Toán học sinh giỏi
Trang 1Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 12, 2006
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH
Trường học Học sinh giỏi tỉnh Nam Định
Lớp học 12
Năm học 2006
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Nam Định
Bài 1 (5 điểm).
Cho hàm số (với m là tham số)
1 Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x = 0,
gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Tìm cosin của góc giữa (d) và (d')
2 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau
Bài 2 (4 điểm).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương trình:
và đường tròn (C) có phương trình: Từ điểm M trên (C) ta kẻ hai tiếp tuyến đến (E) là và với tiếp điểm theo thứ tự là và
Trang 21 Khi M có hoành độ , hãy viết phương trình các đường thẳng và
2 Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến đường thẳng
Bài 3 (3 điểm).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều OBC.O'B'C', biết: C(1;0;0), O'(0;0;1)
và B nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ Oxy Gọi M, N, E theo thứ tự
là trung điểm các cạnh BC, CC', C'O'
1 Xác định tọa độ của điểm P thuộc đường thẳng OO' để PM = PE
2 Với điểm P vừa tìm được, hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE
Bài 4 (5 điểm).
1 Giải phương trình:
2 Giải phương trình: với
Bài 5 (3 điểm).
1 Chứng minh rằng:
Nếu a là số dương sao cho bất phương trình , nghiệm đúng với mọi
thì
2 Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình:
, nghiệm đúng với mọi số thực x
