Các mô hình không gian trạng thái * Phơng trình trạng thái: Là một dạng mô hình toán học mô tả hệ thống, thể hiện đặc tính động học của hệ thống đợc thể hiện qua các biến trạng thái x1t,
Trang 1Chơng iii
Không gian trạng thái
(6 tiết) Trạng thái ( State): Trạng thái là một phần nhỏ nhất
3.1 Các mô hình không gian trạng thái
* Phơng trình trạng thái: Là một dạng mô hình toán học mô tả hệ thống, thể hiện đặc tính động học của hệ thống đợc thể hiện qua các biến trạng thái x1(t), x2(t), , xn(t) bên trong hệ thống
Để hiểu trạng thái hệ thống là gì ta có ví dụ sau:
- Điều khiển động cơ: Tín hiệu ra của động cơ là tốc độ quay, ngoài ra còn có những thông số khác của động cơ mà trong quá trình hoạt động có dao động và ảnh hởng
đến cả quá trình làm việc của động cơ Những yếu tố này cũng cần đợc quan tâm trong thiết kế bộ điều khiển của động cơ nh: gia tốc động cơ, sự tổn hao năng lợng
- Điều khiển cần cẩu: Bên cạnh quãng đờng mà hàng đợc cẩu đi ngời thiết kế cần quan tâm tốc độ vận chuyển, độ lắc của hàng trong quá trình vận chuyển
Vậy khái niệm trạng thái đợc hiểu rộng hơn khái niệm tín hiệu ra Nếu đã là tín hiệu
ra thì phải trực tiếp đo đợc ( nhờ các thiết bị đo), còn ở biến trạng thái thì không nh vậy Mà chỉ có thể xác định biến trạng thái thông qua tín hiệu đo đợc khác
* Xét hệ thống:
Hệ thống có:
m: tín hiệu vào u(t)
r: tín hiệu ra y(t)
* Không gian trạng thái:
Một hệ thống có r tín hiệu vào u1(t), u2(t), u3(t) ur(t)
m tín hiệu ra: y1(t), y2(t), y3(t) ym(t)
Xác định n biến trạng thái: x1(t), x2(t) xn(t)
Vậy hệ thống đợc mô tả bởi phơng trình không gian trạng thái nh sau:
x (t)=
1
. f1(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t)
. ( )=
t
x n fn(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t)
Đại lợng ra:
y1(t) = g1(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t)
ym(t) = gm(x1, x2, , xn; u1, u2, , ur; t)
=
(t)
x.
(t)
x
.
.
.
(t)
x
(t)
x
n
.
2
.
1
.
f(x, u, t) =
t)
; u , , u , u
; x , , x , (x f
t)
; u , , u , u
; x , , x , (x f
t)
; u , , u , u
; x , , x , (x f
r 2 1 n 2 1 n
r 2 1 n 2 1 2
r 2 1 n 2 1 1
Phơng trình trạng thái:
. ( )=
t
x f(x, u, t)
y(t) = g(x, u, t)
Hoặc dới dạng ma trận:
. ( )=
t
x A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)
Trang 2+ +
D(t)
C(t) A(t)
dt
.
+ +
u(t) y(t) k
b m
m
k b
u(t)
y(t)
Sơ đồ khối:
3.1.1 Các mô hình không gian trạng thái và các phơng trình vi phân
Trớc tiên xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Xây dựng mô hình toán của hệ thống
lò xo- trọng khối- giảm chấn nh hình vẽ
u(t) là lực tác động vào hệ thống,
y(t) là lợng di chuyển của hệ thống
K: Độ cứng của lò xo
B: Hệ số giảm chấn
Giải:
Để thành lập đợc mô hình toán của hệ thống ta cần
vận dụng đợc định luật II Newtơn và nguyên lý
di chuyển khả dĩ,
Ta coi u(t) là tác động vào hệ thống
Y(t) là đáp ứng của hệ thống
Theo định luật II Newtơn ta có phơng trình chuyển động của hệ thống là: k.y(t) u(t)
dt
dy(t) b.
dt
y(t)
d
m. 2 2 + + = (1)
Đặt:
x1(t) = y(t)
x2(t) =
dt
dy(t)
x (t)=
1
.
dt
dy(t) = x2(t)
x (t)=
2
.
2
2 dt
y(t)
m
1 (t) k.x (t) x m
b
1
−
Vậy phơng trình trạng thái dạng ma trận là:
=
(t)
(t)
x
(t)
x
2
.
1
.
=
−
−
m
b
k
1 0
x
x 2
1 +
m 1
u
y(t) = [ 1 0]
x
x 2 1 Các ma trận hệ số của không gian trạng thái:
−
−
m
b
k
1
0
; B =
m 1
; C= [ 1 0]; D = 0
Ví dụ 2:
Xây dựng mô hình toán của hệ thống sau:
Trang 3k1
b
m2
x2
U(t) di chuyển của cả hệ so với mặt đất ( tín hiệu vào hệ thống) Tại t = 0 tốc độ di chuyển của xe là không đổi, u.(t)=const
Y(t) là di chuyển so với thân xe của hệ thống ( Tín hiệu ra)
B: Hệ số giảm chấn
K: Độ cứng của lò xo
Theo định luật II Newtơn: F = m a
Đối với vật m:
) k.(y(t) - u(t))
dt
du(t) dt
dy(t) b.(
dt
y(t)
d
dt
du(t) b.
k.y(t) dt
dy(t) b.
dt
y(t)
d
2
+
= +
+
Biến đổi Laplace hai vế phơng trình trên ta có:
( m.s2 + b.s + k) Y(s) =( b s + k) U(s)
Hàm truyền đạt:
G(s) =
U(s)
Y(s) =
k b.s m.s
k b.s
2 + +
+
Xây dựng mô hình không gian trạng thái:
Từ phơng trình vi phân:
m
k dt
du(t) m
b y(t) m
k dt
dy(t) m
b dt
y(t)
d
2
2
+
= +
+
Đặt các biến trạng thái:
x1 = y(t)
x2 =
dt
t
dy )( -
m
b u(t)
=
1
.
x x2 +
m
b u(t)
=
2
.
x -
m
b x2 -
m
k x1 + [
m
k + (
m
b )2].u(t) Vậy phơng trình trạng thái:
=
(t)
(t)
x
(t)
x
2
.
1
.
=
−
−
m
b
1 0
m
x
x 2
1 +
+ ( ) 2
m
b
m k
m
b
.u(t)
y(t) = [ 1 0]
x
x 2 1
Ví dụ 3:
Trang 4Flx 1 Flx 21
Fb 1
Flx 22
Fb 2
x1
u(t)
m1
Fb 2
Flx 22
Fb 1
Flx 21
m2
x2
Flx 3
Cho hệ thống nh hình vẽ với k1, k2, k3 là các hệ số lò xo 1, 2, 3
m1, m2 Khối lợng
b: hệ số giảm chấn
x1, x2 dịch chuyển của m1 và m2
u(t) lực tác động lên hệ thống
Xét lực tác dụng lên từng vật:
Flx1 = k1 x1
Flx21 = k2 x1
Flx22 = k2 x2
Fb1 = b
1
.
x
Fb2 = b
2
.
x
Theo định luật II Newton ta có phơng trình vi phân mô tả chuyển động của vật:
m1
1
x = -k1 x1 – k2( x1 – x2) – b.(
1
.
x
-2
.
x ) + u Xét vật II:
Theo định luật II Newton ta có phơng trình vi phân:
m2
2
x = -k3 x2 – k2( x2 – x1) – b.(
2
.
x -1
.
x )
Từ 2 phơng trình trên ta có:
m1
1
x + k1 x1 + k2 x1 + b
1
.
x = k2.x2+ b
2
.
x + u (3.1)
m2
2
x + k3 x2 + k2 x2 + b
2
.
x = k2x1 + b
1
.
x (3.2) Biến đổi Laplace 2 phơng trình trên:
(m1 s2 + b s + k1+k2) X1(s) = (b.s + k2).X2(s) + U(s) (3.1’)
(m2.s2 + b.s + k2 + k3 ) X2(s) = (b.s + k2).X1(s) (3.2’)
Từ (3.2’) ⇒ X2(s) =
) k k b.s s
(m
(s) ).X k (b.s
3 2 2
2
1 2
+ + + +
Hoặc X1(s) =
) k (b.s
(s) ).X k k b.s s (m
2
2 3 2 2
2
+
+ + +
Thay thế vào (3.1’):
(m1 s2 + b s + k1+k2) X1(s) = (b.s + k2)
) k k b.s s
(m
(s) ).X k (b.s
3 2 2
2
1 2
+ + +
Trang 5m.g G
u
V
0
P
2l
x
) k k b.s s (m
(s) ].X )
k k b.s s m
3 2 2
2
1 3
2 2
2
+ + +
+ +
2 2
1 2
1 s + b s + k + k ).( - (b.s + k )
(3.3)
(m1 s2 + b s + k1+k2)
) k (b.s
(s) ).X k k b.s s
(m
2
2 3 2 2
2
+
+ + +
= (b.s + k2).X2(s) + U(s)
2 2
2 2 2
1 2
1
) k + (b.s
) k + (b.s ).(
k + k + s b.
+
s
[(m m2.s2 + b.s + k2 + k3) ].X2(s) = U(s)
(3.4)
Hàm truyền đạt của hệ thống:
G(s) = G1(s) G2(s)
Với G1(s) =
U(s)
(s)
X1 và G2(s) =
U(s)
(s)
X2
Từ (3.3):
G1(s) =
U(s)
(s)
X1
2 2
1 2
1 s +b.s+k +k ).( - (b.s+k )
) k k b.s s
(m
3 2 2
2
3 2 2
2
+ + +
+ + +
G2(s) =
U(s)
(s)
2 2
1 2
1
2 2
) k + (b.s ).(
k + k + s b.
+ s (m
) k + (b.s
) k k b.s s
Ví dụ 4: Cho hệ thống con lắc ngợc nh hình vẽ Xây dựng mô hình toán của hệ thống, biết cần có chiều dài 2l, khối lợng m và góc lắc θ, Cần gắn lên vật di chuyển có khối lợng M
Xác định toạ độ trọng tâm G của cần lắc:
XG = x + l sinθ
YG = l cos θ
Chuyển động của cần lắc so với trọng tâm
I.
θ = V.l.sinθ − H.l.cosθ (4.1)
I: là mô men quán tính của cần so với trọng tâm
V là dịch chuyển theo phơng y
H dịch chuyển theo phơng x
H = (l.sinθ x)
dt
d
2
+ (4.2)
Trang 6P 0
θ
y
x u
m.g
M
V = (l.cos m.g
dt
d
2
+
θ) (4.3) Dịch chuyển của vật M theo phơng ngang là:
dt
x
d
M 2
2
−
= (4.4)
Đối với dao động của con lắc ngợc luôn mong muốn θ(t) rất nhỏ, nên trong phơng trình trên coi nh:
sinθ ≈ θ
cosθ ≈ 1 và θ.
θ = 0
Từ (4.1): I.
θ = V.l.θ − H.l (4.2): H = (l.sinθ x)
dt
d
2
dt
d
m. .+ . = m.(l.θ +x ) (4.3): V = (-l. m.g m.l. m.g
dt
d m.
m.g (l.
dt
d
2
+ θ
= + θ
=
I.
θ = (m.l θ + m.g).l.θ − m.( l θ + x ) .l
I.
θ - m.g.l.θ + m. l . .l x
2 θ + = 0
(I + m. l 2). θ + .l x = m.g.l.θ Là phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hệ thống
(4.4): M.x = u− m.(l. x)
+
(M- m)
x + m.l.
θ = u (4.5)
Đây là phơng trình vi phân mô tả hệ thống
Ví dụ 5: Xây dựng mô hình toán của hệ thống nh hình vẽ sau:
Trọng tâm là trùng tâm của quả cầu, momen quán tính I ≈ 0
Phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hệ:
(M + m)
x + m.l.θ = u (5.1)
m.l2.θ + m.l.x = m.g.l. θ (5.2)
Biến đổi Laplace 2 phơng trình trên:
(M + m) s2 X(s) + m.l.s2.θ(s) = U(s) (5.3)
m.l2.s2.θ(s) + m.l.s2.X(s) = m.g.l.θ(s) (5.4)
(m.l2.s2- m.g.l).θ(s) = - m.l.s2.X(s)
Trang 7X(s) =
2
2 2
m.l.s
-m.g.l) -.s
Thay vào (5.3):
(M + m) s2
2
2 2
m.l.s
-m.g.l) -.s (m.l θ(s) + m.l.s2.θ(s) = U(s) [-(M + m).( l.s2 – g) + m.l.s2].θ(s) = U(s)
Hàm truyền đạt:
G(s) =
g m)
M ( M.l.s
-1 m.l.s
g) -l.s m).(
(M
-1 )
s
(
U
)
s
(
2 2
+
=
θ
Xây dựng phơng trình trạng thái:
Đặt các biến trạng thái:
x1 = θ
x2 = .
θ
x3 = x
x4 = .
x
y1 = θ
y2 = x ( Hệ thống có 2 đáp ứng)
Từ (5.1): (M + m)
x + m.l.θ = u ⇒ θ = -(Mm+l.m).x + m1l..u (5.2): m.l2.θ + m.l.x = m.g.l. θ
θ = - 1l x + gl θ Thay vào phơng trình (5.1):
(M + m)
x + m.l.(- 1l x + gl θ) = u
x = - mM.g θ +
M
1 u
θ = -(Mm+l.m).(- mM.g θ +
M
1 u) +
l.
m
1 u = + θ
l.
M
g ).
m M
l.
M
1 u
1
.
x = x2
2
.
x = (MM+ml.).g.θ - M1l..u = (MM+ml.).g.x1 -
l.
M
1 u
3
.
x = x4
4
.
x = - mM.g θ +
M
1 u = -
M
g
m x1 +
M
1 u Phơng trình trạng thái của hệ thống:
=
(t)
x.
(t)
x
(t)
x
(t)
x
(t)
x
.
4
.
3
2
.
1
.
=
−
+
0 0 0 g M m
1 0 0 0
0 0 0 g M.l
m M
0 0 1 0
4 3 1 1
x x x
x +
−
M 1 0 M.l 1
0
.u
Trang 8
2
1
y
y
0 1 0
0
0 0 0
1
4 3 1 1
x x x x
* X©y dùng ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i tõ ph¬ng tr×nh vi ph©n:
- Cho ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh bËc n:
n
n
dt
y
d
+ an-1 n 1
1 n
dt
y d
−
− + + a1 dt
dy + a0 y = u Víi c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu
n
n 2
2
dt
y(0) d
; ;
dt
y(0) d
; dt
§Æt c¸c biÕn tr¹ng th¸i:
x1(t) = y(t)
x2(t) =
dt
dy(t)
xn (t) =
1 n
1 n
dt
y(t) d
−
−
Nªn:
1
.
x = x2
2
.
x = x3
1
n
.
x − = xn
n
.
x = - an-1.xn - an-2 xn-1 - - a1 x2 - a0.x1 + u
VËy ph¬ng tr×nh tr¹ng th¸i:
=
(t)
x.
(t)
x
.
.
.
(t)
x
(t)
x
.
n
2
.
1
.
=
a a a a
-1 0 0 0 0
.
0 0 1 0 0
0 0 1 0
1 -n 2 -n 1
0
n
2 1
x x x
+
1 0 0 u
y(t) = [1 0 0 0]
n
2 1
x x x
Trang 9U(s) Y(s)/U(s)
V(s)/U(s) V(s) Y(s)
S1 S1 S1
-a 0
-a 1
-a n-1
b n
b 2
b 1
b 0
s V(s)n sn-1 V(s) s V(s) V(s)
.
.
- Phơng trình vi phân có dạng nh sau:
n
n
dt
y(t)
d
+ an-1 n 1
1 n
dt
y(t)
d
−
− + + a1 dt
dy(t) + a0 y(t) =
= bn n
n
dt
u(t)
d
+ bn-1 n 1
1 n
dt
) t ( u
d
−
−
+ + b1 dt
du(t) + b0 u(t)
Để xây dựng đợc phơng trình trạng thái từ phơng trình vi phân trên cần hiểu về các dạng mô hình trạng thái dới đây
3.1.2 Các dạng mô hình không gian trạng thái
Dựa vào mối quan hệ qua lại giữa phơng trình vi phân- hàm truyền đạt- sơ đồ khối- phơng trình trạng thái mà có các dạng mô hình không gian trạng thái:
- Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form)
- Dạng quan sát đợc ( Observer canonical form)
- Dạng Modal
- Dạng Jordan chính tắc
a) Dạng điều khiển đợc (Controller canonical form)
Một hệ thống điều khiển có phơng trình trạng thái sau:
n
n
dt
y(t)
d
+ an-1 n 1
1 n
dt
y(t)
d
−
− + + a1 dt
dy(t) + a0 y(t) = = bn n
n
dt
u(t)
d
+ bn-1 n 1
1 n
dt
) t ( u d
−
−
+ + b1 dt
du(t) + b0 u(t) Một hệ thống điều khiển có hàm truyền đạt nh sau:
0 1 1
n 1 n n
0 1 1
n 1 n
n n
a s a
s a s
b s b
s b s b
)
s
(
U
)
s
(
Y
+ + + +
+ + + +
−
−
−
Thêm biến phụ:
0 1 1
n 1 n n
0 1 1
n 1 n
n n
a s a
s a s
b s b
s b s b )
s
(
U
)
s
(
V
.
)
s
(
V
)
s
(
Y
+ + + +
+ + + +
−
−
−
)
s
(
V
)
s
(
Y
1 n
n
n s b s b s b
− (a.1)
0 1 1
n 1 n
n a s a s a
s
1 )
s
(
U
)
s
(
V
+ + + +
−
(a.2) Sơ đồ khối tơng ứng:
Từ (a.1) ta có: Y(s) = b s V ( s ) b s n 1 V ( s ) b1 s V ( s ) b0 V ( s )
1 n
n
−
(a.2) ta có: U(s) = sn V(s) + an-1.sn-1 V(s) + + a1.s.V(s) + a0.V(s)
Từ 2 phơng trình này xây dựng đợc sơ đồ khối mô tả quan hệ vào ra của các tín hiệu
nh sau:
Trang 10
V(t) V(t) V(t)(n-1)
V(t)
b0
b1
b2
bn
-an-1
-a1
-a0
y(t)
u(t)
S1
S1
1 S
V(t)
(2)
x1
x2
x3
.
Biến đổi Laplace ngợc hàm truyền đạt trên có sơ đồ khối tơng ứng:
Từ sơ đồ khối trên đặt các biến trạng thái:
x1 = v(t)
x2 = V( 1 )(t)
xn = ( nV− 1 )(t)
1
.
x = x2
2
.
x = x3
x = -a. n n-1.xn – an-2.xn-1- – a1.x2 – a0.x1 + u
y(t) = bn.x + b. n n-1.xn + + b1.x2 + b0 x1 =
= bn.(-an-1.xn – an-2.xn-1- – a1.x2 – a0.x1 + u) + bn-1.xn + + b1.x2 + b0 x1
= (b0 –bn.a0).x1 + (b1 – bn.a1).x2 + + (bn-1- bn.an-1).xn + bn.u
Vậy phơng trình trạng thái:
Trang 11U(s)
bn-1
-an-1
-a1
-a0
bn
b1
b0
S1
S1
=
(t)
x.
(t)
x
.
.
.
(t)
x
(t)
x
.
n
2
.
1
.
=
a a a a
-1 0 0 0 0
.
0 0 1 0 0
0 0 1 0
1 -n 2 -n 1
0
n
1 1
x x x
+
1 0 0 u
y(t) = [(b0 - a0.bn) (b1 - a1.bn) (bn-1 - an-1.bn )]
n
2 1
x x x
* Từ mô hình toán của hệ thống nh trên ta có khái niệm về tính điều khiển đợc của hệ
thống: Tính điều khiển đợc của hệ thống là với một tác động vào liệu có chuyển
đ-ợc trạng thái của hệ từ thời điểm đầu t o đến thời điểm cuối trong khoảng thời gian
hữu hạn không?
b) Dạng quan sát đợc (Observer canonical form)
Hệ thống có hàm truyền đạt:
0 1 1
n 1 n n
0 1 1
n 1 n
n n
a s a
s a s
b s b
s b s
b
)
s
(
U
)
s
(
Y
+ + + +
+ + + +
−
−
−
1 n
n a s a s a
1 n
n
n.s b s b s b
Y(s) = - n
s
1
n s a s a
+ n
s
1 n
n
n.s b s b s b
Ta có sơ đồ khối:
Trang 121
bn-1
u(t)
y(t)
S1
Từ sơ đồ khối đặt các biến trạng thái:
y(t) = xn(t) + bn.u(t)
1
.
x = -a0.y(t) + b0.u(t) = -a0.( xn(t) + bn.u(t)) + b0.u(t) = -a0.xn(t) + (b0 – a0.bn) u(t)
2
.
x = -a1.y(t) + b1.u(t) + x1(t) =x1(t) -a1.(xn(t) + bn.u(t)) + b1.u(t) =
= x1(t) -a1.xn(t) + (b1 – a1.bn) u(t)
n
.
x = xn-1(t) + bn-1.u(t) – an-1.y(t) = xn-1(t) + bn-1.u(t) – an-1.(xn(t) + bn.u(t)) =
= xn-1(t) - an-1.xn(t) + (bn-1 – an-1.bn).u(t)
Phơng trình trạng thái:
x.(t)=
(t)
x
.
.
.
(t)
x
(t)
x
.
n
2
.
1
.
=
1 -n
1 0
a 1 0 0
-a 1 0 0 0
.
0 1 0
a 0 0 0 1
a 0 0 0 0
2 -n
n
1 1
x x x
+
−
−
−
−
− 1 n 1 n n
n 1 1
n 0 0
b a b
b a b
b a b
.u(t)
y(t) = [0 0 0 1]
n
2 1
x x x
+ bn u(t)
