phương pháp pthh + sap2000

Các tham số này lại được biểu diễn qua giá trị của hàm và có thể cả đạo hàm của nó tại vị trí các điểm nút trên phần tử.. Đối với bài toán kết cấu, các thành phần của ma trận [ ]N biểu

phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Khái niệm về phương pháp Phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) là một phương pháp

số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một ẩn hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy

nhiên, FEM không

nhất là đối với bài

toán kết cấu, trong

đó ẩn hàm cần tìm

có thể được xác

định trên các miền

phức tạp với nhiều

điều kiện biên khác nhau

Như vậy, đối với FEM miền tính toán V được thay thế bởi một số hữu hạn các miền con Ve được gọi là phần tử Các phần tử này chỉ được nối với nhau bởi các điểm định trước trên biên gọi là nút Trong phạm vị mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được xấp xỉ theo một dạng phân bố xác định nào đó Các hệ số của hàm xấp xỉ được gọi là các tham số hay các tọa độ tổng quát Các tham số này lại được biểu diễn qua giá trị của hàm (và có thể

cả đạo hàm của nó) tại vị trí các điểm nút trên phần tử Các giá trị tại nút được gọi là bậc

t ự do của phần tử và được xem là các ẩn số cần tìm của bài toán Như vậy các hệ số của

hàm xấp xỉ có ý nghĩa vật lý xác định, do vậy nó rất dễ thỏa mãn điều kiện biên của bài toán Đây cũng chính là ưu điểm nổi bật của FEM so với các phương pháp khác

Để có thể nghiên cứu cụ thể FEM, ta cần thống nhất một số ký hiệu và làm quen với các khái niệm sau:

+ Phần tử (element) là các miền con thuộc miền V của trên cấu Do yêu cầu của

phương pháp, miền V phải được rời rạc hóa thành các phần tử

Hình H-1.2 – Mô hình ph ần tử hữu hạn của hệ dàn không gian

+ Nút (node hay joint) là các điểm định trước trên biên phần tử mà thông qua các

nút này mà các phần tử được nối với nhau tạo thành một miền liên tục

+ Hàm xấp xỉ (approximation function) biễu diễn dạng phân bố của ẩn hàm cần tìm

theo một quy luật nào đó trong phạm vi từng phần tử

+ Vectơ chuyển vị nút phần tử { }q e(hay vectơ bậc tự do của phần tử) chính là tập hợp tất các bậc tự do của các nút thuộc về phần tử đó

+ Vectơ chuyển vị nút kết cấu { }q (hay vectơ chuyển vị nút tổng thể) chính là tập hợp tất cả các bậc tự do của tất cả các nút trong kết cấu

+ Vectơ các tham số { }a (hay vectơ các tọa độ tổng quát) là các tham số của hàm xấp xỉ Theo FEM, các tham số này sẽ không được tính trực tiếp mà sẽ được biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút của phần tử

+ Các khái niệm hàm dạng [ ]N (shape function), ma trận độ cứng [ ]K (stiffness

matrix), vectơ tải { }P (load vector)… sẽ được trình bày khi thành lập các phương trình cơ bản của FEM

Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu, người ta chia làm 3 mô hình sau đây:

(i) Mô hình tương thích biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Ẩn số

là các chuyển vị và đạo hàm của nó được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên

cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange hay nguyên lý thế năng toàn phần dừng

(ii) Mô hình cân bằng biễu diễn dạng gần đúng của ứng suất hoặc nội lực bên trong

phần tử Ẩn số là các lực tại nút đựơc xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano hay nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng

(iii) Mô hình hỗn hợp biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị và ứng

suất trong phần tử Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt Ẩn số được xác định từ hệ phương trình thành lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Helinge Trong ba mô hình trên thì mô hình tương thích được dùng rộng rãi hơn cả Hai mô hình còn lại chỉ sử dụng hiệu quả trong một số bài toán Phần mềm SAP2000 sử dụng mô hình tương thích để phân tích kết cấu

1.2 Hàm xấp xỉ

1.2.1 Lựa chọn hàm xấp xỉ

Như đã trình bày ở trên, các ẩn hàm cần tìm được xấp xỉ hóa trên mỗi phần tử Như vậy việc lựa chọn hàm xấp xỉ phải mô tả gần đúng đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử Thông thường hàm xấp xỉ hay được chọn ở dạng đa thức Hàm xấp xỉ cũng có thể sử dụng dạng lượng giác

Ưu điểm của hàm xấp xỉ dạng đa thức:

+ Đa thức khi được xem là tổ hợp tuyến tính các đơn thức thì tập hợp các đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính

+ Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán đạo hàm và tích phân

+ Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ

Ví dụ:

Trong bài toán 1-D, hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức như sau:

( )x a a x

3 2

x

x x 1 x a

x a a

3 2 1

n 2

1 n n 2

+ +

xy y x y x 1 xy a y a x a y a x a a

2 2 6

2 5

2 4 3 2

+ +

+ +

=

Bài toán 3-D:

[P(x,y,z)] { }a)

[P(x,y,z)] được gọi là ma trận các đơn thức

{ }a được gọi là vectơ các tham số (hay vectơ tọa độ tổng quát)

1.2.2 Chọn bậc của đa thức xấp xỉ

Về nguyên tắc, nếu chọn bậc của đa thức xấp xỉ càng cao thì kết quả xấp xỉ càng chính xác Tuy nhiên, đa thức được chọn phải thỏa mãn các yêu cầu sau đây:

(i) Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức là:

+ Liên tục trong phạm vi phần tử Điều này đương nhiên thỏa mãn nếu chọn hàm xấp xỉ ở dạng đa thức

+ Bảo đảm tồn tại trạng thái đơn vị trong phần tử và các đạo hàm riêng của nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I(u) đòi hỏi (Xem lại phương pháp biến phân của Lý thuyết đàn hồi)

(ii) Đa thức xấp xỉ được chọn không làm mất tính đẳng hướng hình học:

+ Để đáp ứng yêu cầu này, ta có thể chọn dạng các đa thức từ tam giác Pascal (bài toán 2-D) hay từ tháp Pascal (bài toán 3-D) Đối với xấp xỉ của bài toán 1-D thì yêu cầu này tự nhiên thỏa mãn

Hình H-1.2 – (a) Tam giác Pascal - (b) Tháp Pascal

Thí dụ:

Với bài toán 2-D, muốn dùng hàm xấp xỉ đến bậc 2, ta sẽ lấy các số hạng đến tầng thứ 2 của tam giác Pascal, khi đó hàm xấp xỉ sẽ là:

xy a y a x a y a x a a )

=

Với bài toán 3-D, hàm xấp xỉ bậc 2 sẽ được lấy đến tầng thứ 2 của tháp Pascal:

xz a zy a xy a z a y a x a z a y a x a a )

2 5 4 3 2

=

(c) S ố tham số trong vectơ { }a ph ải bằng số bậc tự do của phần tử { }q e:

+ Yêu cầu này cần được đảm bảo, như thế mới có thể nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút Muốn tăng bậc của đa thức xấp xỉ lên, ta cũng phải tăng số bậc tự do của phần tử lên, ta sẽ có được các phần tử bậc cao

1.3 Hàm dạng

Vectơ các bậc tự do { }q e của phần tử (hay vectơ chuyển vị nút phần tử) là tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử Các bậc tự do này chính là ẩn số cần tìm của bài toán khi phân tích theo phương pháp phần tử hữu hạn

Sau khi lựa chọn hàm xấp xỉ, chúng ta phải biểu diễn các đa thức xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút phần tử { }q e Ta nói rằng, các đa thức này được nội suy theo { }q e Thực chất là ta phải đảm bảo rằng giá trị của đa thức xấp xỉ (hay đạo hàm của nó) tại các điểm nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng bậc tự do của phần tử Hay nói cách khác, nếu ta thay thế tọa độ các điểm nút trên phần tử vào trong hàm xấp xỉ thì phải cho giá trị đúng bằng chuyển vị nút Trong trường hợp tổng quát, nếu phần tử có r nút, ta có:

{ }q e)

(

u

) 1 node

Ta thay tọa độ các nút vào các đa thức xấp xỉ, thực hiện đồng nhất và biểu diễn theo (1.1), ta có:

r r r

2 2 2

1 1 1

r r r

2 2 2

1 1 1

q a A a )]

z , y , x ( P [

)]

z , y , x ( P [

)]

z , y , x ( P [

) z , y , x ( u

) z , y , x ( u

) z , y , x ( u

) node

(

u

) 1 node

= (1.5) được gọi là ma trận các hàm nội suy hoặc ma trận các hàm dạng Thực chất là ma trận [ ]N dùng để biểu diễn các hàm xấp xỉ theo vectơ chuyển vị nút phần tử { }q e hay nội suy theo { }q e Nhìn vào biểu thức (1.4), có thể thấy, chuyển vị của các điểm bên trong phần tử được tính theo các chuyển vị nút của phần tử bằng ma trận các hàm dạng [ ]N Đối với bài toán kết cấu, các thành phần của ma trận [ ]N

biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử ứng với các chuyển vị nút bằng đơn

là chuyển vị theo phương chịu kéo

(nén) Do vậy vectơ chuyển vị nút

sẽ là:

j i

T e 2 1

x

u

2

1 2

1

a

a L 1

0 1 L a a

a ) L x ( u

) 0 x ( u ) 2

node

(

u

1) (node

1 0

1 A

L 1

0 1

Từ (1.5) ta có ma trận các hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén):

Hình H-1.3

Hình H-1.4

L

x L

x 1 L

1 L

1 x 1 A ) x ( P

x 1 q

q L

x L

x 1 q

Thí dụ 1-2: Tìm ma trận các hàm dạng của phần tử dầm chịu uốn 2 nút (H-1.4)

Đối với dầm chịu uốn, mỗi nút

T 4 3 2

a x x x 1 x a x a x a a

1 3 2 3

4

2 3 2

1 2 2

4 3 2

a a a

a x x 1 0 x a x a a dx

3 2 1

2

3 2 2

4 3 2

3 4

2 3 2 1 2 1

a a a

L 3 L 2 1 0

L L L 1

0 0 1 0

0 0 0 1

L a 3 L a 2 a

L a L a L a a a a

) L x

(

) L x

(

v

) 0

x

(

) 0 x

+ + +

3

2 2

1

2

3 2

L / 1 L / 2 L / 1 L / 2

L / 1 L / 3 L / 2 L / 3

0 0

1 0

0 0

0 1

A L

3 L 2 1 0

L L L 1

0 0 1 0

0 0 0 1 A

Ma trận các hàm dạng được xác định như sau:

2 3

2 3

2 2

3 2 1

N N N N L

/ 1 L / 2 L / 1 L / 2

L / 1 L / 3 L / 2 L / 3

0 0

1 0

0 0

0 1

x x x 1 A ) x (

2 1

L

x 2 L

x 3 1

L

x L

x 2 x

L

x 2 L

x 3

L

x L

{ }u =e [ ]N { }q e

Theo phương trình Cauchy của Lý thuyết đàn hồi (xem thêm bài tập 1 ở phần bài tập cuối chương), ta có thể tính được các thành phần biến dạng:

{ }ε e =[ ]∂ { }u e =[ ][ ]∂ N { }q e =[ ]B { }q e (1.6)

Trong đó: [ ] [ ][ ]B = ∂ N được gọi là ma trận tính biến dạng (1.7)

Để tính ứng suất của các điểm thuộc phần tử, ta áp dụng định luật Hooke Nếu bỏ qua thành phần ứng suất và biến dạng ban đầu, ta có:

Thay (1.6) vào (1.8), ta được:

Trong đó: [ ] [ ][ ]S = D B được gọi là ma trận tính ứng suất (1.10)

Để tìm được phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng các nguyên lý biến phân Lagrange (tương tự như các phương pháp Ritz và Galerkin trong phương pháp biến phân) Thế năng toàn phần của phần tử sẽ là:

{ }

∏

e e

e T V

e T V

e

T e e

e T

V

e T V

e T

T e e

{ }

e e e

T e e

Vectơ chuyển vị nút phần tử { }q e sẽ có kích thước (ne x 1)

Vectơ chuyển vị nút tổng thể { }q sẽ có kích thước (n x 1)

Thực chất, { }q e là một thành phần của { }q , do đó giữa hai vectơ chuyển vị nút phần

tử và tổng thể sẽ có mối quan hệ với nhau theo biểu thức:

Trong đó: [ ]L e (ne x n) gọi là ma trận định vị

phần tử Ma trận này cho thấy hình ảnh sắp xếp của

{ }q e trong { }q

Thí dụ 1-3: Hãy biểu diễn vectơ chuyển vị nút

{ }q e của các phần tử theo vectơ chuyển vị nút { }q

của kết cấu dàn phẳng như trên hình H-1.6

Kết cấu gồm N = 6 phần tử, tổng số nút R = 4

nút, mỗi nút có s = 2 bậc tự do là 2 thành phần

chuyển vị trong mặt phẳng dàn, mỗi phần tử có r = 2

nút Như vậy, vectơ { }q sẽ có tất cả R x s = 4 x 2 = 8

thành phần thành phần, cụ thể:

8 7 6 5 4 3 2

2 1 4 3

4 3 8 7

q =

6 5 8 7

6 5 4 3

2 1 8 7

q =

Ta biểu diễn vị trí sắp xếp của các { }q e trong { }q bằng ma trận định vị [ ]L e:

Hình H-1.6

q

q q

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

2

q

q q

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 q

3

q

q q

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

4

q

q q

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 q

5

q

q q

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

6

q

q q

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 q

e

T e e

e

T e T N

0 q

0 q

0

n

2 1

Phương trình (1.19) chứa ẩn hàm là các chuyển vị nút{ }q Tuy nhiên, khi ta áp dụng các nguyên lý thế năng để thành lập phương trình này, ta chưa áp đặt điều kiện biên cho

hệ kết cấu Do vậy ma trận [ ]K là suy biến và không tồn tại ma trận nghịch đảo Ta phải đưa thêm vào các điều kiện biên để đảm bảo hệ là bất biến hình Sau khi áp đặt điều kiện biên cho { }q (áp đặt điều kiện biên tại các nút), phương trình (1.19) sẽ trở thành:

+ Về mặt cơ học, phương trình (1.22) biễu diễn điều kiện cân bằng của vật thể tại các điểm nút của kết cấu

Chú ý: đối với các nút có lực tập trung tại nút (thường gặp trong hệ dàn), ta phải kể thêm các ngoại lực tập trung tại nút { }P n vào vectơ tải { }P

1.4.3 Ghép nối phần tử bằng ma trận chỉ số

Ma trận cứng và vectơ tải tổng thể có thể tính trực tiếp từ công thức (1.20) và (1.21) Tuy nhiên, để tiện lợi ta dùng hệ thống chỉ số để đánh số cho các bậc tự do của nút như sau:

i

P của vectơ { }P e sẽ được cộng thêm vào phần tử P m của { }P với m = bei

Thí dụ 1-4: Lập ma trận chỉ số của hệ dầm liên tục sau để xây dựng ma trận cứng

Ma trận chỉ số [ ]

) 3 (

) 2 (

) 1 (

8 7 6 5

6 5 4 3

4 3 2 1 b

k dx

k k

k k k

k k k k

K

4 3 2 1

1 44

1 34

1 33

1 24

1 23

1 22

1 14

1 13

1 12

1 11

k dx

k k

k k k

k k k k K

6 5 4 3

2 44

2 34

2 33

2 24

2 23

2 22

2 14

2 13

2 12

2 11

k dx

k k

k k k

k k k k

K

8 7 6 5

3 44

3 34

3 33

3 24

3 23

3 22

3 14

3 13

3 12

3 11 3

P P P

P P

1 4

1 3

1 2

1 1

P P P

P P

2 4

2 3

2 2

2 1

P P P

P P

3 4

3 3

3 2

3 1

Ma trận độ cứng tổng thể:

[ ]

8 7 6 5 4 3 2 1

k

k k dx

k k k k

k k k k k k

k k

k k

0 0 k

k k

k k k

0 0 0

0 k

k k

0 0 0

0 k

k k

k

K

8 7 6

5 4

3 2

1

3 44

3 34

3 33

3 24

3 23

3 22

2 44

3 14

3 13

3 12

2 34

3 11

2 33

2 24

2 23

2 22

1 44

2 14

2 13

2 12

1 34

2 11

1 33

1 24

1 23

1 22

1 14

1 13

1 12

+

+ +

=

Vectơ tải tổng thể: { }

8 7 6 5 4 3 2 1

P P

P P

P P

P P

P P P P

P

3 4

3 3

3 2

2 4

3 1

2 3

2 2

1 4

2 1

1 3

1 2

1 1

=

1.5 Phép chuyển trục tọa độ

Khi thành lập các ma trận cứng phần tử [ ]K e và vectơ tải phần tử { }P e, chúng ta đã

sử dụng hệ tọa độ của phần tử Hệ tọa độ này được gắn liền với mỗi phần tử sao cho việc thiết lập các công thức trở nên đơn giản nhất Hệ tọa độ này được gọi là hệ tọa độ địa phương (local coordinate system)

Tuy nhiên trong thực tế, hệ kết cấu gồm nhiều phần tử khác nhau, nên các hệ tọa độ địa phương cũng khác nhau và chuyển vị nút của mỗi phần tử sẽ khác nhau Do vậy cần

có hệ tọa độ tổng thể dùng chung cho tất cả các phần tử trong hệ kết cấu Hệ này được gọi là hệ tọa độ tổng thể (global coordinate system)

Gọi hệ tọa độ địa phương là xyz, hệ tọa độ tổng thể là x’y’z’

Tất cả các ma trận cứng phần tử, vectơ tải phần tử sau khi được tính toán trong hệ tọa độ địa phương được quy chiếu sang hệ tọa độ tổng thể theo công thức:

1.6 Trình tự phân tích bài toán theo FEM

Tóm lại, khi phân tích bài toán kết cấu theo FEM, chúng ta cần thực hiện theo trình

tự các bước sau đây:

Bước 1: Rời rạc hóa kết cấu

+ Phân chia hệ kết cấu thành các phần tử có dạng hình học đơn giản, nối với nhau bởi các điểm nút

+ Tiến hành đánh số theo hệ thống chỉ số phần tử và hệ thống chỉ số tổng thể

Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

+ Tùy theo loại phần tử mà chọn hàm xấp xỉ thích hợp

+ Nội suy hàm xấp xỉ theo vectơ các bậc tự do của phần tử { }q e

Đây chính là hệ thống phương trình để giải

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số [ ]K * { } { }q * = P *

Kết quả nhận được là vectơ chuyển vị nút tổng thể { }q *

Bước 6: Tìm ứng suất, chuyển vị và biến dạng của tất cả các phần tử

1.7 Các thí dụ tính toán

1.7.1 Bài toán hệ thanh dàn

Giải hệ dàn phẳng cho sau đây theo phương pháp phần tử hữu hạn, cho biết các thanh đứng và ngang có tiết diện F, các thanh xiên có mặt cắt ngang là F

2

2 , các kích thước hình học cho như hình H-1.6

Hình H-1.6 (a) S ơ đồ kết cấu; (b) Rời rạc hóa kết cấu, đánh chỉ số bậc tự do

Thực hiện làm các bước như sau:

B ước 1: Rời rạc hóa kết cấu và đánh số nút, đánh số phần tử Mỗi mắt dàn được

xem là một nút Nút thứ i sẽ có 2 bậc tự do là (2i-1) và 2i

Thiết lập ma trận chỉ số [ ]

) 6 (

) 5 (

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

8 7 6 5

4 3 8 7

4 3 6 5

4 3 2 1

2 1 8 7

2 1 6 5

B ước 2: Chọn hàm xấp xỉ và đi tính toán các ma trận [ ]N , [ ]B , [ ]S

Đối với thanh chịu biến dạng dọc trục, ta đã xác định được hàm dạng:

L

x L

x 1 L

1 L

1 x 1 A ) x ( P

1 L

x L

x 1 dx

d N B

Ma trận tính nội lực trong hệ tọa độ tổng thể [ ]S = ' e EF[ ][ ]B T e, cụ thể:

L

EF s c 0 0

0 0 s c L

1 L

1 EF

1 L

1 dV B D B K

L

0 V

T e

2 2

2 2

e e

T

e

e

s dx

cs c

s cs s

cs c

cs c

L

EF s c 0 0

0 0 s c 1 1

1 1 L EF

s 0

c 0

0 s

0 c T K

T

'

Với kí hiệu c = cosα, s = sinα, α là góc hợp bởi trục phần tử và trục x’

Chú ý rằng, việc xác định nút đầu và nút cuối của mỗi phần tử phải tương ứng với việc xác định góc nghiêng α của mỗi phần tử Để tiện cho việc tính toán, ta sẽ tính sẵn các đại lượng của các phần tử trong bảng:

2 1 6 5

0 dx

0 1

0 0 0

0 1 0 1

a

EF '

K

'

K

2 1 6 5

4 3 8 7

4 3 2 1

1 dx

0 0

1 0 1

0 0 0 0

a

EF '

K ' K

4 3 2 1

8 7 6 5

6 3

1 dx

1 1

1 1 1

1 1 1 1

a 4

EF

'

K

2 1 8 7

1 dx

1 1

1 1 1

1 1 1 1

a 4

EF '

K

4 3 6 5

Nhận thấy hệ dàn chỉ có các lực tập trung tại các mắt dàn, không có tải trọng phân

bố đều trên phần tử nên ta có:

{ } { }P '1 = P '2 = ={ }P ' 6 ={ }0

Vectơ các lực nút:

4 4 3 3

'

P

8 7 6 5 4 3 2 1

−

=

Các lực H3, V3, H4, V4 chính là các phản lực chưa biết tại nút 3 và 4

B ước 4: Thực hiện lắp ghép [ ]K ' e và { }P ' e theo ma trận chỉ số [ ]b , ta có:

Ma trận độ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể:

[ ]

8 7 6 5 4 3 2 1

5

1 5 đx

4 0 5

0 0 1 5

0 0 1 1 5

0 4 1 1 1 5

1 1 0 0 4 0 5

1 1 0 4 0 0 1 5

V H V H 0 0 P 0

' P

4 4 3 3

Áp đặt điều kiện biên tại các nút 3 và 4, ta có q5 = q6 = q7 = q8 = 0, ta được hệ thống phương trình để giải bằng cách xóa đi các cột và hàng 5, 6, 7, 8 của ma trận độ cứng tổng thể, và xóa đi các hàng 5, 6, 7, 8 của vectơ tải tổng thể, cuối cùng:

[ ]

4 3 2 1

5 đx

1 5

4 0 5

0 0 1 5

a 4

EF

'

K

4 3 2 1

' q

' q

' q

' q q

4 3 2

0 0 P

0 '

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q

q

4 3 2

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q

'

q

2 1 6 5

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q ' q

2 1 8 7

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q ' q

4 3 2 1

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q

'

q

4 3 6 5

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q ' q

4 3 8 7

EF 11 Pa

' q

' q

' q

' q ' q

8 7 6 5

6

B ước 6: Tính lực dọc trong các thanh dàn

Nội lực được tính toán theo ma trận tính nội lực [ ]S ' e, cụ thể:

11 6

30 6 0 0

EF 11

Pa 0 1 0 1 a

EF '

q '

30 6 0 0

EF 11

Pa 2

2 2

2 2

2 2

2 a 2

EF '

q '

25 5 30 6

EF 11

Pa 1 0 1 0 a

EF '

q '

[ ] { } P

11

2 5

25 5 0 0

EF 11

Pa 2

2 2

2 2

2 2

2 a 2

EF '

q '

25 5 0 0

EF 11

Pa 0 1 0 1 a

EF '

q '

EF 11

Pa 1 0 1 0 a

EF '

q '

1.7.2 Bài toán hệ khung phẳng

Giải bài toán khung phẳng sau đây theo FEM (hình 1.7)

0 0

EJ=const

x'

y'

1 2

B ước 1: Thực hiện chia kết cấu thành 2 phần tử bởi các nút 1, 2, 3 Thực hiện đánh

chỉ số các bậc tự do Thông thường đối với hệ khung phẳng, mỗi nút của kết cấu sẽ có 3 bậc tự do gồm: 2 chuyển vị theo phương x và y, 1 chuyển vị xoay trong mặt phẳng xy Như vậy, hệ thống sẽ có tất cả 3 × 3 = 9 bậc tự do Tuy nhiên, đối với hệ khung ta chỉ quan tâm đến chuyển vị thẳng góc với trục phần tử và chuyển vị xoay (phần tử dầm chịu

uốn) và bỏ qua thành phần biến dạng dọc trục (tương tự như trong Cơ học kết cấu, người

ta b ỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt so với ảnh hưởng của mômen uốn khi tính

) 1 ( 0 0 0 2 0 0

2 0 0 1 0 0

[ ] [ ][ ] [ ] [ 1 2 3 4]

2 3

2 3

2 2

3 2 1

N N N N L

/ 1 L / 2 L / 1 L / 2

L / 1 L / 3 L / 2 L / 3

0 0

1 0

0 0

0 1

x x x 1 A ) x (

2 1

L

x 2 L

x 3 1

L

x L

x 2 x

L

x 2 L

x 3

L

x L

3

L F

T V

T e

L 4 dx

L 6 12

L 2 L 6 L 4

L 6 12 L 6 12

L

EJ dx dF B B E dV B D B K

2

2 2

2 2

2 2

e e

T e e

L 4

Lc 6 c 12 dx

Ls 6 cs 12 s

12

L 2 Lc 6 Ls 6 L 4

Lc 6 c 12 cs 12 Lc 6 c 12

Ls 6 cs 12 s

12 Ls 6 cs 12 s

12

T K T

0 c s 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 c s

a 4

0 0 dx

a 6 0 12

a 2 0 a 6 a 4

0 0 0 0 0

a 6 0 12 a 6 0 12

2

2 2

3 1

[ ]

0 0 0 2 0 0

a 4

a 6 12 dx

0 0 0

a 2 a 6 0 a 4

a 6 12 0 a 6 12

0 0 0 0 0 0

2

2 2

3 2

2 4 a

EJ 2

1 a a dx

a a

a

EJ

K

2 1

2 2

2 2

3

*

Để xác định nhanh vectơ tải phần tử { }P ' e, ta chỉ cần phân phối các lực trên phần tử

về nút, sau đó chiếu lên phương trục x’ và y’ (hệ tọa độ tổng thể) Cụ thể:

{ }

2 0 0 1 0 0

12

qa02

qa12

qa02 qa

0 0 0 0 0 0

qa 2

1

12

qa12

qa '

P

2 2

qa '

q

' q 8 2

2 4 a

EJ '

P '

q

'

K

2 2

qa 168

1 '

q

'

2 1

Kết quả chính là chuyển vị xoay tại nút 1 và nút 2

B ước 5: Tính toán nội lực

Xác định mômen trong phần tử Chú ý đến góc nghiêng α của mỗi phần tử

3 0 0 5 0 0

EJ

qa 168

1 a

4 0 a 6 a 2 0 a 6

a 2 0 a 6 a 4 0 a 6 a

EJ M

M M

2 3

2 2

2 2

3 ) 1 ( 2

1 )

0 0 0 3 0 0

EJ

qa 168

1 a

4 a 6 0 a 2 a 6 0

a 2 a 6 0 a 4 a 6 0 a

EJ M

M M

2 3

2 2

2 2

3 ) 2 ( 2

1 )

2

(

Biểu đồ mômen chính xác phải được hiệu chỉnh bằng cách “cộng thêm” biểu đồ

mômen M0 khi xem các nút bị gắn cứng (hình H.1-8)

2

Phần mềm phân tích kết cấu SAP2000

2.1 Giới thiệu phần mềm SAP2000

Bộ phần mềm SAP2000 được giáo sư Edward L Wilson và các cộng sự (đại học California, Berkeley, Mỹ) nghiên cứu lập ra dựa trên các phương pháp số và phương pháp phần tử hữu hạn trong cơ học Ban đầu, phần mềm này chỉ là các chương trình đơn

lẻ, chạy trên các máy tính lớn, phục vụ cho công tác nghiên cứu là chính

Phiên bản đầu tiên của chương trình mang tên SAP (Structural Analysis Program)

ra đời vào năm 1970 Các phiên bản kế tiếp là SAP3, SAP-IV… Bộ phần mềm mang tính thương mại đầu tiên là SAP80 (SAP-VI), được phát triển bởi công ty Computer & Structure Inc – CSI

SAP2000 (SAP-VII) là một bước đột phá của họ phần mềm SAP SAP2000 đã tích hợp các chức năng phân tích và thiết kế kết cấu thành một Ngoài ra, ở SAP2000 còn được bổ sung thêm các loại phần tử mẫu và khả năng phân tích kết cấu phi tuyến (nonlinear) Toàn bộ các quá trình từ xây dựng mô hình kết cấu (pre-processing), thực hiện phân tích (processing) đến biểu diễn kết quả (post-processing) đều có giao diện đồ họa trực quan (visual graphics) dễ sử dụng Do vậy phần mềm SAP2000 hiện nay đang được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cũng như tính toán thiết kế công trình

2.2 Các phiên bản chính của SAP2000

SAP2000 V7.42 có các phiên bản sau:

+ Phiên bản phi tuyến (Nonlinear Version) có khả năng phân tích các bài toán tĩnh, động lực học, phi tuyến, thiết kế kết cấu bê tông, kết cấu thép… với bốn loại phần tử mẫu khác nhau, số lượng nút của kết cấu là không giới hạn

+ Phiên bản chuẩn (Standard Version) chỉ giải quyết được các bài toán có số lượng nút tối đa khoảng 1500 nút, không phân tích được bài toán phi tuyến

+ Phiên bản nâng cao (Plus Version) có khả năng tương tự như bản Nonlinear, nhưng không phân tích được bài toán phi tuyến

+ Phiên bản dùng cho học tập (Education Version) khả năng tương tự như bàn phi tuyến, nhưng hạn chế số nút tối đa là 100 nút

Với phiên bản SAP2000 V10 hiện nay, có 03 phiên bản:

+ Phiên bản BASIC có các tính năng tương tự như các phiên bản trước nhưng được cải tiến ở phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính của FEM giúp chương trình chạy nhanh hơn, bổ sung thêm các phần tử chỉ chịu kéo, phần tử thanh căng ứng suất trước (post-tensioned tendon), phần tử shell có độ chính xác cao hơn, khả năng phân tích động lực nhiều trường hợp tổ hợp trong cùng một lần chạy…

+ Phiên bản PLUS tương tự như BASIC nhưng được bổ sung khả năng phân tích về cầu, phân tích miền tần số, phổ thời gian, tải trọng động đất…

+ Phiên bản ADVANCE bổ sung thêm các phần tử phi tuyến, phân tích phổ thời gian phi tuyến bằng phương pháp chồng chất mô hình hoặc tích phân trực tiếp, phân tích bài toán ổn định (buckling analysis)…

2.3 Khả năng phân tích kết cấu của SAP2000

Trong SAP2000 V7.42 người dùng có thể mô tả nhiều loại tải trọng khác nhau như lực tập trung, lực phân bố đều hoặc hình thang, tải trọng do nhiệt độ, tải trọng do phổ gia tốc, tải trọng điều hòa và tải trọng di động…

Các loại bài toán kết cấu mà SAP2000 có thể thực hiện gồm có:

+ Bài toán phân tích tĩnh (static analysis)

+ Bài toán tính tần số dao động riêng và các dạng dao động (modal analysis)

+ Bài toán tính đáp ứng độc lực học (response analysis) với tải trọng ngoài thay đổi theo thời gian hay phổ gia tốc

2.4 Cài đặt phần mềm SAP2000 (7.42)

Phần mềm SAP2000 chạy trên hệ điều hành WINDOWS 95/98/NT Ngoài ra phiên bản Plus và Nonlinear có khả năng chạy trên mạng WINDOWS NT (v3.5) và NETWARE theo mô hình Client/Server Để cài đặt trên mạng cần có thêm các driver cho mạng kèm theo phần mềm

Yêu cầu hệ thống:

+ Hệ điều hành WINDOWS 95/98/NT

+ Bộ nhớ RAM tối thiểu 12MB (nên có16MB)

+ Đĩa cứng còn trống tối thiểu 10MB (nên có 40MB)

+ Bộ xử lý (CPU): tối thiểu 486DX-4 (nên có Pentium 100)

+ Card đồ họa: VGA hay SVGA

+ Máy in, máy vẽ

Người dùng cài đặt phần mềm SAP2000 theo hướng dẫn của nhà sản xuất

2.5 Cấu trúc của SAP2000

Chương trình được cấu trúc dưới dạng file thực thi chương trình (Sap2000.exe), nó

sẽ lần lượt gọi các tập tin và hàm phụ trợ (*.DLL) trong quá trình thực hiện

File dữ liệu của SAP2000 có phần mở rộng là *.SDB và *.S2K Đối với file S2K, người dùng có thể dùng một phần mềm soạn thảo để hiệu chỉnh

Các file kết quả bao gồm *.EKO chứa thông tin về dữ liệu nhập vào, file OUT chứa tất cả các kết quả được xuất ra

Các tập tin dạng JOB lưu dữ liệu của SAP2000 dưới dạng nhị phân

Các tập tin DXF lưu dữ liệu mô hình kết cấu ở dạng của AUTOCAD

SAP2000 hỗ trợ môi trường làm việc tương tự như một phần mềm CAD Toàn bộ quá trình xây dựng mô hình được thực hiện bằng các đối tượng điểm, đường thẳng, tam giác… Sau khi các đối tượng này được gán các đặc trưng cơ lý riêng thì chúng trở thành các phần tử của kết cấu1

1 Đối với SAP90 trở về trước, người dùng phải tạo ra các loại nút, phần tử… sau đó nối chúng lại với nhau thành mô hình kết cấu Việc làm này gây tốn kém nhiều thời gian khai báo dữ liệu nhập vào

2.6 Trình tự phân tích kết cấu bằng SAP2000

Khi thực hiện phân tích một bài toán kết cấu, người dùng thường thực hiện theo trình tự các bước sau đây:

Xây dựng mô hình kết cấu

Định nghĩa các nhóm vật liệu

Khai báo các đặc trưng hình học và gán cho phần tử

Định nghĩa các trường hợp tải

Thực hiện giải bài toán

Xem biểu diễn kết quả

và xuất kết quả

Dùng các công cụ xây dựng hình học hoặc lấy từ thư viện kết cấu mẫu (Templates)

3

Phân tích kết cấu với SAP2000

3.1 Bài thực hành số 1 - Hệ dàn

3.1.1 Các quy ước cơ bản

SAP2000 sử dụng ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu lực tổng quát (frame element) cho các kết cấu dạng thanh Đối với thanh dàn, do chỉ có thành phần lực dọc xuất hiện trong các thanh và chịu biến dạng dọc trục nên ta chỉ cần khai báo duy nhất giá trị diện tích tiết diện ngang (cross section area), các số liệu khác ta sẽ gán bằng 0

Các tải trọng tác dụng lên thanh dàn chỉ tác dụng tại nút, do đó ta chỉ cần khai báo các tải tập trung:

Assign →→→ Joint static loads →→→ Forces…

Chú ý, khi tính toán với SAP2000, hệ số tải

trọng bản thân của kết cấu sẽ mặc định là 1 và

chương trình sẽ tự động tính toán giá trị tải trọng bản

thân kết cấu Điều này dẫn đến việc xuất hiện các

mômen uốn và lực cắt trong thanh dàn Thông

thường với hệ dàn, người ta bỏ qua tải trọng bản

thân, hoặc quy đổi tải trọng tương đương về các mắt

dàn Để loại bỏ điều này, chúng ta có thể thực hiện

02 cách sau đây:

Cách 1:

Gán các số liệu về trọng lượng của kết cấu bằng 0:

Define →→→ Materials →→→ Add New Material…

Như đã phân tích ở chương 1, phần tử thanh dàn phẳng là một phần tử 2 nút, chịu biến dạng dọc trục Do vậy, khi xét trong hệ tọa độ tổng thể OXZ, mỗi nút chỉ có 02 bậc

tự do (Degree of Freedom – DOF) là các chuyển vị thẳng UX và UZ theo 2 trục tọa độ Nếu là dàn không gian thì mỗi nút sẽ có 03 bậc tự do là UX, UY và UZ Như vậy trước khi tiến hành giải bài toán hệ dàn ta phải khóa các bậc tự do không cần thiết

Nếu là dàn phẳng trong mặt phẳng OXZ, ta sẽ đánh dấu các bậc tự do UX, UZ

Analyze →→→ Set Options…

Nếu là dàn không gian, ta sẽ đánh dấu các bậc tự do UX, UY, UZ

Analyze →→→ Set Options…

3.1.2 Các bài tập thực hành

Bài tập 1

P = 10KN, a = 5m, E = 2,1.104 KN/cm2

Các thanh đứng và ngang có tiết diện là F1 = 10cm2

Các thanh xiên có tiết diện F2 = 7,071 cm2

Hệ số Poisson ν = 0,3

Trình tự thực hiện:

Bước 1 : Mô tả hình học

Chọn hệ đơn vị KN-cm, File > New Model From Template > [Vertical Truss]

Lưu ý: Click [ ] ở mục Restraints như hình minh họa

Bước 2 : Khai báo đặc trưng vật liệu

Define > Materials > [ Add New Materials ]

- Material Name : THEP

- Mass per unit Volume : 0 KN

- Weight per unit Volume : 0 KN

- Modulus of Elasticity: 2.1.104 KN/cm2

- Poisson’s Ratio : 0.3

- Coeff of Thermal Expansion : 0

Bước 3 : Khai báo đặc trưng hình học

Để định nghĩa đặc trưng hình học cho phần

tử thanh từ menu ta chọn: Define > Frame

Sections > …

Từ họp danh sách thứ hai trong mục Click

to chọn [Add General]

Tất cả các phần tử trong kết cấu được coi

như là phần tử thanh dàn, do vậy chỉ cần khai báo

giá trị diện tích mặt cắt ngang của tiết diện, các

thông số còn lại khai báo bằng zero

Section name : tên của tiết diện, tên này sẽ

được thay đổi trong bảng đối thoại kế tiếp, sau khi đã hoàn tất các khai báo đặc trưng hình học.Click OK để đóng hộp thoại và sửa lại tên đặc trưng hình học, đồng thời chọn vật liệu là THEP

Hai hình trên minh hoạ cho khai báo loại tiết diện F1 Lặp lại quá trình khai báo dữ liệu trên cho loại tiết diện F2 Sau khi hoàn tất, bảng đối thoại định nghĩa đặc trưng hình học

sẽ cho kết quả như hình sau:

Bước 4 : Gán đặc trưng hình học – vật liệu cho phần tử

- Chọn các thanh đứng và ngang bằng cách click chuột vào từng thanh hay dùng một cửa sổ quét qua các thanh, gán loại đặc trưng hình học F1 cho các phần tử

này Từ menu ta chọn : Assign > Frame > Sections… > chọn F1 > click phím

OK để xác nhận

- Làm tương tự cho các thanh xiên

Bước 5 : Gán tải trọng tập trung tại nút

Chọn nút cần gán tải tập trung, từ menu

chọn: Assign > Joint Static Loads > Forces

Force Global Z : -10

Bước 6 : Khai báo điều kiện biên

Chọn hai nút cần gán điều kiện biên, từ

menu chọn Assign > Joint > Restrains > click

biểu tượng khớp (nút thứ hai từ trái sang)

hoặc click vào 3 ô Translation 1,2 và 3

Bước 7 :Thực hiện giải

Các thanh đứng có tiết diện là F1 = 10cm2

Các thanh xiên có tiết diện F2 = 15 cm2

Các thanh ngang có tiết diện F3 = 20cm2

Hệ số Poisson ν = 0,3

Phân tích sơ bộ: kết cấu đối xứng trục

với nhau, do vậy ta chỉ cần vẽ một nữa kết

cấu sau đó lấy đối xứng trục

Khai báo đặc trưng vật liệu:

Define > Materials > [Add New Materials]

Material Name : THEP Mass per unit Volume : 0 KN Weight per unit Volume : 0 KN Modulus of Elasticity : 2.1.104 KN/cm2 Poisson’s Ratio : 0.3

Coeff of Thermal Expansion : 0 Khai báo đặc trưng hình học:

Define > Frame Sections > …

Làm tương tự như bài tập 1-1 để được vật liệu THEP và các tiết diện F1, F2, F3

Bước 3 : Gán đặc trưng hình học – vật liệu

cho phần tử (làm tương tự bài tập 1)

Bước 4 : Gán tải trọng tập trung tại nút (làm

tương tự bài tập 1), dưới đây minh hoạ gán tải

tập trung tại nút trên cùng bên phải (chịu lực

ngang theo phương X là 2P và lực hướng

xuống, ngược chiều trục Z là P)

Chọn nút cần gán tải tập trung , từ

menu chọn

Assign > Joint Static Loads > Forces

Force Global X : 30 Force Global Z : -15

Bước 5 : Khai báo điều kiện biên

- Gán liên kết khớp cho nút bên trái

(xem bài tập 1-1)

- Gán liên kết gối cho nút bên phải

Chọn nút cần gán điều kiện biên, từ

menu chọn Assign > Joint >

Restrains > click biểu tượng khớp

(nút thứ ba từ trái sang) hoặc click vào ô Translation 3

Bước 6 :Thực hiện giải

Giải kết cấu cần trục với các số liệu sau: P = 100KN, a = 2m, E = 2,1.104 KN/cm2

Các thanh đứng có tiết diện là F1 = 50cm2, các thanh xiên có tiết diện F2 = 60 cm2

Các thanh ngang có tiết diện F3 = 70cm2, Hệ số Poisson ν = 0,3

- Thêm đường lưới ở cao độ Z=5m

Draw > Edit Grid (shift F7)

[•]: Direction Z; Z Location: 5 > Add

Grid Line

Ta được thêm đường lưới Z ở cao độ 5 m

Chọn phím Draw Frame Element để vẽ

các phần tử thanh

Kết quả sau khi vẽ được như hình sau:

Bước 2: Khai báo và gán đặc trưng vật liệu

Bước 3: Gán giá trị tải trọng

Bước 4: Gán điều kiện biên

Bước 5: Thực hiện giải

- Chọn bậc tự do cho nút Analyze > Set Options > Click vào 2 ơ [v] UX và [v]

UZ

- Lưu bài tốn và thực hiện giải (F5)

Học viên tự thực hiện

Bài tập 4

Phân tích hệ dàn khơng gian cấu trúc mạng tinh thể Hệ dàn gồm 4 vịm đơn, mỗi vịm cĩ

17 khối chĩp tứ diện cơ bản cĩ kích thước 1,5 x 1,5x 1,5m như hình vẽ bên dưới Cao trình đỉnh vịm là 18m Thanh cánh trên và dưới của dàn làm bằng thép P1, các thanh xiên thép P.75 (lấy theo tiêu chuẩn trong tập tin Aisc.pro) Tải trọng đặt tại các nút cánh trên của hệ là 50kgf (Chú ý: gĩc xoay liên tiếp giữa 2 chĩp là 4.4051960)

Cho E = 2,1.108 KN/m2, v = 0,3

Trình tự thực hiện:

- Tạo hệ lưới tọa độ X, Y, Z

- Vẽ hình chĩp con ngay tại gốc tọa độ

- Định nghĩa một loại vật liệu, và hai loại tiết diện hình học

- Gán các đặc trưng hình học, vật liệu và tải trọng tác dụng lên đỉnh hình chĩp

50kgf

Hình chĩp cơ bản

Vẽ cạnh bên và cạnh đáy Hình chóp cơ bản

- Để thuận tiện cho việc quan sát và vẽ hình chĩp, gĩc nhìn được thay đổi sao cho phù hợp:

View > Set 3D View, các giá trị các thơng số như sau:

Plan : 250; Elevation : 22; Aperture : 0

Bước 2 : Vẽ hình chĩp

Hình chĩp được vẽ trực tiếp bằng các phần tử thanh, đỉnh của nĩ hướng xuống dưới và đặt tại gốc toạ độ Đầu tiên một cạnh bên và một cạnh đáy được vẽ trước, sau đĩ chúng được phát sinh thành bốn để cĩ được hình chĩp như sau:

- Chọn tất cả các đối tượng [Select All]

- Chọn Edit > Replicate > [Radial ]

+ Rotate about : Z axis

+ Increment data > Number: 3; Angle: 90

Bước 3 : Định nghĩa vật liệu và hình học

- Khai báo đặc trưng vật liệu:

Define > Materials > [ Add New Materials ]

Material Name : THEP

Type of Material : Isotropic

Mass per unit Volume : 0 KN Weight per unit Volume : 0 KN Modulus of Elasticity : 2.1.108 KN/m2 Poisson’s Ratio : 0.3

Coeff of Thermal Expansion : 0

- Khai báo đặc trưng hình học

Tất cả các phần tử của kết cấu đều cĩ tiết diện hình vành khăn, chúng cĩ số hiệu

là P1 và P.75 (lấy theo tiêu chuẩn AISC) Dữ liệu về tiết diện ngang của tất cả các loại thép định hình được lưu trong các file cĩ phần mở rộng là PRO, đi kèm với chương trình

cĩ các file dữ liệu tương ứng với tiêu chuẩn Mỹ AISC (AISC2.PRO), tiêu chuẩn Canada CISC (CISC.PRO) và tiêu chuẩn châu âu (EURO.PRO) Khi sử dụng loại thép định hình

cĩ tiết diện thuộc một trong các tiêu chuẩn trên thì phải chọn file dữ liệu tương ứng

Từ Menu: Define > Frame Sections > [Click to] Import Pipe

Chọn file AISC3.pro , file này được chứa trong thư mục cài đặt chương trình

Chọn loại tiết diện P.75 và sau đó chọn loại vật liệu THEP tương ứng

Sau khi đã chọn một loại tiết diện

chuẩn từ file cơ sở dữ liệu, chương trình sẽ

tự động lấy tất cả các thông số của tiết diện

đó, có nghĩa là tiết diện đó có tất cả những

giá trị của các đặc trưng hình học như diện

tích mặt cắt (A), diện tích cắt (A2, A3),

moment quán tính (I2,I3)… Xuất phát từ

yêu cầu chỉ cần xét đến độ cứng dọc trục

cho thanh dàn, do đó chỉ duy nhất giá trị

diện tích mặt cắt ngang (A) của tiết diện là

cần thiết Do vậy, các đặc trưng khác cần

được khử đi, chúng được gán giá trị bằng

không Để thực hiện điều này chương trình

SAP2000 hỗ trợ một công cụ đặc hiệt hữu

ích đó cho phép nhân hệ số với từng đặc

trưng hình học của tiết diện, tổng quát ta có

thể biểu diễn như sau:

modified Property i Property

Sec = a × Sec

Để nhân hệ số cho các đặc trưng tiết diện, từ

bảng đối thoại hình trên, ta click vào phím

gán Cross – section (axial)

Area = 1.0, các thông số còn lại cho bằng

zero

Với cách làm tương tự ta có được đặc trưng

hình học của loại thép ống số P1 với các đặc

trưng hình học liên quan đến uốn độ cứng

uốn, cắt, xoắn đã được loại bỏ

Bước 4 : Gán các đặc trưng hình học, tải trọng

- Chọn cách thanh xiên (dùng đường thẳng cắt qua các thanh ) từ menu chọn

Assign > Frames > Sections [Frame sections] > P.75 > OK

- Dùng cửa sổ chọn các thanh ở mặt đáy của hình chóp

Assign > Frames > Sections [Frame sections] > P1 > OK

- Chọn các nút ở mặt đáy của hình chóp (dùng cửa sổ)

Chọn hệ đơn vị kgf-m

Gán tải trọng tập trung lên các nút

Assign > Joint Static Loads > Forces > [Force global Z]: -50.0

Trả lại hệ đơn vị trước đó kN-m

Bước 5: Di chuyển hình chóp cơ bản đến vị trí đỉnh

Previous selection [PS] hoặc nút [All]

Edit > Replicate > Radial >

Rotate about: Y Axis

Number: 8 Angle: 4.4051960

- Phần bên trái của một cánh cung có thể

được tạo bằng nhiều cách khác nhau

chẳng hạn như lấy đối xứng 8 hình chóp

bên phải qua mặt phẳng YZ cách này hơi

phức tạp hoặc lặp lại bước phát sinh

hình chóp cơ bản với góc xoay là

-4.4051960, trình tự thực hiện theo cách

lấy đối xứng như sau:

Chọn hình chóp cơ bản, click phím [PS] (previous

selection)

Tạo và gán cho nhóm CHOPCB

Assign > Group Name

Groups : CHOPCB > Add New Group

Chọn tất cả các đối tượng [All], sau đó loại trừ các đối

tượng của nhóm CHOPCB: Select > Deselect > Groups…Chọn nhóm CHOPCB > OK

Lấy đối xứng Edit > Replicate > Mirror

Mirror About : XZ line

Ordinate Y =0 Sau khi lấy đối xứng tổng số hình chóp đã

tạo được là 17, phần còn lại là vẽ các

thanh nối các đỉnh dưới để hoàn thành một

cánh cung

Phóng lớn hai hình chóp ngoài cùng bên

trái, vẽ nối hai đỉnh chóp và gán loại tiết

diện P1, sau đó chọn phần tử mới vẽ,

phát sinh thêm 15 phần tử nữa để có được

thanh nối tất cả các đỉnh chóp phía dưới

- Vẽ các thanh liên kết dọc dàn

- Ở khung cửa sổ bên phải chọn mặt

phẳng XY có cao độ bằng với toạ độ Z của

nút đỉnh chóp ngoài cùng

View > Set 2D view > [Plane] > XY plane:

14.7011

- Phóng lớn màn hình và vẽ phần tử

thanh đi qua 4 nút phía bên trái của hệ dàn,

sau đó gán loại tiết diện P1 cho phần tử mới

vẽ Chia đối tượng mới vẽ thành 3 đoạn nhỏ

bằng lệnh Edit > Divide Frames

Divide into: 3 Last/First ratio: 1

Kết quả được như hình sau

- Chọn 3 phần tử mới chia rồi phát sinh chúng thêm 16 lần để có được toàn bộ thanh dọc mặt dưới của dàn, chú ý dấu của góc xoay

Edit > Replicate > Radial >

Rotate about: YAxis

Number: 8, Angle: 4.4051960

Bước 8: Áp đặt điều kiện biên và thực hiện giải

- Chọn bốn nút tại bốn góc của dàn (mặt phẳng XY@Z=14.7011)

Assign > Joint > Restraint > [x] Translation 1, 2 ,3

- Khai báo các bậc tự do hiện hữu: Analyze > Set Analysis Options > Avaiable

DOFs > click vào Space Truss hoặc đánh dấu vào các ô Ux, Uy, Uz để xác nhận toàn bộ các nút của kết cấu chỉ có 3 bậc tự do chuyển vị thẳng, các ô còn lại để trống

- Thực hiện giải: Analyze > Run (F5)

Bài tập 5

Giải kết cấu tháp truyền hình bằng hệ dàn thép với các số liệu sau:

Các thanh chống F1=20cm2, các thanh giằng F2 = 6cm2 Ở các cao trình 0m, 5m, 10m, 15m, 20m đều bố trí các hệ giằng ngang, các mặt bên đều bố trí hệ giằng xiên Kích thước và tải trọng tại các tầng tháp như sau:

- Chọn mặt phẳng XY, sử dụng hai phím Up One Gridline và Down One Gridline

để di chuyển đến các mặt phẳng lưới (mặt phẳng XY tại các cao độ Z khác nhau) để vẽ các thanh giằng ngang Kết quả sau khi vẽ các thanh giằng ngang

- Chọn mặt phẳng XY ở cao độ Z = 0, chọn phím Draw Special Joint để

tạo 4 nút chân đế như hình sau

- Vẽ hai thanh chống và các thanh giằng xiên cho một mặt bên bất kì như hình sau:

- Khai báo đặc trưng vật liệu và hình học (làm tương tự như các bài tập trên)

- Gán đặc trưng hình học cho các phần từ vừa vẽ

- Chọn hai thanh chống và các thanh giằng xiên (1 mặt bên), phát sinh thêm 3 mặt bên nữa để được kết cấu hoàn chỉnh

Edit > Replicate > Radial >

Rotate about: ZAxis

Number: 3, Angle: 900

Bước 2: Gán giá trị tải trọng

Bước 3: Gán điều kiện biên

Bước 4: Thực hiện giải

- Chọn bậc tự do cho nút Analyze > Set Options > Click vào 3 ô [v] UX, [v] UY

và [x] UZ

- Lưu bài toán và thực hiện giải (F5)

-

Bài tập 6

Hãy xây dựng mô hình hệ kết cấu tháp trụ, các số

liệu về vật liệu tương tự như Bài tập 5

3.2 Bài thực hành số 2 - Hệ khung

3.2.1 Các quy ước cơ bản

Đối với hệ khung phẳng trong mặt phẳng OXZ, mỗi nút sẽ có 03 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị thẳng UX, UZ và thành phần chuyển vị xoay quanh trục Y là RY Với hệ khung không gian, các nút có đầy đủ 6 bậc tự do là UX, UY, UZ và RX, RY, RZ Nội lực trong phần tử gồm 6 thành phần: lực dọc, mômen xoắn, 2 mômen uốn và 2 lực cắt Chú ý rằng, kết quả nội lực được xuất ra được quy chiếu trên hệ tọa độ địa phương của phần tử

Mỗi phần tử thanh của hệ khung được SAP2000 tự động gán một hệ trục tọa độ địa

phương được kí hiệu bằng các chữ số là 1, 2, 3 Khi hiển thị ở chế độ chọn màu mặc

định, trục 1 có màu đỏ (red), trục 2 màu trắng (white), trục 3 màu xanh (cyan)

Quy ước hệ trục tọa độ địa phương như sau:

(a) Theo phương pháp hướng mặc định (Default Orientation): phương pháp này được chương trình tự động gán cho phần tử khi nó mới được tạo ra Trục 1 của phần tử luôn hướng từ nút i (nút chỉ định trước) đến nút j (nút chỉ định sau) của phần tử Các trục

2 và trục 3 của phần tử được xác định theo quan hệ của trục 1 và trục Z của hệ tọa độ

tổng thể theo nguyên tắc:

+ Trục 1 và 2 hợp thành mặt phẳng thẳng đứng song song với trục Z, trục 2 luôn hướng theo chiều dương của trục Z

+ Trục 3 tạo với mặt phẳng 1-2 thành tam diện thuận (song song với XY)

Trường hợp trục 1 của phần tử hướng thẳng đứng (khi sin(1-Z)<10-3) thì trục 2 sẽ nằm ngang và hướng theo trục X

(b) Phương pháp góc tọa độ phần tử: phương pháp này được sử dụng khi hệ tọa độ địa phương do chương trình tạo ra không đúng theo yêu cầu Ta có thể xoay hệ trục tọa

độ địa phương của phần tử theo một góc α được cho trước

Để thực hiện việc này, ta chọn phần tử cần thay đổi hệ tọa độ địa phương và thực hiện thao tác: