Giải bài tập toán 9 trang 128 tập 1 Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến[.]
Trang 1Giải bài tập toán 9 trang 128 tập 1 Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ
tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K)
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
a) IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)
b) Tứ giácAEHF có nên là hình chữ nhật
Trang 2c) ΔAHB vuông nên AE.AB = AH2
ΔAHC vuông nên AF.AC = AH2
Suy ra AE.AB = AF.AC
d) Gọi G là giao điểm của AH và EF
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF
Ta có GE = GH ⇒ Tam giác GEH cân ⇒
Lại có tam giác IHE cân Suy ra góc E2 = góc H2
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
e) - Cách 1:
Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)
Do đó EF lớn nhất khi AH = OA
<=> H trùng O hay dây AD đi qua O
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất
- Cách 2: EF = AH = AD/2.
Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất Khi đó, dây AD là đường kính
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất
Bài 42 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1)
Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C
∈ (O') Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) ME.MO = MF.MO'
c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'
Trang 3Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa:
a) MA và MB là các tiếp tuyến của (O) (gt).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
MA = MB
MO là tia phân giác của góc AMB
ΔAMB cân tại M (MA = MB) mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao
=> MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90o
Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và ∠MFA = 90o
MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù ∠AMB và ∠AMC nên ∠EMF = 90o
=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
b) ME.MO = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO vuông)
MF.MO' = MA2 (hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông)
Suy ra ME.MO = MF.MO'
c) Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là
tiếp tuyến của đường tròn (M)
d) Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính
(vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO' IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C Do đó IM ⊥ BC
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Bài 43 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1)
Trang 4Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại A và B (R > r) Gọi I là trung điểm của OO'
Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O'; r) theo thứ tự C và D (khác A)
a) Chứng minh rằng AC = AD
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh rằng KB vuông góc với AB
Gợi ý đáp án
Vẽ hình minh họa
a) Kẻ OM ⊥ AD.
Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây, ta có: MA = MC
Tương tự, kẻ O'N ⊥ AD => NA = ND
Mặt khác, ta có OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD
⇒ OM // IA //O’N
Vậy tứ giác OMNO' là hình thang vuông
Ta còn có: IO = IO' (gt) và IA // OM
Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO'
=> AM = AN hay 2AM = 2AN
Hay AC = CD (đpcm)
b) Ta có OO' là đường nối tâm của (O) và (O') nên OO' là đường trung trực của AB.
Suy ra IH ⊥ AB và IA = IB
Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I)
Nên IH là đường trung bình của tam giác AKB
Trang 5Suy ra IH // KB
Mà IH ⊥ AB
Suy ra KB ⊥ AB (đpcm)