Tập mờ và logic mờ

Tập mờ và logic mờ

Tập mờ và logic mờ

TS.Vũ Minh Lộc Niklaus Writh thuộc trường Đại học kỹ thuật Zurich, Thụy Sỹ, người sáng lập ngôn ngữ lập

trinh Pascal đã đưa ra công thức nổi tiếng:

Chương trình = Cấu trúc dữ liệu + Giải thuật (Program = Database + Algorithm)

Trong đó giải thuật là phương pháp giải quyết vấn đề (bài toán) như các thuật giải về sắp xếp, tìm kiếm, thuật giải di truyền, nội suy, lập luận xấp xỉ, các phương pháp xử lý tín hiệu số Nhưng cái khác so với phép giải bài toán là giải quyết vấn đề bằng phương pháp lập trình quyết định bởi Cấu trúc dữ liệu Nếu chọn được cấu trúc dữ liệu tốt thì giải thuật sẽ đơn giản và tối ưu Người ta thường nói một cách đơn giản Cấu trúc dữ liệu là cách tổ chức dữ liệu nhưng thực chất là tìm mô hình toán học để mô phỏng dữ liệu Như vậy “nói đi, nói lại” công nghệ thông tin lại trở về toán học! Sau này nghiên cứu, làm việc ở những lĩnh vực cao hơn như: Nhận dạng, Hệ chuyên gia, Hệ trợ giúp quyết định, Điều khiển tự động chúng ta càng thấy hết

ý nghĩa của việc “tổ chức dữ liệu” hay là tìm một mô hình toán học để mô phỏng đầy đủ đặc trưng hiện tượng khách quan cần nghiên cứu

Đến đây lại có điều thú vị là ta đã biết tập hợp số dùng để biểu diễn mô tả những đại lượng trong đó tập số thực bao gồm tập số hữu tỷ và vô tỷ Tập số hữu tỷ vô hạn nhưng đếm được, tập số vô tỷ cũng là vô hạn nhưng là “vô hạn bậc cao hơn” -không đếm được- tức tập số vô tỷ nhiều hơn tập số vô tỷ Nhưng trong thực tế chúng ta lại thường gặp nhiều số hữu tỷ hơn là số

vô tỷ! Cũng vậy trong hệ trục tọa độ tập số thực chỉ lấp đầy hai hai trục tọa độ nhưng tập tập số

ảo thì lấp đầy cả mặt phẳng tọa độ Tuy nhiên trong đời sống thì số thực thì lại gần gũi chúng ta hơn tập số ảo

Bây giờ chúng ta nói đến khái niệm tập hợp là một khái niệm nền tảng (fundamental) và quan

trọng của toán học hiện đại mà Nhà toán học Georg Cantor được coi là ông tổ của lý thuyết tập hợp Để xác xác định một tập hợp có nhiều phương pháp trong đó người ta dùng hàm đặc

trưng -Indicator function) như sau

Nếu tập A⊂U là không gian tham chiếu, hàm đặc trưng MA(x) để xác định mỗi phần tử x của U có thuộc tập A hay không bởi ánh xạ

MA(x ): U được xác định MA(x)={1

0

x A

x A∈

∉

Nhưng trong cuộc sống không phải lúc nào cũng rõ ràng như vậy, chẳng hạn chúng ta xét một ví dụ sau đây Khi hỏi một người đang ngồi trên ô tô hiện cách nhà bao xa thường thì chúng ta không thể nhận được câu trả lời “ còn cách nhà đúng 12Km” … mà thay vào đó là các

câu trả lời “gần về tới nhà” hay “ còn cách nhà khoảng 10Km” Như vậy các khái niệm “gần” hay “khoảng” là biểu thị cái gì đó không chính xác, không chắc chắn, cảm thấy “lơ mơ, không

rõ rang” và do đó không thể dùng một con số chính xác nào để thể hiện và mô phỏng các khái

niệm đó Để giải quyết vấn đề, người ta đã sáng tạo khái niệm mới trong toán học là “Tập mờ” Định nghĩa tập mờ như sau

Cho không gian tham chiếu U và hàm thuộc µA: U→[0;1] ∀x∈U µA(x) chỉ độ thuộc của x đối với A

Khi đó tập A: được gọi là tập mờ khi mỗi phần tử của A: là cặp (x,µ A (x) ).

Và Kí hiệu tập mờ : A=

( )

|

A x

x U x

µ

Cụ thể nếu U={x1,…xn} khi đó A : ={μA(x1)/x1;……;μA(xn)/xn}

Hoặc kí hiệu như sau : A= 11 22

n

Trong trường hợp hàm µA(x) là liên tục trong không gian tham chiếu U là vô hạn thì kí hiệu tập mờ như sau : A=

( )

A U

x x

µ

∫

Ta có thể cho ví dụ về tập mờ như sau

Xét Khái niệm “gần tới” ở đây không giant ham chiếu là U={5; 6; 7;8;10} (vì đi Ôtô nên khoảng cách gần tới được xem như các giá trị trên tức là 5km,….,10km)

Ký hiệu “gần tới” là và độ thuộc của của các của các phần tử lần lượt là

µA(5)=0.4; µA(6)=0.7; µA(7)=0.8;µA(8)=0.95;µA(10)=0.9 thì A : =0.4 0.7 0.8 0.95 0.9 5 + 6 + 7 + 8 + 10

Lotfi Asker Zadeh là nhà toán học, nhà khoa học máy tính Mỹ, Giáo sư đại học Berkeley tại California đã phát minh Lý thuyết tập mờ vào năm 1965

Các tập mờ hay tập hợp mờ (tiếng Anh: Fuzzy set) là một mở rộng của lý thuyết tập

hợp cổ điển và được dùng trong lôgic mờ Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo kiểu nhị phân theo một điều kiện rõ ràng

- một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc về tập hợp Ngược lại, lý thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp; quan hệ này được mô

tả bằng một hàm liên thuộc (membership function) Các tập mờ được coi là một

mở rộng của lý thuyết tập hợp cổ điển là vì, với một universe (Không giant ham chiếu hay

không gian nền) nhất định, một hàm liên thuộc có thể giữ vai trò của một hàm đặc

trưng (indicator function) ánh xạ mỗi phần tử tới một giá trị 0 hoặc 1 như trong khái niệm cổ

điển

Như vậy về phương diện giải tích mỗi tập mờ ứng với một hàm số và hàm số có đồ thị của

nó Những tập mờ thường gặp đồ thị của hàm độ thuộc (membership function ) có hình dạng là hình tam giác hoặc hình thang mà người ta thường gọi vắn tắt là “tập mờ hình thang” hoặc “tập

mờ hình tam giác” như hình vẽ dưới đây:

h1

Hình 1 Ba tập mờ chỉ các trạng thái nhiệt độ Cold (lạnh), Warm (ấm) và

Hot(nóng) đều có dạng hình thang

Theo hình vẽ này tại điểm h 1 trên trục nhiệt độ ( temperature) chiếu lên đầu tiên ta thấy cắt

tập mờ warm tại điểm mà ta có thể thấy được là “hơi ấm” (little warm), đồng thời cắt tập mờ cold tại điểm mà ta thấy là “tương đối lạnh” (possible cold) Tóm lại ở nhiệt độ h 1 có thể xem

là “hơi ấm” hoặc “tương đối lạnh”

Ngày nay tập mờ và logic mờ được ứng dụng nhiều trong khoa học kỹ thuật đặc biệt trong điều khiển tự động trong hệ trợ giúp quyết định trong tính toán hiệu năng cao… Ví dụ trong máy giặt

có ghi Fuzzy logic Controler như chúng ta đã gặp, máy có thể đo được độ bẩn, chất liệu và trong lượng đồ cần giặt từ đó ấn định mức độ bột giặt, số nước cần dùng và các chức năng cần vận hành để giặt sạch

Tương tự như tập hợp, ta cũng có các phép toán trong tập mờ đó là phép hợp , phép giao, phép lấy phần bù được định nghĩa như sau:

-Cho hai tập hợp mờ A: = { (x,µA(x))|x∈U } và B: = {(x,µB(x))|x∈U } cùng không gian tham chiếu

là U tập mờ C: ={(x,µC(x))|x∈U } là hợp của A: và B: ký hiệu là C: = A: ∪ B:

Trong đó µC(x) = Max{ µA(x), µB(x) }

-Cho hai tập hợp mờ A: = { (x,µA(x))|x∈U } và B: = {(x,µB(x))|x∈U } cùng không gian tham chiếu

là U tập mờ D: ={(x,µD(x))|x∈U } là giao của A: và B: ký hiệu là D: = A: ∩ B:

Trong đó µD(x) = Min{ µA(x), µB(x) }

-Phần bù của tập mờ A: = { (x,µA(x))|x∈U } là tập mờ kí hiệu là A; được xác định như sau

A; ={ (x, 1-µA(x))|x∈U }

Ví dụ

Trong không gian tham chiếu U= {x1, x2…,x9, x10 } cho hai tập mờ

A: =

1

0.4

0.3

0.6

0.9

1.0

0.9

x +_ 10

0.8

x

B: =

1

0.5

0.8

0.6

0.7

1.0

0.4

0.65

x

Thực hiện các phép tính hai tập mờ trên ta có

C: = A: ∪ B:

=

1

0.5

0.8

0.6

0.9

x + 5

0.7

0.85

1.0

0.65

0.9

x +_ 10

0.8

x

D: = A: ∩ B:

=

1

0.4

0.3

0.6

0.4

x

A; = 1

0.6

0.7

0.4

0.1

1.0

1.0

x + 8

1.0

x + 9

0.1

x + 10

0.2

x

Với chú ý rằng một điểm x i không có mặt tập mờ nào đó thì độ thuộc của nó trong tập

mờ đó bằng 0 Ngược lại nếu tại điểm x j mà độ thuộc đối với một tập mờ nào đó bằng 0 thì trong biểu thức biểu diễn tập mờ đó không có x j

Để có hình ảnh cụ thể của các phép toán nói trên chúng ta hãy quan sát các hình dạng của các tập mờ liên quan đến các phép tính

μ

1

A: B:

A: ∩ B:

U

Hình 2 Giao của hai tập mờ A: và B là tập mờ A: ∩ B:

dạng hình tam giác cạnh màu xanh đậm

μ

1

A: B:

A: ∪ B:

U

Hình 3 Phép hợp hai tập mờ, trong đó tập mờ A: có dạng hình tam giác, tập mờ B: có

dạng hình thang, tập mờ A: ∪ B: có hình dạng mà đồ thị của nó tạo bởi đường biên bao ngoài

hai tập mờ trên (phần biên màu đậm)

µ

1-A:

A:

U Hình 4 Tập mờ A: hình tam giác, sau khi thực hiện phép lấy phần bù ta có tập mờ

A; mà hình dạng của nó là đường gấp khúc nét đậm,màu xanh

Lý thuyết tập mờ ngày càng phong phú và hoàn chỉnh, đã tạo nền vững chắc để phát triển logic mờ Có thể nói logic mờ (Fuzzy logic) là nền tảng để xây dựng các hệ mờ thực tiển, ví dụ trong công nghiệp sản xuất xi măng, sản xuất điện năng, các hệ chuyên gia trong y học giúp

chuẩn đoán và điều trị bệnh, các hệ chuyên gia trong xử lý tiếng nói, nhận dạng hình

ảnh, Công cụ chủ chốt của logic mờ là tiền đề hóa và lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ

Chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề này trong bài tiếp theo “Logic mờ và một số ứng

dụng”