista mia protasiak  metablht  dhlad  A ∈ {α, ψ} Tic dÔo timèc α kai ψ tic lème timèc al jeiac  

alhjotimèc

Upˆrqoun ìmwc kai apofantikèc frˆseic gia tic opoÐec den eÐnai dunatìn

na apant soume an to gegonìc pou dhl¸noun eÐnai alhjinì   ìqi, ìpwc eÐnai

h apìfansh:

To pl joc twn asteri¸n eÐnai perittìMia tètoia apìfansh den ekfrˆzei mia prìtash Tic apofˆnseic autèc ticlème ˆdhlec2

2 Ton ìro autì ton eÐqan qrhsimopoi sei pr¸toi oi StwðkoÐ Tic ˆdhlec tic exairoÔsan apì to logismì twn protˆsewn pou eÐqan oikodom sei.

H anˆlush eÐnai sumbat  me th jewrÐa touc, gia thn al jeia kai to yèma ta opoÐa, ìpwc upost rizan eÐnai qarakthristikˆ pou den apodÐdontai stic diatupwmènec frˆseic (ta shmaÐnonta), pou eÐnai ulikˆ prˆgmata, oÔte sta prˆgmata   sta gegonìta, allˆ sta lektˆ (ta shmainìmena) kai mˆlista ìqi se ìla allˆ mìno sta axi¸mata (dhlad  stic protˆseic):

{perÐ tÄ shmainomènú tì ‚lhjèc te kaÐ yeÜdoc Ípest santo én de ‚s¸maton, ¹sper to shmainìmenon prgma, kaÐ lektìn, íper ‚lhjèc te gÐnetai ¢ yeÜdoc.} [S.E 8.11.3-8.12.9] Upˆrqoun ìmwc kai axi¸mata, suneqÐzei o Sèxtoc Empeirikìc, gia thn al jeia   to yèma twn opoÐwn den mporoÔme na apofanjoÔme, ta opoÐa onìmazan ˆdhla ìpwc to: {‚rtÐouc eÚnai toÔc ‚stèrac kaÐ tì perissoÔc}

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 17

Upˆrqoun akìma apofantikèc frˆseic oi opoÐec opoud pote kai an wjoÔn kai otid pote ki an sumbaÐnei sto peribˆllon mèsa sto opoÐo diatup¸non-tai, qwrÐc prìsjeth plhrofìrhsh mporoÔme abÐasta na apofanjoÔme an oiantÐstoiqec protˆseic eÐnai alhjeÐc   ìqi Prìkeitai gia tic tautologÐec thcmorf c: aÔrio ja brèxei   aÔrio den ja brèxei, (sun jwc diatup¸netai: aÔrio

diatup-ja brèxei   den diatup-ja brèxei) pou eÐnai pˆnta alhjeÐc kai tic arn seic touc poueÐnai pˆnta yeudeÐc kai lègontai antilogÐec ìpwc h: eÐnai lˆjoc ìti aÔrio jabrèxei   aÔrio den ja brèxei pou diatup¸netai aÔrio den ja brèxei kai aÔrio jabrèxei

2.2.2 SÔndesmoi, Protˆseic kai PÐnakec AlhjeÐac

('Atuph perigraf ) To mikrìtero kommˆti lìgou to opoÐo apoteleÐtai apì ènaonomatikì kai èna rhmatikì sÔntagma to lème atomik  frˆsh Apì shmasi-ologik  ˆpoyh eÐnai to mikrìtero kommˆti lìgou pou èqei èna oloklhrwmènonìhma, ekfrˆzei dhlad  èna aplì gegonìc Tètoiec eÐnai oi frˆseic sta pa-

radeÐgmata 4, 5, 8, 11 kai 12 pou sunant same parapˆnw, kaj¸c kai oi: {o 2

eÐnai pr¸toc arijmìc}, {eÐnai mèra}, Se orismèna ˆlla paradeÐgmata ìpwc

ta 1, 6, 7, 9 kai 10 oi frˆseic apartÐzontai apì atomikèc frˆseic pou eÐnai

sundedemènec metaxÔ touc me orismènouc sundèsmouc Oi frˆseic autèc eÐnaisÔnjetec frˆseic

Kat analogÐa loipìn ja lème atomik  prìtash autì pou ekfrˆzetaiapì mia atomik  frˆsh kai ja to sumbolÐzoume me èna kefalaÐo grˆmma

tou ellhnikoÔ alfˆbhtou, A, B, G, D, A1, A2, en¸ sÔnjeth prìtash  aplˆ prìtash ja lème mia akoloujÐa pou qtÐzetai apì atomikèc protˆseicsundedemènec metaxÔ touc me thn bo jeia twn sundèsmwn kai sÔmfwna mekˆpoiouc austhroÔc kanìnec pou ja exetˆsoume sth sunèqeia Ta sÔmbola

twn atomik¸n protˆsewn A, B, G, D, A1, A2, ja ta lème protasiakècmetablhtèc   protasiakˆ sÔmbola3

Oi sÔndesmoi den eÐnai ˆlloi apì touc sundèsmouc pou qrhsimopoieÐ hfusik  mac gl¸ssa gia na sundèei apofantikèc frˆseic MerikoÐ ap autoÔc

oi pio sunhjismènoi, dhl¸nontai apì tic lèxeic   sunarmogèc lèxewn kai,  ,an tìte, an kai mìno an ,     , kai to ìqi gia thn ˆrnhsh

'Opwc eisˆgame sÔmbola gia tic protˆseic, ja eisˆgoume epÐshc kai bola gia touc sundèsmouc En¸ ja mporoÔsame na poÔme ìti an èqoume

sÔm-dÔo protˆseic thn A kai thn B tìte ja mporoÔme na sumbolÐzoume me {A

3 Ta arijmhtikˆ prÀton, deÔteron, trÐton emfanÐzontai wc sÔmbola metablht¸n sth Logik  twn Stwðk¸n O Sèxtoc ìmwc èqei dias¸sei kai mia diatÔpwsh thc arq c thc tautìthtac ìpou qrhsimopoieÐtai h antwnumÐa täde wc metabol : {eÊ tìde, tìde} [S.E 8.276.5]

kai B} thn sÔnjeth prìtash pou prokÔptei apì autèc ìtan sundejoÔn me

to kai, protimoÔme na qrhsimopoioÔme kai gia to kai èna sÔmbolo afoÔ hlèxh kai tairiˆzei kalÔtera metaxÔ apofantik¸n frˆsewn kai ìqi metaxÔ touperieqomènou twn frˆsewn aut¸n Ja eisˆgoume loipìn èna sÔmbolo giakajèna apì touc logikoÔc sundèsmouc, to opoÐo ja shmatodoteÐ kai ja an-tanaklˆ th leitourgÐa kai to suntaktikì touc perieqìmeno sth fusik  gl¸s-sa

'Etsi gia ton kai ja qrhsimopoioÔme to sÔmbolo ∧

gia ton   ja qrhsimopoioÔme to sÔmbolo ∨

gia ton an .tìte ja qrhsimopoioÔme to sÔmbolo →

gia ton an kai mìno an ja qrhsimopoioÔme to sÔmbolo ↔

kai gia ton ìqi (  den, mh) ja qrhsimopoioÔme to sÔmbolo ¬

Parakˆtw mazÐ me autoÔc touc sumbolismoÔc twn sundèsmwn, ja

sum-bolÐzoume me A thn prìtash {eÐnai mèra} en¸ me B thn {èqei fwc} Kˆje

tètoioc sÔndesmoc mporeÐ na jewrhjeÐ ìti sumbolÐzei mia logik  prˆxh mèsasto sÔnolo twn protˆsewn:

• {∧} pou sumbolÐzei thn prˆxh thc logik c sÔzeuxhc:

{eÐnai mèra} kai {èqei fwc} sumbolikˆ: (A ∧ B) (ekfwneÐtai: ˆlfa kai

b ta)

• {∨} pou sumbolÐzei thn prˆxh thc logik c diˆzeuxhc:

{eÐnai mèra}   {èqei fwc} sumbolikˆ: (A ∨ B) (ekfwneÐtai: ˆlfa   b ta)

• { → } pou sumbolÐzei thn prˆxh thc logik c sunepagwg c:

an {eÐnai mèra} tìte {èqei fwc} sumbolikˆ: (A → B) (ekfwneÐtai:

ˆlfa sunepˆgetai b ta)

• { ↔ } pou sumbolÐzei thn prˆxh thc logik c isodunamÐac:

{eÐnai mèra} an kai mìno an {èqei fwc} sumbolikˆ: (A ↔ B)

(ek-fwneÐtai: ˆlfa isodunameÐ me b ta)

• {¬} pou sumbolÐzei thn prˆxh thc logik c ˆrnhshc:

den {eÐnai mèra} sumbolikˆ: (¬A) (ekfwneÐtai: ìqi ˆlfa)

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 19

Sthn anˆptuxh pou ja akolouj soume stic shmei¸seicautèc, ja jewroÔme gnwstèc orismènec basikèc majhmatikècènnoiec ìpwc sÔnolo, sunˆrthsh, sqèsh, prˆxh mèsa sèna sÔnolo, dom , pou eÐnai èna sÔnolo efodiasmèno me prˆx-eic  /kai sqèseic, omomorfismìc ktl

An sumbolÐsoume me P to sÔnolo twn protˆsewn, eÐte autèc eÐnai aplèc

eÐte eÐnai sÔnjetec, tìte o sÔndesmoc thc logik c sÔzeuxhc ∧ wc prˆxh, eÐnai mia dimel c prˆxh, dhlad  mia sunˆrthsh apì to P × P sto P :

∧ : P × P → P // (A, B) 7→ (A ∧ B) Gia to lìgo autì o ∧ lègetai dimel c sÔndesmoc Me ˆlla lìgia to sÔmbo-

lo ∧ eÐnai èna sÔmbolo dÔo jèsewn, mia dexiˆ kai mia aristerˆ pou

katalam-bˆnontai apì protˆseic To Ðdio akrib¸c sumbaÐnei kai gia touc upìloipouc

sundèsmouc ∨, → , ↔ ,   opoiod pote ˆllo dimel  sÔndesmo, ìpwc gia

parˆdeigma to apoklistikì   Ja doÔme argìtera ìti upˆrqoun akrib¸c 16tètoioi sÔndesmoi Genikˆ ènac dimel c sÔndesmoc eÐnai mia dimel c prˆxh4

wc ex c:

2 : P × P → P // (A, B) 7→ (A2B) ìpou 2 ∈ { ∧, ∨, → , ↔ , }

H ˆrnhsh eÐnai mia monomel c prˆxh mèsa sto sÔnolo P twn protˆsewn,dhlad  mia sunˆrthsh apì to P sto P :

¬ : P −−→ P // A 7→ ¬A

Dhlad  paÐrnei mia prìtash kai thn stèlnei se mia nèa pou den eÐnai ˆllh

apì thn ˆrnhs  thc Gia to lìgo autì o sÔndesmoc ¬ eÐnai ènac monomel c sÔndesmoc Me ˆlla lìgia to sÔmbolo ¬ eÐnai èna sÔmbolo miac jèshc, dexiˆ,

h opoÐa katalambˆnetai apì prìtash

Me tic prˆxeic pou anafèrame parapˆnw kataskeuˆzontai oi sÔnjetec5

protˆseic

4 AfoÔ to P orÐzetai, ìpwc ja doÔme, anadromikˆ, eÐnai fanerì ìti kai autoÔ tou eÐdouc

oi prˆxeic ja prèpei na orisjoÔn epÐshc anadromikˆ.

5 Oi sÔnjetec protˆseic, melet jhkan gia pr¸th forˆ sthn istorÐa thc Logik c apì touc StwðkoÔc kai orÐsthkan wc ta mh aplˆ axi¸mata ta opoÐa apoteloÔntai apì dÔo   perissìtera axi¸mata kai sundèsmouc   kai apì èna mìno axÐwma to opoÐo epanalambˆne-

To er¸thma to opoÐo eÐnai t¸ra endiafèron na exetˆsoumekai na apant soume eÐnai h al jeia   to yeÔdoc miac sÔn-jethc prìtashc ìtan eÐnai gnwst  h al jeia   to yeÔdoc twnprotˆsewn pou thn apartÐzoun Me ˆlla lìgia h tim  al jeiac,  ìpwc sunoptikˆ lème, h alhjotim  mia sÔnjethc prìtashcìtan eÐnai gnwstèc oi alhjotimèc twn protˆsewn pou summetè-qoun sthn kataskeu  thc.

I H ˆrnhsh

Ac exetˆsoume arqikˆ p¸c leitourgeÐ h ˆrnhsh sth fusik  mac gl¸ssa,sto epÐpedo dhlad  twn apofˆnsewn Ac doÔme orismèna paradeÐgmata:13) {eÐnai mèra} H ˆrnhsh thc eÐnai h {den eÐnai mèra}

14) {eÐnai anammèno to fwc} H ˆrnhsh thc eÐnai h {den eÐnai anammèno tofwc}

15) {eÐnai maÔro to qiìni} H ˆrnhsh thc eÐnai h {den eÐnai maÔro to qiìni}16) {to qiìni eÐnai maÔro} H ˆrnhsh thc eÐnai h {to qiìni den eÐnai maÔro}  

{eÐnai lˆjoc ìti to qiìni eÐnai maÔro}

17) {O arijmìc 14 eÐnai ˆrtioc} H ˆrnhs  thc eÐnai h {O arijmìc 14 den eÐnai

tai kai sundèsmouc [S.E 8.108.5] O Diogènhc o Laèrtioc anafèrei wc mh aplˆ

axi¸ma-ta {tì sunhmmènon} (sunepagwg ) {tì sumpeplegmènon} (sÔzeuxh) {tì diezeugme'non} (diˆzeuxh) kai akìma {tì parasunhmmènon}, {tì aÊtiÀdec}, {tì diasafoÜn tì mllon}, kai {tì dasafoÜn tì ©ton} Sto logismì twn Stwðk¸n emfanÐzontai mìno ta trÐa pr¸ta.

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 21

{ìloi oi mh emboliasmènoi arr¸sthsan}

ja  tan h,

{ìloi oi mh emboliasmènoi den arr¸sthsan}

Me ˆlla lìgia

{kaneÐc mh emboliasmènoc den arr¸sthse}

'Omwc h ˆrnhsh thc arqik c mac apìfanshc eÐnai ìti:

{eÐnai lˆjoc ìti ìloi oi mh emboliasmènoi arr¸sthsan}

{kˆpoioi mh emboliasmènoi pou den arr¸sthsan}

EÐnai profanèc loipìn ìti den arkeÐ h ˆrnhsh miac apìfanshc na pleonˆzeiaplˆ thc apìfanshc katˆ èna arnhtikì mìrio, ja prèpei to arnhtikì mìrio

na tÐjetai sthn arq  thc apìfanshc, na protˆssetai thc apìfanshc, ìpwc

akrib¸c problèpei h leitourgÐa tou ¬ wc monomeloÔc prˆxhc:

¬ : P → P // A 7→ ¬A

An èqoume mia apofantik  frˆsh pou dhl¸nei èna gegonìc pou sumbaÐnei,

gia parˆdeigma thn frˆsh {eÐnai mèra}, tìte h prìtash A pou ekfrˆzei h

apo-fantik  aut  frˆsh eÐnai al jeia H ˆrnhs  thc, {den eÐnai mèra} dhl¸nei

to antÐjeto tou prohgoÔmenou gegonìtoc, èna gegonìc dhlad  pou den

sum-baÐnei, ˆra h prìtash pou ekfrˆzei eÐnai h {ìqi A} kai eÐnai yeud c AfoÔ

ìmwc èqoume deqjeÐ ìti ˆllh dunatìthta apì autèc tic dÔo den upˆrqei eÐnaifanerì ìti an mia prìtash eÐnai alhjin  tìte h ˆrnhs  thc eÐnai yèma kai an

eÐnai yèma tìte h ˆrnhsh thc eÐnai al jeia 'Etsi h (ìqi(ìqiA)) lèei ìti kai h

A Thn parat rhsh aut  thn eÐqan kˆnei oi StwðkoÐ6  dh apì ton trÐto ai¸nap.Q

6 SÔmfwna me touc StwikoÔc h ˆrnhsh miac prìtashc (antikeÐmenon axÐwma) tai mìno me thn topojèthsh enìc arnhtikoÔ morÐou (oÔk, ouqÐ) mprostˆ apì th prìtash: {ítan m˜ yilÀc tä éteron toÜ átèrou ‚pofˆsei pleonˆzù ‚ll ítan ™ ‚pìfasic protˆtth- tai toÜ ‚xi¸matoc} [S.E 8.90.8] Mia tètoia prìtash lègetai apofatikìn axÐwma H perÐptwsh thc prìtashc me enswmatwmènh katˆ diˆforouc trìpouc thn ˆrnhsh, analÔetai

Sth kajhmerin  zw  to {kai}, wc logik  sÔzeuxh, emfanÐzetai metaxÔfrˆsewn pou èqoun kˆpoia nohmatik  sqèsh   nohmatik  suggèneia, metaxÔtouc Autì den eÐnai aparaÐthto sthn tupik  perÐptwsh Ed¸ eÐnai kajìlanìmimh h sÔzeuxh: {eÐnai mèra} kai {o 7 eÐnai ˆrtioc}.

ExÐsou nìmimh eÐnai kai h sÔzeuxh miac prìtashc me thn ˆrnhs  thc, ìpwcsthn perÐptwsh {aÔrio den ja brèxei} kai {aÔrio ja brèxei} Genikˆ an èqoume

mia opoiad pote prìtash thn A h sÔzeuxh (A kai (ìqi A)) eÐnai mia kajìla

nìmimh sÔnjeth prìtash kai mˆlista mia prìtash pˆnta yeud c, dhl mia

antilogÐa To {pˆnta} ed¸ shmaÐnei opoiad pote kai na eÐnai h prìtash A

I H diˆzeuxh

H diˆzeuxh xeqwrÐzei, (dia-stèllei) ta gegonìta me to Ðdio trìpo pou

h sÔzeuxh ta en¸nei, ètsi to nèo gegonìc jewreÐtai wc mh meno mìno an kanèna apì ta antidiastel¸mena gegonìta den pragmatopoieÐ-tai: {aÔrio ja brèxei}   {aÔrio ja qionÐsei}

pragmatopoioÔ-H diˆzeuxh miac prìtashc me thn ˆrnhs  thc, eÐnai mia epÐshc nìmimhprìtash ìpwc sthn perÐptwsh {aÔrio ja brèxei}   {aÔrio den ja brèxei}

Genikˆ an èqoume mia opoiad pote prìtash thn A, h diˆzeuxh (A   (ìqi A))

eÐnai mia kajìla nìmimh sÔnjeth prìtash kai mˆlista mia prìtash pˆntaalhj c, mia tautologÐa dhlad  To pˆnta, kai pˆli ed¸, shmaÐnei opoiad pote

kai na eÐnai h prìtash A

Sqìlio:

H parat rhsh ìti oi protˆseic thc morf c,

(A kai (ìqi A)) kai (A   (ìqi A))

epÐshc diexodikˆ: Eˆn to axÐwma apoteleÐtai apì èna arnhtikì mìrio kai to kathgìrhma ìpwc to {oÎdeÐc peripateØ}, lègetai arnhtikì, en¸ an apoteleÐtai apì sterhtikì onomatikì sÔntagma kai to kathgìrhma, ìpwc {‚filˆnjrwpìc âstin oÞtoc}, lègetai sterhtikì O nìmoc thc dipl c ˆrnhshc (uperapofatikìn axÐwma) touc eÐnai epÐshc gnwstìc 'Omwc gia to jèma autì o Sèxtoc den anafèrei tÐpota en¸ o Diogènhc o Biogrˆfoc dÐnei swstì orismì: {Íperapofetikän d âstÈn ‚pofatikän ‚pofatikoÜ}.

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 23

èqoun stajer  tim  al jeiac, h men pr¸th yèma kai h de deÔterh al jeia,

anexˆrthta apì to poia eÐnai kai ti lèei h prìtash A,, shmaÐnei ìti oi

pro-tˆseic autèc eÐnai stajerèc 'Etsi thn men pr¸th pou eÐnai antilogÐa ja thn

sumbolÐzoume me ⊥, en¸ th deÔterh pou eÐnai tautologÐa ja th sumbolÐzoume

me >.

I H sunepagwg 

H sunepagwg  ekfrˆzetai sth neoellhnik  gl¸ssa eÐte apì to tikì sunepˆgetai eÐte apì th perÐfrash an ,tìte , eÐte me kˆpoia apì ticpollèc akìma sun¸numec ekfrˆseic pou upˆrqoun Sth fusik  mac loipìngl¸ssa me tic E1, E2na sumbolÐzoun apofˆnseic pou dhl¸noun gegonìta pousundèontai metaxÔ touc apì mia aitiak  sqèsh, h èkfrash eÐnai:

E1 eÐnai ikan  sunj kh gia E2

E2 eÐnai anagkaÐa sunj kh gia E1

Upìjesh: E1, sumpèrasma: E2

sth jèsh de tou an endeqìmena na sunantoÔme to eˆn

Ac doÔme orismèna paradeÐgmata:

18) {Eˆn anèbei h jermokrasÐa, to dwmˆtio ja eÐnai zestì}

19) {Eˆn o Arqim dhc genn jhke to 285 kai pèjane to 210 p.Q., èzhse 75qrìnia}

20) {Eˆn o Arqim dhc genn jhke to 280 kai pèjane to 210 p.Q., èzhse 70qrìnia}

21) {An to autokÐnhto tou drˆsth eÐnai asfalismèno, thn apozhmÐwsh toujÔmatoc ja thn plhr¸sei h asfˆleia}

Sthn kajomiloÔmenh ta duo gegonìta sqetÐzontai metaxÔ touc me miaaitiak  sqèsh Prìkeitai gia th fusik  sunepagwg  sthn opoÐa h upìjeshkai to sumpèrasma èqoun mia qronik  diadoq  mh antistrèyimh: gia na eÐnaialhj c prèpei upoqrewtikˆ na sumbeÐ (na alhjeÔsei) h upìjesh kai an autìgÐnei tìte ja sumbeÐ kai to sumpèrasma Gia parˆdeigma:

22) {Eˆn stamat sei h kardiˆ tìte epèrqetai moiraÐa o jˆnatoc}

Ed¸ h qronik  bajmÐda eÐnai anagkaÐa: pr¸ta prèpei na pragmatopoihjeÐ todhloÔmeno apì thn upìjesh (to aÐtio) na stamat sei dhlad  h kardiˆ kaiqronikˆ usterìtera na sumbeÐ to dhloÔmeno apì to sumpèrasma na epèljei

o jˆnatoc

Sth logik  sunepagwg  autì den eÐnai aparaÐthto Endeqìmena oi E1, E2

na eÐnai apofˆnseic pou dhl¸noun gegonìta pou den sundèontai metaxÔ touc

me aitiak , sqèsh allˆ aplˆ apì logik  sqèsh Ed¸ h qronik  bajmÐda eÐnaianÔparkth:

23) {An mia gwnÐa enìc trig¸nou eÐnai oxeÐa, tìte to ˆjroisma twn dÔo ˆllwneÐnai megalÔtero apì 90 moÐrec}

24) {An ènac arijmìc diaireÐtai dia 2, tìte diaireÐtai dia 4}

25) {An ènac arijmìc den diaireÐtai dia 2, tìte den diaireÐtai dia tèssera}.'Otan h pr¸th frˆsh, h upìjesh (E1), dhl¸nei èna gegonìc pou sumbaÐnei tìte

h ìlh sÔnjeth frˆsh an E1 tìte E2 antapokrÐnetai sta prˆgmata mìno sthperÐptwsh pou kai h deÔterh, to sumpèrasma (E2), dhl¸nei èna gegonìc pou

sumbaÐnei An t¸ra sumbolÐsoume me σ1 th prìtash pou ekfrˆzei h E1 kai

me σ2 th prìtash pou ekfrˆzei h E2 tìte h prìtash σ1 → σ2 eÐnai alhjin .'Otan h pr¸th frˆsh (E1), dhl¸nei èna gegonìc pou den sumbaÐnei tìteden mporeÐ kaneÐc na isquristeÐ gia ìlh th sÔnjeth frˆsh an E1, tìte E2 ìtiden antapokrÐnetai sta prˆgmata, anexˆrthta apì to ti gÐnetai me to gegonìcpou dhl¸netai apì th deÔterh frˆsh, to sumpèrasma (E2) Ac exetˆsoume giaparˆdeigma thn (25); eÐnai istorikì gegonìc ìti to bˆrbaro qèri tou RwmaÐoustrati¸th èkoye to n ma thc zw c tou Arqim dh sta 75 qrìnia tou H deÔterhloipìn frˆsh dhl¸nei èna gegonìc pou sumbaÐnei To perieqìmeno thc pr¸thcìmwc den antapokrÐnetai sta istorikˆ gegonìta afoÔ o Megˆloc gn¸sthcgenn jhke to 287 p.Q kai dolofon jhke katˆ thn ˆlwsh twn Surakous¸n

to 212 p.Q KaneÐc den mporeÐ wstìso na qarakthrÐsei wc ˆtoph kai yeud olìklhrh th frˆsh aut  Anˆloga kai gia thn (26) kaneÐc den mporeÐ naisquristeÐ ìti eÐnai antifatik  kai yeud c, eÐnai logikìtath parìlo pou kai h

E1, kai h E2 dhl¸noun gegonìta pou den sumbaÐnoun Gia na eÐmaste loipìnsumbatoÐ me th koin  logik , me th logik  dhlad  thc kajhmerin c gl¸ssac

jewroÔme pwc h sunepagwg  σ1 → σ2 eÐnai yeud c mìno sthn perÐptwsh pou

h pr¸th σ1 eÐnai alhj c kai h deÔterh σ2 yeud c Epeid  wc prìtupì maceÐnai kÔria h majhmatik  praktik  diatÔpwshc apofˆnsewn sullogism¸n kaiapodeÐxewn, ja d¸soume dÔo parˆdeigma apì ta majhmatikˆ

Pr¸to parˆdeigma: Mia polÔ sunhjismènh morf  apofˆnsewn stamajhmatikˆ eÐnai thc morf c:

Gia kˆje pragmatikì arijmì x, an x > 0 tìte x 1/2 ∈ R

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 25

KaneÐc den amfibˆlei, sÔmfwna me th sun jh majhmatik  praktik , ìti

opoiad -pote tim  ki an pˆrei to x h prìtash:

p : (x > 0) → (x 1/2 ∈ R)

eÐnai alhj c

Ac exetˆsoume tic timèc 1, 0, −1 An x = 1, tìte h x > 0 eÐnai alhj c, ìpwc epÐshc kai h x 1/2 ∈ R Sthn prìtash p loipìn èqoume to sunduasmì (al jeia, al jeia), − dhlad  al jeia sunepˆgetai al jeia−, kai kaneÐc den amfisbhteÐ sthn perÐptwsh aut  thn al jeia olìklhrhc thc p.

An x = 0, tìte h x > 0 eÐnai yeud c, en¸ h x1/2 ∈ R paramènei

alhj -c Opìte kai gia to sunduasmì (yèma, al jeia), dhlad  yèma sunepˆgetai

al jeia, h p paramènei alhj c.

An t¸ra x = −1, h x > 0 eÐnai pˆli yeud c, allˆ kai h x 1/2 ∈ R

eÐ-nai epÐshc yeud c, ˆra kai gia to sunduasmì (yèma, yèma), −dhlad  yèma sunepˆgetai yèma−, h p eÐnai alhj c.

AfoÔ ìmwc ènac pragmatikìc arijmìc   eÐnai jetikìc   arnhtikìc   mhdèn,

ˆllh perÐptwsh den upˆrqei, dhlad  o sunduasmìc (al jeia, yèma), −dhlad 

al jeia sunepˆgetai yèma−, den emfanÐzetai potè, kai afoÔ o sunduasmìc autìc eÐnai o monadikìc pou ja èkane yeud  thn p, h p eÐnai pˆnta alhj c.

Mèsa, loipìn sta plaÐsia thc sun jouc majhmatik c praktik c h

sunepag-wg  jewreÐtai alhj c se ìlouc touc dunatoÔc sunduasmoÔc ektìc apì tosunduasmì (al jeia, yèma)

DeÔtero parˆdeigma: : Lème ìti to kenì eÐnai uposÔnolo opoioud potesunìlou, dhlad :

Gia kˆje X, ∅ ⊆ X

Apì poÔ sunˆgetai autì?

SÔmfwna me ton orismì tou uposunìlou, to sÔnolo X eÐnai uposÔnolo tou Y ann kˆje stoiqeÐo tou X eÐnai kai stoiqeÐo tou Y :

Mia sÔnjeth prìtash pou perièqei th sunepagwg , lègetai kai aplˆ epagwg    kai upojetik  prìtash (an E1, tìte E2) h E1, lègetai upìjeshen¸ h E2 sumpèrasma   jèsh.

sun-I H Logik  IsodunamÐa   dipl  sunepagwg    Disunepagwg 

H logik  isodunamÐa,   disunepagwg    dipl  sunepagwg , ekfrˆzetaisth neoellhnik  gl¸ssa eÐte apì to monolektikì {isodunameÐ} eÐte apì thperÐfrash {an kai mìno an} eÐte me kˆpoia apì tic pollèc akìma sun¸numecekfrˆseic pou upˆrqoun Sth fusik  mac loipìn gl¸ssa me tic E1, E2 nasumbolÐzoun apofˆnseic pou dhl¸noun gegonìta h èkfrash eÐnai:

E1 isodunameÐ E2  

E1 an kai mìno an E2 E1 ean kai mìno ean E2 E1sunepˆgetai

E2 kai antistrìfwc

E1 sunep¸c E2 kai antistrìfwc

E1 katˆ sunèpeia E2 kai antistrìfwc

E1 eÐnai ikan  kai anagkaÐa sunj kh gia E2

E1 prèpei kai arkeÐ E2

H logik  isodunamÐa eÐnai alhj c kˆje forˆ pou kai oi dÔo sumballìmeneceÐnai alhjeÐc   kai oi dÔo yeudeÐc

2.2.2 Ask seic 1. Diatup¸ste tic arn seic twn frˆsewn 12, 12, 8, 6, 5, 9.

2 Gia kˆje mia apì tic parakˆtw frˆseic breÐte thn ˆrnhs  thc kai diatup¸ste analutikˆ mia frˆsh pou na èqei to Ðdio perieqìmeno me thn ˆrnhsh aut :

i ) To sÔnolo X èqei toulˆqiston 5 stoiqeÐa

ii ) To sÔnolo X èqei to polÔ 5 stoiqeÐa

iii ) To 2 eÐnai kai ˆrtioc kai pr¸toc

iv ) AfoÔ xy = 0 ˆra x = 0   y = 0

v) An to x eÐnai perittìc tìte to x2 + 1 eÐnai pr¸toc

vi) O NÐkoc ja pˆrei glukì   o K¸stac ja pˆrei froÔto

vii) 'H o NÐkoc ja pˆrei glukì   o K¸stac ja pˆrei froÔto

iix) An to trÐgwno ABG eÐnai isìpleuro, ta Ôyh tou eÐnai diqotìmoi kai

diˆme-soi.

ix) 'H to trÐgwno ABG eÐnai isìpleuro   eÐnai isog¸nio

3 Grˆyte me sÔmbola tic protˆseic twn apofˆnsewn (iii), (iv), (v), (vi), (vii), (viii), kai (ix) thc 'Askhshc 2.

§ 2.2 StoiqeÐa apì ton Logismì twn Protˆsewn 27

4 Grˆyte sumbolikˆ kˆje mia apì tic parakˆtw sÔnjetec apofˆnseic, afoÔ sumbolÐsete me èna grˆmma tic aplèc apofˆnseic pou tic sunjètoun:

i) An oi eujeÐec ²1kai ²2eÐnai kˆjetec sthn ² tìte eÐnai metaxÔ touc

parˆllh-lec.

ii) An o x eÐnai rhtìc kai o y ˆrrhtoc, tìte o x + y eÐnai ˆrrhtoc.

iii ) An h z thsh paramènei stajer  kai oi timèc auxhjoÔn, tìte o tzÐroc ja pèsei.

iv ) To ˆjroisma dÔo fusik¸n arijm¸n eÐnai ˆrtio an kai mìno ˆn kai oi dÔo eÐnai ˆrtioi   kai oi dÔo perittoÐ.

v ) Gia na eÐnai to ˆjroisma dÔo fusik¸n arijm¸n perittìc prèpei kai arkeÐ

o ènac apì touc dÔo prosjetèouc na eÐnai ˆrtioc kai o ˆlloc perittìc.

vi ) Oi gwnÐec thc bˆshc tou trig¸nou ABG eÐnai Ðsec, katˆ sunèpeia to trÐgwno ABG eÐnai isoskelèc, kai antistrìfwc.

vii) AfoÔ o y eÐnai akèraioc ˆra o z den eÐnai pragmatikìc, opìte o x eÐnai

rhtìc.

iix) AfoÔ an eÐnai mèra tìte èqei fwc kai eÐnai mèra, ˆra èqei fwc.

ix) S autì to spÐti mènei o NÐkoc   o Giˆnnhc, endeqìmena kai oi duì x) Mia ikan  allˆ ìqi anagkaÐa sunj kh ¸ste èna trÐgwno na qwrÐzetai

se dÔo isoskel  trÐgwna eÐnai mia gwnÐa tou na eÐnai triplˆsia kˆpoiac

ˆllhc.

xi ) Eˆn mia apì tic bˆseic enìc trapezÐou eÐnai diplˆsia thc ˆllhc, tìte, kai mìno tìte, h diˆmesìc tou triqotomeÐtai apì tic diag¸nièc tou.

xii ) Ta trapèzia ABGD kai EZHJ eÐnai Ðsa ìtan èqoun tic bˆseic touc mÐa

proc mÐa Ðsec kai tic diag¸nièc touc mÐa proc mÐa Ðsec.

xiii) Oi diqotìmoi dÔo efex c paraplhrwmatik¸n gwni¸n eÐnai kˆjetec metaxÔ touc, kai antÐstrofa.

5 Diatup¸ste thn ˆrnhsh kˆje miac apì ti parakˆtw apofˆnseic:

i ) O arijmìc 10 10− 1den eÐnai pr¸toc.

ii ) O dÔo eÐnai ˆrtioc kai pr¸toc.

iii ) Ta sÔnola A kai B eÐnai kenˆ.

iv) Ta sÔnola A kai B eÐnai xèna.

v) An taxidèyw ja sac apoqairet sw.

vi) An o x eÐnai perittìc tìte o x2 + 1 eÐnai pr¸toc.

vii) AfoÔ xy = 0, ˆra x = 0   y = 0.

iix) Oi gwnÐec thc bˆshc tou trig¸nou ABG eÐnai Ðsec en¸ den eÐnai isoskelèc

to trÐgwno ABG.

ix) To ˆjroisma dÔo fusik¸n arijm¸n eÐnai ˆrtio, an kai mìno an, oi dÔo arijmoÐ eÐnai ˆrtioi   kai oi dÔo perittoÐ.

x) An to traÐno èljei stic 9, esÔ na me perimèneic, kai an èljei stic 10 esÔ pˆli na me perimèneic.

xi ) EÐte to traÐno èljei tic 9, eÐte èljei stic 10, esÔ na me perimèneic 'Estw ìti k, p kai r sumbolÐzoun alhjinèc protˆseic en¸ h t mia yeud  ProsdiorÐste thn al jeia   to yèma kˆje miac apì tic parakˆtw sÔnjetec protˆseic:

i ) (π kai κ )kai τ

ii ) π kai (κ kai τ)

iii ) An π tìte τ

iv ) An τ tìte (π kai %)

v ) An (τ kai %) tìte (π kai τ)

vi ) (π sunepˆgetai τ) an kai mìno an τ

vii) An π tìte (κ isodunameÐ me (% sunepˆgetai t)

iix) An π tìte κ, kai an τ tìte pˆli κ, isodunameÐ me, eÐte π eÐte τ tìte κ.

