Chuyên đề hình học ôn thi vào chuyên Toán năm 2023 https //thuvientoan net/ TỨ GIÁC NỘI TIẾP *********** A Tóm tắt lý thuyết 1 Định nghĩa Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn 2 Tính chất Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi một trong những điều sau xảy ra a) Tổng hai góc đối bằng 0 180 Nghĩa là 0 180BAD BCD hay 0180 ABC ADC b) Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau Chẳng hạn DAC DBC c) Gọi P là giao điểm của AB và CD Khi đó PA PB PD PC Phương tí[.]
Trang 1TỨ GIÁC NỘI TIẾP
***********
A Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn điểm nằm trên cùng một đường tròn
2 Tính chất
Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi một trong những điều sau xảy ra:
a) Tổng hai góc đối bằng 180 Nghĩa là 0 BADBCD1800 hay ABCADC180 0
b) Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau Chẳng hạn DAC DBC
c) Gọi P là giao điểm của AB và CD Khi đó PA PB PD PC Phương tích của điểm P/(O)
d) Gọi I là giao điểm của AC và BD Khi đó IA IC IB ID
C D
A
B
I P
C
A
B
D
C D
A
B
Trang 23 Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
Từ các tính chất trên, để chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh:
a) Tổng hai góc đối bằng 0
180 Hay cũng có thể chứng minh một hệ quả của nó là xAB BCD
b) Hai góc cùng nhìn một cung bằng nhau
c) Gọi P là giao điểm của AB và CD Khi đó PA PB PD PC
d) Gọi I là giao điểm của AC và BD Khi đó IA IC IB ID
B Ví dụ
Bài toán 1
Cho tam giác ABC vuông tại A và AD là phân giác trong của góc HAC Phân giác trong của góc ABC cắt ,
AH AD lần lượt tại M N, Chứng minh rằng BND90 0
Bài toán 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O có đường kính , AD Đường thẳng d vuông góc với AD cắt CD BD, lần lượt tại E F, Chứng minh rằng tứ giác BFEC nội tiếp
Bài toán 3
Cho tam giác ABC nhọn, trên cạnh BC lấy hai điểm D E, sao cho BAD CAE Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của B lên AD AE, và P Q, lần lượt là hình chiếu của C trên AD AE, Chứng minh rằng tứ giác PMQN
nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của BC
Bài toán 4
Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh BC CD, lấy điểm M N, sao cho MAN45 0 Đường thẳng BD cắt ,
AM AN lần lượt tại P Q,
a) Chứng minh rằng các tứ giác ADNP ABMQ, nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác MNQP nội tiếp
Bài toán 5 Đường thẳng Simpson
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi A B C, , lần lượt là hình chiếu của M lên BC CA AB, ,
Trang 3a) Chứng minh rằng ba điểm A B C, , thẳng hàng
b) Tìm vị trí của M để B C lớn nhất
Bài toán 6
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Gọi P là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi X Y Z, , lần lượt là hình chiếu của P lên BC CA AB, , Giả sử AD là phân giác trong của BAC Chứng minh rằng PD là phân giác của BPC khi và chỉ khi X là trung điểm của YZ
Bài toán 7 Đường thẳng Steiner
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa A Gọi A B C1, 1, 1 lần lượt là điểm đối xứng của M qua BC CA AB, ,
a) Chứng minh rằng ba điểm A B C1, 1, 1 thẳng hàng Đường thẳng đi qua ba điểm này có tên là Steiner
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì đường thẳng Steiner luôn đi qua một điểm cố định
c) Tìm vị trí của M để B C1 1 lớn nhất
Bài toán 8
Cho tam giác ABC có AH là đường cao và M N, lần lượt là trung điểm của AB AC, Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CHN tại E khác H
a) Chứng minh rằng tứ giác AMEN nội tiếp
b) Chứng minh rằng HE chia đôi MN
Bài toán 9
Cho hình bình hành ABCD có tâm O và góc và ABC90 0 Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu của D trên
AC AB BC Chứng minh rằng tứ giác OMPN nội tiếp
Bài toán 10 Chuyên Khánh Hòa năm 2019
Cho đường tròn O đường kính BC và H là một điểm nằm trên đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với hai điểm B và O) Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn O tại A và D Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N
a) Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp
b) Tính giá trị
2
P
AB BH
c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn O , cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E Chứng minh rằng đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi H di động trên đoạn thẳng BO
Bài toán 11 Chuyên Hưng Yên 2020
Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB M khác O và B Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD và D Đường tròn I và đường tròn J cắt nhau tại điểm thứ hai là N
Trang 4a) Chứng minh rằng năm điểm A N B C D, , , , cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh ba điểm C M N, , thẳng hàng
Bài toán 12 Chuyên Ninh Bình 2020
Cho đường tròn T tâm O và dây cung AB cố định với O AB Gọi P là điểm di động trên AB sao cho P
khác A B, và P khác trung điểm của AB Đường tròn T tâm C đi qua 1 P và tiếp xúc với đường tròn T tại
A Đường tròn T tâm 2 D đi qua P và tiếp xúc với đường tròn T tại B Hai đường tròn T và 1 T cắt 2
nhau tại N với N khác B Gọi d là tiếp tuyến chung của 1 T và T tại 1 A, d2 là tiếp tuyến chung của
T và T tại 2 B Gọi Q là giao điểm của d và 1 d2
a) Chứng minh rằng tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh rằng ANPBNP và bốn điểm O C D N, , , cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh rằng đường trung trực của ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên AB với P
khác A B, và P khác trung điểm của AB
