Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG I Kiến thức cần nhớ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi[.]
Trang 1Chuyên đề ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG
I Kiến thức cần nhớ
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
II HỆ THỐNG BÀI TẬP.
1 Nhận biết
Câu 1: Chọn đáp án đúng
A Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác
B Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác
C Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
D Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng song song với một cạnh của tam giác
Đáp án:C
Câu 2: Chọn đáp án đúng
A Đường trung bình của hình thang là đường thẳng cắt hai cạnh bên của hình thang
B Đường trung bình của hình thang là đọan thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
C Đường trung bình của hình thang là đường thẳng nối trung điểm hai đáy của hình thang
D Đường trung bình của hình thang là đường thẳng song song hai cạnh bên của hình thang
Đáp án: B
Câu 3: Chọn đáp án đúng
A Đường trung bình của tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy
B Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một lần cạnh ấy
C Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
D Đường trung bình của tam giác thì vuông góc với cạnh thứ ba và bằng hai lần cạnh ấy
Đáp án:C
Trang 2Câu 4: Chọn đáp án đúng
A Đường trung bình của hình thang thì vuông góc với hai đáy và bằng một nửa hai đáy
B Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
C Đường trung bình của hình thang thì vuông góc với hai đáy và bằng hai lần hai đáy
D Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng hai lần hai đáy
Đáp án: B
2 Thông hiểu
Câu 1: Hình thang có hai đáy là 21cm và 9cm độ dài đường trung bình của hình thang đó là:
A 15cm B 30cm C 60cm D 189cm
Đáp án:A
Câu 2: Hình thang cân có cạnh bên là 3,5 cm đường trung bình là 3 cm chu vi hình thang là.
A. 6,5 cm B 13 cm C 9,5 cm D 10 cm
Đáp án: B
Câu 3: Tam giác đều có độ dài cạnh bằng 12,5 cm độ dài đường trung bình của tam giác đó là:
A. 37.5 cm B 6,3 cm C 6,25 cm D 12,5 cm
Đáp án: C
Câu 4: Cho hình vẽ
Giá trị của x là:
Đáp án: 8cm
Câu 5: Cho hình vẽ
A 3cm B
M N
E F
D C
AB//MN //EF // CD; AM = ME = ED; BN = NF = FC
Khi dó độ dài CD bằng
A 6 cm B 7 cm C 8 cm D 9 cm
Đáp án:A
5cm
Trang 3Câu 6:
A x+12 B
M N
D C
Tứ giác ABCD là hình thang (AB//CD) có AM = MD; BN = NC khi đó x bằng
A 4 B 5 C 6 D 7
Đáp án: B
3 Vận dụng
Câu 1: Cho tam giác ABC có BC = 8cm gọi D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC; M và N
lần lượt là trung điểm của BD và CE Tính độ dài đoạn MN
Đáp án:
Xét tam giác ABC có D là trung điểm của AB
E là trung điểm của AC
=> DE là đường trung bình của tam giác ABC
=> DE = BC :2 = 4 (cm)
Và DE // BC
DECB là hình thang có
M là trung điểm của BD, N là trung điểm của EC
=> MN là đường trung bình của hình thang DECB
=> MN = (DE + BC) : 2 = (4 + 8) : 2 = 6 (cm)
Câu 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) có AC vuông góc với BD, MN là đường trung bình Biết
chiều cao của hình thang là 10 cm Tính độ dài đường trung bình MN của hình thang ?
Đáp án:
7x -2 5x
N M
C B
E D
A
N M
E
O
Trang 4
Giả sử hình thang cân ABCD (AB // CD) có AC vuông góc BD tại O
Đường cao đi qua O là EF ( E AB; F CD)
Ta có ΔADC = ΔBCD (c.g.c) => ACD = BDC
Mặt khác AC BD tại O
=> ΔODC vuông cân tại O
=> ODC = OCD = 450
( = = 450 và = = 450)
=> ΔDFO và ΔCFO vuông cân => OF = FC = FD
=> OF = DC
Cmtt OE = AB
=> EF = (AB + CD)
=> (AB + CD) = 10 (cm)
Vậy đường trung bình của hình thang ABCD bằng 10 cm
Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD) các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau ở I, của góc B và
góc C cắt nhau ở K Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC chứng minh 4 điểm M, N, I, K thẳng hàng
Đáp án:
Hình thang ABCD có:
M là trung điểm của AD
N là trung điểm của BC
=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD
=> MN // AB (1)
Ta có ADI + DAI = ( ADC + DAB) = 900
N M
K
C D
B A
I
Trang 5=>ΔADI vuông ở I => IM = AD
=> AM = MI => ΔAMI cân tại M
=> MAI = AIM => BAI = AIM
=> MI //AB (2)
Cmtt NK // AB (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra 4 điểm M, I, K, N thẳng hàng
4 Vận dụng cao
Câu 1: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của trung tuyến AM Qua D vẽ đường thẳng xy cắt 2 cạnh
AB và AC.Gọi A',B',C' lần lượt là hình chiếu của A,B,C lên xy CMR:AA'=$\frac{B{{B}^{'}}
+C{{C}^{'}}}{2}$
Đáp án: Gọi E là hình chiếu của M trên xy
y x
E
M
A
C'
ta có:BB'//CC'//ME(cùng vuông góc với xy)
nên BB'C'C là hình thang
Hình thang BB'C'C có MB=MC, ME//CC'
nên EB'=EC'.Vậy ME là đường trung bình của hình thang BB'C'C
$\Rightarrow $ ME=$\frac{B{{B}^{'}}+C{{C}^{'}}}{2}$(1)
Ta có: $\Delta $AA'D=$\Delta $MED(cạnh huyền-góc nhọn) $\Rightarrow $ AA'=ME (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ AA'= $\frac{B{{B}^{'}}+C{{C}^{'}}}{2}$
Câu 2: Cho tam giác ABC các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G Gọi I, K theo thứ tự là trung
điểm của GB, GC Chứng minh rằng DE // IK; DE = IK
Đáp án:
K
I
G
A
Xét ABC có
Trang 6EA=EB= AB và DA=DB = AC nên ED là đương trung bình
ED//BC và ED= BC (1)
Cmtt ta có IK là đường trung bình của BGC IK//BC vµ IK= BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra ED // IK và ED = IK
Câu 3: Cho ABC, G là trọng tâm Qua G kẻ đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC Gọi AD, BE, CF là
các đường vuông góc kẻ từ A, B, C tới d
Chứng minh: AD = BE + CF
Đáp án:
d
F
H K
D E
N
G M
A
Chứng minh:
Vì BE d, CF d (gt) BE // CF
BCFE là hình thang Gọi M, N là trung điểm của BC và FE
MH là đường trung bình của hình thang BCFE
MH // BE và MH = (1)
Mà BE d (gt) MH d
Vì G là trọng tâm của ABC (gt)
AG = AM, GM = AM GM = AG
Gọi N và K lần lượt là trung điểm của AG và GD
NK là đường trung bình của ADG
NK // AD và NK = AD (2)
Mà AD d (gt) NK d
Vì N là trung điểm của AG (cách vẽ)
NG = AG NG = MG ( = AG)
Xét NGK và MGH
Trang 7NG = MG (cmtrên)
N ^GK=M ^G H (đối đỉnh)
KGN = HGM (cạnh huyền góc nhọn)
NK = MH (2 cạnh tương ứng) (3)
Từ (1),(2) và (3) AD =
AD = BE + CF
Trang 8Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
H c m i lúc, m i n i, m i thi t bi – Ti t ki m ọ ọ ọ ơ ọ ế ế ệ
90%
HOC247 NET c ng đ ng h c t p mi n phí ộ ồ ọ ậ ễ