HH 8 chuyen de tu giac hinh thang day du ly thuyet phuong phap va giai chi tiet

Hình thang ABCD: // AB CD Cạnh đáy: AB, CD Cạnh bên: AD, BC Đường cao: AH Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau.. Hình thang vuông Định nghĩa: Hình thang vuông

Chủ đề 2: Hình thang

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Hình thang

Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hình thang ABCD:

//

AB CD

Cạnh đáy: AB, CD

Cạnh bên: AD, BC

Đường cao: AH

Tính chất: trong một hình thang, góc kề một cạnh bên thì bù nhau Nhận xét:

+ Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau

+ Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau

2 Hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy.

3 Dấu hiện nhận biết hình thang, hình thang vuông

+ Một tứ giác có hai cạnh song song là hình thang

+ Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Tính các góc của một hình thang

Hướng dẫn giải Bài tập mẫu 1: Cho hình thang ABCD có (AB//CD) có và Tính các góc của hình thang?

ABCD là hình thang, AB//CD + � �A D 1800(Hai góc kề cạnh bên bù nhau)

và � �A D 200 Suy ra: �A1000 và D�800

Mặt khác: B C� � 1800 (Hai góc kề cạnh bên bù nhau); B�2C�

Suy ra: C�600 và �B1200

Hướng dẫn giải:

ABCD hình thang, AB//CD

�

�

0

180

D

B

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông

Hướng dẫn giải

Xét ABC AB BC:  (giả thuyết) Suy ra: ABC cân tại B

Từ đây suy ra: �BACBCA�

�BACCA� D (AD phân giác ).

Bài tập mẫu 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Tính số đo.

Bài tập mẫu 3: Cho tứ giác ABCD, AB=BC và AC là tia phân giác

của góc A Chứng minh ABCD là hình thang

Suy ra: BCA� CA� D Suy ra: BC AD//

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

Hướng dẫn giải

a Chứng minh AMBcân:

Ta có 1

2

AM  BC M thuộc cạnh BC Suy ra:M là trung điểm của cạnh BC

2

BC

AM MB MC 

�

Suy ra: AMB cân tại M

b Chứng minh tứ giác MNAClà hình thang vuông:

Trong AMB : AN = NB (giả thiết)

Suy ra: MN AB

ACAB (ABCvuông tại A)

//

MN AC

� và CAN� 900

Suy ra: tứ giác MNAClà hình thang vuông

Bài tập mẫu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc

cạnh BC sao cho , N là trung điểm cạnh AB Chứng minh:

a cân b Tứ giác là hình thang vuông

Hướng dẫn giải:

Tứ giác ABCD là hình thang ( vì �BDCBDA� )

Tứ giác EFGH là hình thang vuông ( �HEF 90 0và �GEF 90 0)

Hướng dẫn giải

* Tìm cách giải : Để chứng minh một cạnh đáy nào đó nhỏ hơn 4cm

ta có thể xét tổng của hai cạnh đáy rồi chứng minh tổng này nhỏ hơn 8cm Khi đó tồn tại một đáy có độ dài nhỏ hơn 4cm

* Trình bày lời giải

Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC

Ta có AB // CD nên A�2 N� (so le trong)

Mặt khác, A�1A�2 nên A�1�N  DAN cân tại D

Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD và EFGH trên giấy kẻ ô vuông

(hình vẽ) Quan sát rồi đoán nhận xem các tứ giác đó là hình gì,

sau đó dùng thước và eke để kiểm tra lại dự đoán đó

Bài tập mẫu 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD), các tia phân

giác của góc A, góc D cắt nhau tại M thuộc cạnh BC Cho biết AD

= 7cm, chứng minh rằng một trong hai đáy của hình thang có độ dài nhỏ hơn 4cm

Vì vậy: DA = DN (1)

Xét DAN có D�1D�2 Nên DM đồng thời là đường trung tuyến: MA = MN

Nên: ABM = NCM (g.c.g)

Do đó: AB = CN

Ta có : DC + AB = DC + CN = DN = DA = 7cm Vậy AB + CD < 8cm

Vậy một trong hai đáy AB, CD phải có độ dài nhỏ hơn 4cm

Hướng dẫn giải

a Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình thang ABCD thoả mãn đề bài

Vẽ AE // BC (E  CD)

Ta được: AED C 40 ,�  � o EC = AB = 2cm và DE = DC – EC = 5 – 2 = 3cm

- ADE dựng được ngay (g.c.g)

- Điểm C thoả mãn hai điều kiện:

C nằm trên tia DE và C cách D là 5cm

- Điểm B thoả mãn hai điều kiện: B nằm trên tia Ax // DE (hai tia Ax và

DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AD) và B cách A là 2cm

b Cách dựng

- Dựng ADE sao cho DE = 3cm; D 70 ;� o E 40 � o

Bài tập mẫu 7: Dựng hình thang ABCD (AB // CD) biết: AB =

2cm, CD = 5cm,

- Dựng tia Ax // DE (hai tia Ax và DE cùng nằm trên một nửa mặt phẳng

bờ AD)

- Trên tia Ax đặt AB = 2cm

- Trên tia DE đặt DC = 5cm

- Nối BC ta được hình thang ABCD phải dựng

c Chứng minh

Theo cách dựng tứ giác ABCD có AB // CD nên nó là hình thang

Xét hình thang ABCE có CE = 5 – 3 = 2(cm);

AB = 2cm nên AB = CE do đó AE // BC ��BCD AED 40 �  o

Như vậy hình thang ABCD có AB = 2cm; CD = 5cm; D 70� o và C 40 � o

d Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Hướng dẫn giải

a) Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC thoả mãn đề bài Trên tia AC ta lấy điểm D sao cho AD = AB

Khi đó DC = AC – AD = AC – AB = 2cm

ABD cân, A 70� o �ADB 55�  o �BDC 125 �  o

- DBC xác định được (CD = 2cm; D 125 ;� o CB = 5cm)

- Điểm A thoả mãn hai điều kiện:

A nằm trên tia CD và A nằm trên đường trung trực của BD

b) Cách dựng

- Dựng DBC sao cho D 125 ;� o DC = 2cm và CB = 5cm

- Dựng đường trung trực của BD cắt tia CD tại A

Bài tập mẫu 8: Dựng tam giác ABC, biết BC = 5cm và AC – AB =

2cm

- Nối AB ta được ABC phải dựng.

c) Chứng minh

Ta có: ABC thoả mãn đề bài vì theo cách dựng, điểm A nằm trên đường trung trực của BD nên AD = AB

Do đó AC – AB = AC – AD = DC = 2cm;

BC = 5cm và ADB 180�  o125o 55o

BAC 180 2.55 70

� d) Biện luận : Bài toán có một nghiệm hình

Nhận xét: Đề bài có cho đoạn thẳng 2cm nhưng trên hình vẽ chưa có đoạn thẳng nào như vậy Ta

đã làm xuất hiện đoạn thẳng DC = 2cm bằng cách trên AC ta đặt AD = AB Khi đó DC chính là hiệu AC – AB.

Cũng có thể làm xuất hiện đoạn thẳng 2cm bằng cách trên tia AB ta đặt AE =

AC Khi đó BE = AE – AB = AC – AB = 2cm

AEC cân, có A 70� o

E 180 70 : 2 55 

�

BEC xác định được

Khi đó điểm A thoả mãn hai điều kiện:

A nằm trên tia EB và A nằm trên đường trung trực của EC

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÓ ĐÁP ÁN

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB<CD, AD=BC=AB,

� 300

BDC  Tính các góc của hình thang

Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ

,

HDAC HEAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng

HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN là hình thang vuông

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD AB CD//  Hai đường phân giác của góc A và B cắt nhau tại điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD+BC=DC

Bài tập 4: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Cho biết AD = 20,

AC = 52 và BC = 29 Tính độ dài AB

Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD Các tia phân giác của góc A, góc D cắt

nhau tại M Các tia phân giác của B, góc C cắt nhau tại N Cho biết

AMD 90 , chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD là hình thang; b) NB  NC

Bài tập 6: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D Gọi M là trung điểm

của AD Cho biết MB  MC a Chứng minh rằng BC = AB + CD;

b Vẽ MH  BC Chứng minh rằng tứ giác MBHD là hình thang

Bài tập 7: Chứng minh rằng trong một hình thang vuông, hiệu các

bình phương của hai đường chéo bằng hiệu các bình phương của hai đáy

D HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP SỐ

Bài tập 1: ABCD hình thang, AB//CD ��ABD BDC� (so le trong)

Do đó : �ABD300

Mặt khác: AB=AD (giả thiết)

ABD



� cân tại A

Suy ra: �ADB ABD� 300

� 1800 � �  1800 600 1200 � � 60 0

Từ B, kẻ BE//AD Suy ra: AD = BE và AB = DE

Mà: AB < DC nên điểm E nằm giữa hai điểm C và D

Mặt khác: BC=AD (giả thiết) Suy ra: BC=BE�BEC cân tại B

BCD BEC

�

Ta có: �BEC�ADC(đồng vị) Do đó: �BCD60 0

Ta có: �ABC BCD� 1800 nên �ABC1800BCD� 1800600 1200

Bài tập 2: Chứng minh DEMN là hình thang vuông

Ta có: HEAB (giả thiết) �BEHvuông tại E

BM MH (giả thiết) Suy ra: EM là trung tuyến thuộc cạnh huyền Nên: EM=MH

EMH



� cân tại M

Do đó: �MEH MHE� (1)

Xét tứ giác ABCD có: HEA�  90HEAB

� 0 

90

HDA HD AC

� 900

EAC (ABC vuông tại A)

Suy ra: �EHD900

Xét hai tam giác vuông AEH và DHE

AE = DH và EH cạnh chung �AEH  DHE(cạnh góc vuông)

Suy ra: �DEH �AHE (2)

Từ (1) và (2), cộng vế theo vế: MEH DEH� � �MHE AHE�

MED MHA� � 900AH BC �MEED

Tương tự, ta chứng minh được: NDED

Suy ra: ME ND// và MED� 900 Do đó: Tứ giác DEMN là hình thang vuông

Bài tập 3: ABCD là hình thang, AB//CD.

DKA KAB

CKB KBA (so le trong)

DAK KAB (AK phân giác �A)

CBK KBA(BK phân giác �B)

Suy ra: DKA DAK�� ��

CKB KBA

�

�



� Do đó: ADKcân tại D�DA DK

Từ: BCKcân tại C�BC CK

Do đó: DC DK KC AD BC    Vậy DCAD BC

Bài tập 4: Vẽ BH  CD ta được AB = DH; BH = AD = 20.

Xét BHC vuông tại H có

HC2 = BC2 – BH2 = 292 – 202 = 441 Nên : HC = 21

Xét ADC vuông tại D có CD2 =

AC2 – AD2 = 522 – 202 = 2304

Do đó: CD = 48

Do đó DH = CD – HC = 48 – 21 = 27  AB = 27

Nhận xét: Bài này đã vẽ thêm đường cao BH của hình thang Đó là

một cách vẽ hình phụ thường dùng khi giải toán về hình thang

Bài tập 5: a Xét MAD có M 90� o �A�1D�190o A D� � o

90 2

 

�

A D 180 

Vậy tứ giác ABCD là hình thang

b Ta có ABC BCD 180� �  o (hai góc kề với một cạnh bên)

Từ đây suy ra ABC BCD� � o

90 2

  hay nói cách khác : � � o

1 1

B C 90 Xét NBC có � o � � o o o

1 1

N 180  B C 180 90 90 Vậy NB  NC

Bài tập 6: a Gọi E là giao điểm của tia BM với tia CD

Dễ thấy : ABM = DEM (g.c.g)  AB = DE và MB = ME

Hình 2.14

CBE có CM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân

Nên CB = CE Suy ra: CB = CD + DE

Do đó: CB = CD + AB (vì AB = DE)

b CBE cân tại C, CM  BM (1)

� �

1 2

C C

�  MH = MD (tính chất điểm nằm trên tia phân giác)

HCM = DCM (cạnh huyền – góc nhọn)  CH = CD  CHD cân

 CM  DH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BM // DH do đó tứ giác MBHD là hình thang

Bài tập 7: Xét hình thang ABCD vuông tại A và D Giả sử AB  CD

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

AC2 = AD2 + DC2; BD2 = AD2 + AB2 Suy ra: AC2 – BD2 = (AD2 + DC2) – (AD2 +

AB2)

Do đó AC2 – BD2 = CD2 – AB2

Youtube.com/XuctuDayToan2k7

để nhận nhiều tài liệu Vip hơn!

ĐẶT B SACH THAM KHAO TOAN 8-NH-2020-2021 Ô

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)

Đặt online tại biểu mẫu:

https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF8

9