§ 2.3 H Gl¸ssa thc Protasiak c Logik c 29

frˆzoun thn antilogÐa (⊥), dhlad  th prìtash pou eÐnai pˆnta yeud c, kai thn tautologÐa (>), dhlad  th prìtash pou eÐnai pˆn-

ta alhj c

• MonomeleÐc SÔndesmoi: O1 := { ¬ },kai tèloc oi,

• DimeleÐc SÔndesmoi   sÔndesmoi dÔo jèsewn:

O2 := { ∧, ∨, → , ↔ }

'Etsi oi sÔnesmoi eÐnai to sÔnolo,

O := O0∪ O1∪ O2= { ⊥, >, ¬, ∧, ∨, → , ↔ }

(A3) : Ta sÔmbola stÐxhc, pou eÐnai h parènjesh pou anoÐgei h parènjesh

pou kleÐnei kai to kìmma: (, ), kai pollèc forèc kai oi tetrˆgwnec agkÔlec, [, ].

Ta pio pˆnw sÔnola (A1), (A2), (A3) upotÐjetai pˆnta ìti eÐnai xèna metaxÔtouc

Telikˆ to alfˆbhto thc protasiak c logik c eÐnai to akìloujo sÔnolo:

A :=P0∪ O ∪ {(, ), [, ], , }

b) H SÔntaxh thc Protasiak c Logik c [  Anadromikìc Orismìc twnProtˆsewn (AOP)]

O anadromikìc orismìc tou sunìlou P twn protˆsewn, basÐzetai stoucakìloujouc treic suntaktikoÔc kanìnec, pou kajorÐzoun poiec peperasmènecakoloujÐec sumbìlwn (sumboloseirèc) apì to alfˆbhto apoteloÔn protˆseickai poiec ìqi:

(AO0) Ta protasiakˆ sÔmbola kai oi logikèc stajerèc ⊥, >, eÐnai protˆseic,

ètsi,

P0∪ { ⊥, > } ⊆P(AO1) An % kai σ eÐnai protˆseic7 tìte protˆseic eÐnai kai oi:

roÔmenouc wc prˆxeic epÐ tou P (kanìnac (AO1), kai perièqoun to sÔnolo twnatomik¸n protˆsewn, P0,(kanìnac (AO0).

Sth sunèqeia ja d¸soume pio kataskeuastikì trìpo sqhmatismoÔ tou

sunìlou P , apì ta sustatikˆ tou P0 kai {¬, ∧, ∨, → , ↔ } Ac d¸soume ìmwc pr¸ta merikˆ parˆdeÐgmata sumboloseir¸n pou an koun sto P , kai

merik¸n pou den an koun

2.3.2 Parˆdeigma Oi parakˆtw akoloujÐec sumbìlwn apì to alfˆbhtothc protasiak c logik c A eÐnai protˆseic:

(¬A)

(A ∧ (¬A))

((A ↔ G) → G)

7Ta sÔmbola %, σ den an koun sthn gl¸ssa thc protasiak c logik c, allˆ eÐnai

sÔm-bola thc metagl¸ssac, pou ed¸ eÐnai h Ellhnik , kai sumbolÐzoun sumboloseirèc thc gl¸ssac thc protasiak c logik c H qr sh twn metaglwssik¸n aut¸n sumbìlwn eÐnai

exairetikˆ bolik , afoÔ antÐ na grˆfoume p.q ((A ↔ G) → ((¬D) ∨ (A ∧ B))) jètoume

% := ((A ↔ G) → ((¬D)∨(A∧B))) kai sth sunèqeia qrhsimopoioÔme thn metaglwssik  metablht  %.

§ 2.3 H Gl¸ssa thc Protasiak c Logik c 31

EÐnai fanerì ìti h ulopoÐhsh twn parapˆnw suntaktik¸n kanìnwn mporeÐ

na parˆgei, na d¸sei, mia atomik  apì to (S1)   mia sÔnjeth prìtash, apì

to (S2) to opoÐo mporeÐ na efarmosteÐ ìsec forèc jèloume Kˆje tètoiamonadik  efarmog  ja th lème b ma, en¸ to sunolikì arijmì twn bhmˆtwnpou apaitoÔntai gia th kataskeu  miac prìtashc ja th lème m koc thc prì-tashc

'Etsi h prìtash ((A ↔ G) → G) èqei m koc 2, ìpwc kai h (A ∧ (¬A)), en¸ h ((¬(¬(¬A))) → A)) èqei m koc 4.

2.3.3 Sqìlio Ac doÔme t¸ra ènan enallaktikì orismì tou epagwgikoÔ

sunìlou P , pou eÐnai pio kataskeuastikìc kai jumÐzei polÔ thn kataskeu 

twn fusik¸n arijm¸n N PrÐn ìmwc ja eisˆgoume ènan qr simo sumbolismì

'Estw X èna sÔnolo protˆsewn, tìte orÐzoume to sÔnolo X+wc akoloÔjwc:

X+ :=8{ % 2 σ | %, σ ∈ X kai 2 ∈ O2} ∪ {¬% | % ∈ X }

'Etsi to X+ eÐnai to sÔnolo twn tÔpwn pou dhmiourgeÐtai an {kleÐsoume} to

X wc proc touc logikoÔc sundèsmouc tou O2 kai tou O1.

Ac doÔme t¸ra ta b mata sqhmatismoÔ tou sunìlou P sugkrÐnontˆc tatautìqrona me ta b mata sqhmatismoÔ tou sunìlou twn fusik¸n arijm¸n N

8 To sÔmbolo := shmaÐnei Ðsa ex orismoÔ

FusikoÐ ArijmoÐ ⇔ ProtasiakoÐ TÔpoi

Ta dÔo basikˆ b mata kataskeu c tou eÐnai ta ex c:

{to elˆqisto sÔnolo pou perièqei èna dosmèno sÔnolo (p.q to P0) kai

eÐnai kleistì wc proc kˆpoiec dosmènec prˆxeic (p.q tic {¬, ∧, ∨, → , ↔ }})

H idiomorfÐa twn epagwgik¸n sunìlwn, ìpwc gia parˆdeigma to N, tatai sto gegonìc ìti kˆje sunˆrthsh pou ja jel soume na orÐsoumepˆnw s autˆ ja prèpei epÐshc na oristeÐ anadromikˆ, me ton Ðdiodhlad  trìpo

sunÐs-2.3.4 Sqìlio (i) EÐnai loipìn fanerì ìti kˆje prìtash ϕ, èqei mÐa kai

mìno apì tic parakˆtw dunatìthtec:

§ 2.3 H Gl¸ssa thc Protasiak c Logik c 33

1 H ϕ eÐnai mia protasiak  metablht  (èna protasiakì sÔmbolo).

2 ϕ = (¬σ) ìpou σ eÐnai mia prìtash.

3 ϕ = (σ1∧ σ2) ìpou σ1 kai s2 eÐnai protˆseic

4 ϕ = (σ1∨ σ2) ìpou σ1 kai σ2 eÐnai protˆseic

5 ϕ = (σ1 → σ2) ìpou σ1 kai σ2 eÐnai protˆseic

6 ϕ = (σ1 ↔ σ2) ìpou σ1 kai σ2 eÐnai protˆseic

Epiplèon oi σ1kai σ2eÐnai monos manta orismènec stic peript¸seic 3, 4, 5,

H diadikasÐa kataskeu c miac opoiasd pote prìtashc (h sÔntax c thc) mporeÐ

na perigrafeÐ apì èna {dendrodiˆgramma} to suntaktikì (  genealogikì)dèntro thc prìtashc pou gia kˆje prìtash eÐnai monadikì

Gia parˆdeigma to suntaktikì dèntro thc ((A ↔ G) → (B ∧ G)) eÐnai

To suntaktikì dèntro mporeÐ na anaparastajeÐ kai: Me aut  th morf 

to suntaktikì dèntro anaparistˆ ton trìpo me to opoÐo arqÐzontac apì taprotasiakˆ sÔmbola, parˆgoume mia prìtash akolouj¸ntac ton AnadromikìOrismì twn Protˆsewn

'Opwc èqoume  dh anafèrei to sÔnolo twn protˆsewn pou parˆgontai meautìn ton trìpo den eÐnai ˆllo apì to sÔnolo twn protˆsewn thc protasiak clogik c to opoÐo sumbolÐzoume me P Me P0 sumbolÐsoume ta protasiakˆsÔmbola, pou eÐnai m kouc mhdèn kai antiproswpeÔoun tic aplèc protˆseic,

me P1 ìlec tic protˆseic m kouc 1, me P2 ìlec tic protˆseic m kouc 2, me

P3 ìlec tic protˆseic m kouc 3, ktl Tìte to P eÐnai:

kataskeu-èna H diadikasÐa kataskeu c eÐnai dunatìn na epanalhfjeÐ ìsec forèc toepijumoÔme 'Etsi sÔnjetec protˆseic eÐnai kai oi:

¬(A ∧ B), ¬(¬A), ((A ∨ B) ∧ (A ∨ B))

pou qreiˆzontai dÔo b mata sthn kataskeu  touc 'Opwc kai oi:

((¬A) ↔ (A ∨ B)), ((A → B) ∨ (A ↔ B)), ((A ∧ B) → (A ∨ B)), ((A ∨ B) ↔ (A ↔ B))

pou qreiˆzontai 3 b mata sthn kataskeu  touc, k.t.l

To m koc loipìn miac prìtashc den eÐnai ousiastikˆ tÐpota ˆllo apì mia

apeikìnish µ:

µ : P → N // σ 7→ µ(σ) ìpou µ(σ) eÐnai o elˆqistoc fusikìc n tètoioc ¸ste σ ∈ P n

Oi tÔpoi pou an koun sto Pn èqoun m koc mikrìtero   Ðso tou n, oi de

tÔpoi pou an koun sto sÔnolo:

Pn+1 −Pn:=P+

n èqoun m koc akrib¸c n + 1.

O anadromikìc orismìc tou sunìlou twn protˆsewn P , sunepˆgetai kai to epagwgikì trìpo apìdeixhc isqurism¸n sqetikˆ me to P An loipìn jèloume

na apodeÐxoume ìti ìlec oi protˆseic thc protasiak c logik c, ìla dhlad  tastoiqeÐa tou P , èqoun kˆpoia sugkekrimènh idiìthta, arkeÐ na apodeÐxoumeìti opoiod pote m koc kai na èqei h prìtash plhroÐ thn idiìthta aut  Japrèpei me ˆlla lìgia na kˆnoume epagwg  sto m koc twn pro-tˆsewn Autì praktikˆ shmaÐnei ìti prèpei na akolouj soume ta b mata

S0 kai S1 tou anadromikoÔ orismoÔ twn protˆsewn kai na apodeÐxoume ìtiotid pote parˆgetai apì autˆ ta b mata èqei thn idiìthta pou suzhtˆme Me

ˆlla lìgia afoÔ to P eÐnai kataskeuasmèno wc epagwgikì sÔnolo, mporoÔme

na diatup¸soume mia arq  epagwg c gia tic protˆseic wc ex c: