Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước sau Bước 1 Lập hệ phương trình Chọn hai ẩn và đặt điều kiện[.]
Trang 1Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình
Để giải bài toán bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta làm theo ba bước sau:
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu thị mỗi quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp
với bài toán và kết luận
Các dạng toán bằng cách lập hệ phương trình
*Dạng toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
+
+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của
*Dạng toán có nội dung hình học – hóa học
+ Ghi nhớ công thức về diện tích hình chữ nhật: S = a.b (với a, b là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật); diện tích hình tam giác (với a, h lần lượt là độ dài
cạnh đáy và đường cao của tam giác); số đường chéo của một đa giác
(với n là số cạnh của đa giác)
Giải bài tập toán 9 trang 23 tập 2
Bài 31
Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm,
Trang 2cạnh kia giảm 4cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông Điều kiện x >
0, y > 0
Suy ra diện tích tam giác vuông lúc ban đầu là:
Độ dài hai cạnh sau khi tăng thêm 3 cm là: (x+3) (cm) và (y+3) (cm)
Suy ra diện tích tam giác sau khi tăng độ dài cạnh là: cm2
Vì diện tích lúc này tăng thêm 36 cm2 so với ban đầu, nên ta có phương trình:
+ Vì hai cạnh góc vuông đóng vai trò như nhau nên ta chọn cạnh có độ dài x (cm) giảm đi 2cm và cạnh có độ dài y (cm) giảm đi 4cm Khi đó độ dài cạnh sau khi giàm là: (x-2) (cm) và (y-4) (cm) (ĐK: x>2;y>4)
Suy ra diện tích tam giác sau khi giảm độ dài cạnh là: cm2
Lúc này diện tích tam giác giảm 26 cm2.so với ban đầu, nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Xem gợi ý đáp án
Trang 3ỏ ã
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm
Bài 32
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4\dfrac{4}{5} giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \dfrac{6}{5} giờ nữa mới đầy bể Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?
Gọi x (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể
y (giờ) là thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được bể, vòi thứ hai chảy được bể
Suy ra trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được: (bể)
Xem gợi ý đáp án
Trang 4Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy đầy bể sau ờ giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được bể
Ta có phương trình:
Trong 9 giờ, vòi thứ nhất chảy được bể
Trong giờ cả hai vòi chảy được bể
Theo đề bài, vòi thứ nhất chảy 9h sau đó mở thêm vòi thứ hai thì sau giờ đầy bể nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ:
Đặt với a > 0, b> 0
Hệ đã cho trở thành:
Trang 5ỏ ã
Do đó
Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy
Bài 33
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm
3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là: x giờ, người thứ hai hoàn thành công việc một mình là y giờ Điều kiện x > 16, y > 16
Xem gợi ý đáp án
Trang 6Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \dfrac{1}{x} công việc, người thứ hai làm
được công việc
Do đó cả hai người cùng làm chung thì trong 1 giờ làm được: công việc Theo đề bài, hai người làm chung trong 16 giờ thì xong nên trong 1 giờ hai người làm được: công việc
Nên ta có phương trình:
Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được: công việc
Trong 6 giờ người thứ hai làm được: công việc
Theo đề bài, nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được 25 công việc
Nên ta có phương trình:
Ta có hệ phương trình:
Đặt với a > 0, b> 0
Hệ đã cho trở thành:
Trang 7Do đó
Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 24 giờ, người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ
Giải bài tập toán 9 trang 23 tập 2: Luyện tập
Bài 34
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số rau toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây rau cải bắp?
Xem gợi ý đáp án
Trang 8Gọi x là số luống rau, y là số cây mỗi luống.
Điều kiện x > 4, y > 3; x,y ∈ N
Số cây trong vườn là: x.y (cây)
+ Tăng 8 luống, mỗi luống ít hơn 3 cây thì số luống là x + 8, số cây mỗi luống là y – 3
⇒ Tổng số cây trong vườn là (x + 8)(y – 3) cây
Số cây trong vườn ít đi 54 cây nên ta có phương trình:
(x + 8)(y – 3) = xy – 54
⇔ xy -3x + 8y - 24 = xy – 54
⇔ xy -3x + 8y - xy = –54 + 24
⇔ -3x + 8y = –30
⇔ 3x – 8y = 30
+ Giảm 4 luống mỗi luống tăng thêm 2 cây thì số luống là x – 4 và số cây mỗi luống
là y + 2
⇒ Số cây trong vườn là: (x – 4)(y + 2) cây
Số cây trong vườn tăng thêm 32 cây nên ta có phương trình:
(x – 4)(y + 2) = xy + 32
⇔ xy – 4y + 2x – 8 = xy + 32
⇔ 2x – 4y = 40
Ta có hệ phương trình:
Trang 9Số cây rau cải bắp nhà Lan trồng: 50 15 = 750 (cây)
Bài 35
: (Bài toán cổ Ấn Độ) Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là 107 rupi Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi Hỏi giá mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là bao nhiêu rupi?
Gọi x (rupi) là giá tiền mỗi quả thanh yên
Gọi y (rupi) là giá tiền mỗi quả táo rừng thơm
Điều kiện x > 0, y > 0
Mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm hết 107 rupi
⇒ 9x + 8y = 107
Mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là 91 rupi
⇒ 7x + 7y = 91 ⇔ x + y = 13
Ta có hệ phương trình:
Vậy, giá 1 quả thanh yên là 3 rupi; giá 1 quả táo rừng thơm là 10 rupi
Xem gợi ý đáp án
Trang 10Bài 36
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu *):
Điểm số của mỗi lần bắn 10 9 8 7 6
Em hãy tìm lại các số trong hai ô đó
Theo thứ tự từ trái qua phải, ta gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y Điều kiện x > 0, y > 0
Số lần bắn là 100 nên ta có: 25+42+x+15+y=100
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có:
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Xem gợi ý đáp án
Trang 11Vậy theo thứ tự từ trái qua phải, số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.
Bài 37
Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng lại gặp nhau Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là x (cm/s) và y (cm/s) (điều kiện x > y > 0)
Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau 20 giây là: 20x (cm)
Quãng đường đi được của vật thứ hai sau 20 giây là: 20y (cm)
Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là sau 20 giây, vật thứ nhất (tức vật đi nhanh hơn) đi được nhiều hơn vật thứ hai đúng một vòng tròn
Độ dài (chu vi) đường tròn đường kính 20 cm là: (cm)
Ta có phương trình: 20x - 20y = (1)
Quãng đường đi được của vật thứ nhất sau 4 giây là: 4x (cm)
Quãng đường đi được của vật thứ hai sau 4 giây là: 4y (cm)
Khi chuyển động ngược chiều cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây của hai vật là đúng 1 vòng
Ta có phương trình: 4x + 4y = 20π (2)
Xem gợi ý đáp án
Trang 12Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Vậy vận tốc của hai vật là cm/s
Bài 38
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì chỉ được 2/15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy
bể là bao nhiêu?
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: x phút, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: y phút (Điều kiện x > 80, y > 80 )
Trong 1 phút vòi thứ nhất chảy được bể, vòi thứ hai chảy được bể
Nên trong 1 phút cả hai vòi chảy được (bể)
Theo đề bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau 1 giờ 20 phút = 80 phút thì đầy bể nên trong 1 phút cả hai vòi chảy được: (bể)
Xem gợi ý đáp án
Trang 13Do đó ta có phương trình: (1)
Trong 10 phút vòi thứ nhất chảy được bể, trong 12 phút vòi thứ hai chảy được 12 \dfrac{1}{y} bể thì được \dfrac{2}{15} bể, ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đặt
Hệ đã cho trở thành:
Trang 14Suy ra (thỏa mãn)
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 120 phút (2 giờ) thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong 240 phút (4 giờ) thì đầy bể
Bài 39
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế giá trị tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ?
Giả sử không kể thuế VAT người đó phải trả x triệu đồng cho loại hàng thứ nhất, y triệu đồng cho loại hàng thứ hai (Điều kiện: x, y > 0 )
*Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ nhất là:
10% x = = (triệu đồng)
Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế) là:
(triệu đồng)
Số tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là:
Tổng số tiền phải trả cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế) là:
(triệu đồng) Xem gợi ý đáp án
Trang 15Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình:
(1)
* Số tiền mua cả hai loại hàng khi chưa có thuế là: x+y (triệu đồng)
Số tiền thuế phải trả cho cả hai loại hàng với mức thuế 9% là:
9%
Tổng số tiền phải trả (kể cả thuế), là:
Theo đề bài, tổng số tiền phải trả lúc này là: 2,18 triệu đồng, nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Trang 16Vậy số tiền người đó phải trả cho loại thứ nhất là 0,5 triệu đồng khi không có thuế, loại thứ hai là 1,5 triều đồng khi không có thuế