Bài giảng sức bền vật liệu

Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B Hình 1.1 Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực p

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC 5

Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 6

§1 Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất 6

1.1 Ứng suất 6

1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất 7

1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp 8

1.4 Công thức xoay trục 9

§2 Ứng suất chính, phương chính – Tenxơ ứng suất 11

2.1 Ứng suất chính – Phương chính 11

2.2 Tenxơ ứng suất 15

§3 Trạng thái ứng suất phẳng 16

§4 Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch 20

§5 Mặt ứng suất pháp 21

§6 Phương trình vi phân cân bằng 22

Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 23

§1 Các khái niệm ban đầu 23

1.1 Chuyển vị 23

1.2 Biến dạng dài 23

1.3 Biến dạng góc 25

§2 Biến dạng chính phương chính biến dạng Tenxơ biến dạng 27

2.1 Tenxơ biến dạng 27

2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng 28

§3 Vòng tròn Mo biến dạng 31

§4 Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh 32

§5 Phương trình tương thích biến dạng 32

Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 35

§1 Các hằng số đàn hồi 35

1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng 35 1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng 36

1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn 38 -1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát 39

§2 Thế năng biến dạng đàn hồi 40

§3 Các phương pháp cơ bản giải bài toán đàn hồi 41

Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 47

§1 Các định nghĩa 47

-1.1 Mômen tĩnh 47

-1.2 Mômen quán tính 47

§2 Công thức chuyển trục song song 48

§3 Công thức xoay trục 49

§4 Ví dụ tính đặc trung hình học của một số hình đơn giản 50

4.1 Hình tam giác vuông 51

4.2 Hình nửa hình tròn 52

4.3 Hình quạt 53

4.4 Hình chữ nhật 53

4.5 Hình tròn 53

-4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính chính trung tâm của hình phẳng được ghép từ các hình phẳng đã có trọng tâm 54

Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH 55

§1.Một số định nghĩa về thanh, liên kết thanh 55

§2 Nội lực trong thanh 56

§3 Tương quan giữa nội lực và ứng suất 57

-§4 Tương quan giữa nội lực và cường độ tải trọng phân bố trong bài toán phẳng - 57 §5 Biểu đồ nội lực 58

5.1 Trường hợp thanh thẳng 58

5.2 Trường hợp khung phẳng 60

5.3 Trường hợp thanh cong 61

5.4 Trường hợp khung không gian 63

Chương 6: THANH CHỊU UỐN KÉO(NÉN) 64

§1 Trạng thái ứng suất của thanh chịu uốn – kéo(nén) 64

§2 Các trường hợp riêng 66

-2.1 Thanh chịu kéo(nén) đúng tâm 66

-2.2 Uốn thuần túy 66

2.3 Uốn xiên 67

2.4 Kéo (nén) lệch tâm 68

§3 Thí nghiệm kéo và nén vật liệu 69

-3.1 Thí nghiệm kéo 69

-3.2 Thí nghiệm nén 71

§4 Các điều kiện dẻo và điều kiện bền 73

-4.1 Điều kiện dẻo của CulongTơretska 73

-4.2 Điều kiện dẻo của Vông Midet 73

-4.3 Biểu diễn hình học của điều kiện dẻo 74

-4.4 Đường nội tại – Thuyết bền của Mohr 76

Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG 78

§1 Ứng suất của dầm chịu uốn ngang phẳng 78

1.1 Định nghĩa 78

1.2 Công thức của ứng suất tiếp 78

§2 Áp dụng với một số mặt cắt thường gặp 80

§3 Điều kiện bền của dầm chịu uốn ngang phẳng 83

§4 Dầm chống uốn đều và dầm có mặt cắt hợp lý 84

Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI 87

§1 Định nghĩa và nhận xét 87

§2 Phương trình vi phân của đường đàn hồi 87

§3 Các phương pháp xác định đường đàn hồi 88

3.1 Phương pháp tích phân không định hạn 88

3.2 Phương pháp thông số ban đầu 89

3.3 Phương pháp dầm giả tạo 91

Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY 93

§1 Khái niệm chung 93

§2 Xoắn thuần túy thanh tiết diện tròn 93

2.1 Thí nghiệm 93

2.2 Giả thuyết về biến dạng 94

-2.3 Ứng suất thanh chịu xoắn 94

-2.4 Biến dạng thanh chịu xoắn 97

-2.5 Điều kiện bền và điều kiện cứng thanh chịu xoắn 97

-2.6 Các dạng bài toán cơ bản 98

-2.7 Các ví dụ 98

§3 Xoắn thanh mặt cắt bất kỳ 101

3.1 Công thức ứng suất và biến dạng 101

-3.2 Một số trường hợp cụ thể 103

Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 105

§1 Uốn và xoắn đồng thời 105

1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời 105

1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời 106

§2 Uốn cộng kéo(nén) và xoắn đồng thời 107

2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời 107

2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) và xoắn đồng thời 107

§3 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn 108

-Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC

Một kỹ sư chế tạo máy có thể thiết kế ra một chi tiết máy, một kỹ sư xây dựng thiết kế một kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực đó có thể làm việc đạt yêu cầu đặt ra, nhưng vẫn đề tiếp theo cần quan tâm là chúng làm việc đạt yêu cầu như vậy được trong bao lâu? Đó chính là vẫn đề tuối thọ Giải quyết vấn

đề này chính là nhiệm vụ của môn học Sức bền vật liệu

Mục địch chính của môn học là cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản

về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng và ổn định của kết cấu chịu lực Cụ thể là tính toán cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thanh thành mỏng… Từ đó người học có thể phân tích và thiết kế các kết cấu chịu lực đảm bảo:

- Độ bền: tức là đảm bảo cho kết cấu có một kích thước hợp lý nhất làm việc trong một thời gian dài mà không bị hỏng

- Độ cứng: tức là đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nhưng vẫn nằm trong một giới hạn cho phép

- Ổn định: tức là đảm bảo cho kết cấu khi làm việc luôn trong trạng thái cân bằng ban đầu

Đối tượng của môn học Cơ lý thuyết là vật rắn tuyệt đối còn đối tượng nghiên cứu của môn học Sức bền vật liệu là vật rắn thực, có biến dạng được làm từ các cật

liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết là vật liệu có tính liên tục và

đồng nhất

- Tính liên tục có nghĩa là tại mọi nơi trong vật thể đều có vật liệu

- Tính đồng nhât nghĩa là tất mọi nơi trong vật thể, vật liệu đều có tính chất

cơ, lý, hóa như nhau

- Ngoài hai giả thuyết trên ta còn thừa nhận khi không có tác dụng của ngoại lực thì trong lòng vật thể không tồn tại ứng suất, nói các khác vật thể không

có ứng suất ban đầu trước khi chịu tác dụng của ngoại lực

Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

§1 Khái niệm về ứng suất, trạng thái ứng suất

1.1 Ứng suất

Xét một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của ngoại lực

Ứng xử bên trong lòng vật thể xảy ra như thế nào?

 Để tìm hiểu, ta lấy một điểm M thuộc vật thể và tưởng tượng cắt qua M một mặt cắt π Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A và B

Hình 1.1

Tưởng tưởng vứt bỏ phần B đi và xét cân bằng cho phần A: Phần A ở trạng thái cân bằng là do phần B tác dụng lên phần A một hệ lực phân bố trên toàn mặt cắt, hệ lực đó cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần A

Hệ lực đó gọi là nội lực hay ứng lực trong lòng vật thể

Xét một phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, trên phần diện tích đó có lực

P (thuộc hệ nội lực trên)

được gọi là ứng suất toàn phần tại điểm M trên mặt cắt

Ta dựng một hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vuông góc với mp

Gọi là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz

Khi đó ứng suất tại M có thể được biểu diện như sau:

Trong biểu thức (1.2) ta gọi là ứng suất pháp, là các ứng suất tiếp

Ứng suất tiếp có chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó

P 

z x

P 

y x

P 

x x

P 

O x

P 

B x

P 

A x

1.2 Khái niệm về trạng thái ứng suất

Qua điểm M có vô số mặt cắt, ứng với mỗi mặt cắt khác nhau, ta có các véc tơ ứng suất p

khác nhau Vậy có vô số véc tơ ứng suất qua một điểm trong lòng vật thể Tập hợp tất cả các véc tơ ứng suất p

trên các mặt cắt qua một điểm được gọi là trạng

thái ứng suất tại điểm đó

Tập các véctơ ứng suất tại một điểm là tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau?

 Xét tại một điểm, ta thấy rằng chỉ cần biết được véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt bất kỳ, thì ứng suất trên mặt cắt thứ 4 phải cân bằng với ứng 3 ứng suất kia

Vì sao?

Vì 4 mặt cắt đó tạo nên một phân tố

bao quanh điểm đang xét Mà vật thể

nằm cân bằng nên phân tố đó cũng phải

nằm cân bằng suy ra tổng véctơ ứng suất

trên 4 mặt đó phải bằng không, tức chúng

phụ thuộc lẫn nhau

Vậy tại một điểm chỉ có 3 véctơ

ứng suất độc lập với nhau

Để thuận tiện ta xét 3 mặt cắt đi qua

M vuông góc với nhau từng cặp một Giao

của các mặt cắt đó tạo nên hệ trục Oxyz

Xét thêm mặt cắt thứ 4 có cosin chỉ

phương trong hệ trục Oxyz là (l,m,n)

Mặt cắt thứ 4 này cắt các trục Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C

Vậy 4 mặt cắt tạo nên một tứ diện vuông OABC, vuông tại O

Trên 3 mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên các trục tọa độ là:

1 2 3

: : :

i j k  là các véctơ đơn vị trên hệ trục Oxyz

Gọi ứng suất trên mặt thứ 4 là:

4

Trong đó X, Y, Z là tọa độ của véctơ ứng suất p4 chiếu lên các trục

Tứ diện vuông OABC nằm cân bằng nên ta có:

1 OBC 2 OAC 3 OAB 4 ABC 0

?

z x

P 

y x

(1.6)

Trong đó Fi là diện tích của mặt i tương ứng

Chia 2 vế của (1.6) cho FABC với chú ý:

x yx zx

xy y zy

xz yz z

σ τ τ X

Y = τ σ τ

Z τ τ σ

l m n

(1.8) Trong đó ta ký hiệu:

chứa các thành phần của các véctơ ứng suất trên 3 mặt cắt vuông góc với nhau

Tς đặc trưng cho trạng thái ứng suất tại điểm đang xét

Các thành phần của Tς có gì đặc biệt

không?

1.3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Xét phương trình cân bằng mômen qua

các trục đi qua trọng tâm của tứ diện và

vuông góc với các cạnh của phân tố

Ví dụ: phương trình cân bằng mômen qua

trục Gx’ chỉ có yz, zy gây mômen:

?

F F V là thể tích tứ diện Suy ra:

Tương tự với các ứng suất tiếp còn lại, ta có:

Kết luận:

Xét trên hai mặt cắt vuông góc với nhau Nếu mặt này xuất hiện ứng suất tiếp thì

bề mặt kia cũng xuật hiện ứng suất tiếp với trị số bằng nhau, có chiều cùng hướng

vào hoặc hướng ra khỏi cạnh chung  Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

Tiếp tục ta xét tiếp các thành phần của Tς khi ta chọn các mặt cắt vuông góc khác nhau hay nói cách khác, các thành phần đó thay đổi như thế nào trong một

hệ trục tọa độ mới?

1.4 Công thức xoay trục

Xét một hệ trục mới với gốc như cũ: Ouvw

Các cosin chỉ phương của các trục trong hệ trục tọa độ mới được xác định trong hệ trục cũ như sau:

Cho trạng thái ứng suất tại một điểm trong hệ

trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi:

3 1 1

1 0 2

1 2 0

T

Xác định Tς tại điểm đó trong hệ trục mới

Ouvw bằng cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox

góc 450(quay ngược chiều kim đồng hồ)

2 2

2 2 : (0, , )

2 2

ou ov ow

Khái niệm: Trên mặt cắt đi quan một điểm mà ở đó chỉ có ứng suất pháp(ứng

suất tiếp bằng không) thì ta gọi mặt cắt đó là mặt chính, ứng suất trên mặt đó được gọi là ứng suất chính, phương của véctơ pháp tuyến của mặt cắt đó được gọi là

Cộng 3 phương trình trong (1.23) trừ đi tổng 3 phương trình trong (1.24) ta có:

1 2 l l1 2 m m1 2 n n1 2 0 (1.25)

Do (1.25) đúng với mọi 1, 2 nên:

1 2 1 2 1 2 0

Vậy u1 u2, tương tự ta chứng minh được u2 u3và u3 u1

 Các nghiệm của phương trình (1.21) không thay đổi khi ta thay đổi hệ trục tọa độ

Để chứng minh điều này, ta đi chứng minh các hệ số I1, I2, I3 không đổi khi ta xoay trục

Ví dụ 1.2: Cho trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng bởi:

Trạng thái ứng suất tại M được gọi là Tenxơ ứng suất

Các thành phần của tenxơ ứng suất:

Có ba trường hợp xảy ra:

Nếu đều khác không thì ta có trạng thái ứng suất khối

Nếu có một trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất phẳng

Nếu có hai trong 3 bằng không thì ta có trạng thái ứng suất đơn

Hình 1.4a.Trạng thái ứng suất đơn, 1.4b.Trạng thái ứng suất phẳng,

1.4c.Trạng thái ứng suất khối

Trạng thái ứng suất tại một điểm còn được biểu thông qua phân tố hình hộp:

Hình 1.5: Biểu diễn trạng thái ứng suất qua phân tố hình hộp

Để tiện cho tính toán sau này ta gọi các phương của hệ trục Oxyz là 1, 2, 3 khi đó các ứng suất pháp được ký hiệu là: ς11, ς22, ς33 còn các ứng suất tiếp là ς12, ς23, ς31,

chỉ số đầu chỉ phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ hai chỉ phương song song của ứng suất tiếp đó

Khi đó Tenxơ ứng suất được viết lại như sau:

Dạng thu gọn: với i,j=1,2,3

Trong đó chỉ số đầu chỉ cột, chỉ số sau chỉ hàng

Định luật đối ứng của ứng suất tiếp lúc này trở thành:

với i≠j, i,j=1,2,3

Trạng thái ứng suất trong trường hợp ví dụ 1.2 là trạng thái ứng suất khối

§3 Trạng thái ứng suất phẳng

Trong phần này ta sẽ đi tìm ứng suất trên một mặt nghiêng bất kỳ, đi tìm ứng suất chính, phương chính của một trạng thái ứng suất phẳng bằng phương pháp giải tích và hình học

Xét phân tố hình hộp tạo bởi 3 mặt chính trong đó: Oz là một phương chính

xy yx

zy yz

Phân tố trên là phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng

Do các mặt cắt còn lại là bất kỳ nên : (Nếu trùng

Một phân tố chịu trạng thái ứng suất phẳng như trên khi biết được thì trạng thái đó xác định Từ đây ta có thể tính được bất kỳ ứng suất tại các mặt cắt khác nhau song song với Oz

*)Phương pháp giải tích

Bây giờ ta cắt phân tố trên bằng một mặt cắt bất kỳ song song với Oz

Ta gọi pháp tuyến của mặt cắt bất kỳ đó là u

có phương hợp với Ox một góc , xoay u

900 theo chiều kim đồng hồ ta có véctơ , bây giờ ta đi tìm ứng suất pháp

và ứng suất tiếp u, uv Thực tế đây là một bài toán tìm các thành phần của tenxơ ứng

suất trong hệ trục tọa độ mới Ouv (Hình 1.6b)

Các cosin chỉ phương của u,v trong hệ trục tọa độ Oxy là:

os( , ) os os( , ) sin

c u x c u

c u y ; os( , ) sin

os( , ) os

c v x v

sin 2

) (

2 sin 2

1 2 cos ) (

2 cos 2

sin 2

) (

2 sin cos

)

xy y

x uv

xy y y

x u

xy y

x

uv

xy y y

sin 2

) (

2 sin 2

cos 2

) (

2

) (

xy y

x

uv

xy y

x y x

2 2

2 2

2

) (

) ( ) 2

) (

( u x y uv x y xy là phương trình một đường tròn trong hệ

trục O u uv với tâm là điểm : , 0

2

) ( x y

2

2

) (

xy y

x

R

Vòng tròn trên được gọi là vòng tròn Mohr ứng suất

Trước khi vẽ vòng tròn Mo ta quy ước dấu của ứng suất như sau:

Để thuận mắt ta vẽ O u// Ox và O uv// Oy và lấy điểm P có tọa độ P σ ,τy xy được gọi là điểm cực của vòng tròn Mo ứng suất

Từ điểm cực P ta vẽ tia tạo với trục O u góc α ngược chiều kim đồng hồ tia đó cắt vòng tròn Mo tại M khi đó hoành độ điểm M là ứng suất pháp, tung độ của M là ứng suất tiếp tại mặt cắt của phân tố có phương pháp tuyến trùng với PM

Chứng minh:

Từ tâm C của vòng tròn Mo, gọi M’ là hình chiếu của M trên trục hoành Gọi β là góc M CM

σ -σ CM.cosβ=CM cosβ

2 CM.sinβ=CM sinβ=τ

So sánh với công thức (1.41) với (1.39) dễ dàng thấy điều phải chứng minh

Chú ý: điểm P lấy như trên để PM0 song song với trục Ox như vậy để thuận mắt khi

biểu diễn ứng suất tại điểm M trên mặt cắt(khi đó mặt cắt sẽ nhận PM làm pháp tuyến luôn), còn thực ra có thể lấy tùy ý bất kỳ điểm nào trên đường tròn làm điểm cực và ta vẫn có các tính chất biểu diễn như trên

Tọa độ P(σ ,τ )y xy cũng phụ thuộc vào quy ước dấu của ứng suất tiếp

* Xác định ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng

xy xy

y x

2

) (

Ta có:

2 1

1 2

2 2

2 2

2

) (

2

) (

) 2

) (

2

) (

.(

2

) (

2

) (

2

)

(

xy y

x y

x

xy y

x

y x

y x

xy y

x y

2

) (

xy y

x y

Công thức (1.45), (1.46) chính là công thức dùng để xác định ứng suất chính

và phương chính tại trạng thái ứng suất phẳng đang xét

*)Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

Là trạng thái phân tố chỉ chịu

ứng suất tiếp τ, ứng suất pháp bằng

không Vòng tròn Mo cho trạng thái

ứng suất trượt thuần túy có tâm trùng

gốc tọa độ

Nhìn vòng tròn Mo dễ dàng thấy trong

trường hợp này:

ςmax= τ v{ ςmin= -τ

§4 Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch

Một trạng thái ứng suất bất kỳ có thể được xem là cộng tác dụng của hai trạng thái ứng suất

Cho Tenxơ ứng suất Tσta phân tích như sau:

bd bd

1

Hình 1.10: TTƯS trượt thuần túy

gọi là Tenxơ trạng thái ứng suất lệch – Ten sơ lệch

Tenxơ cầu chỉ gây nên biến dạng thể tích, tenxơ lệch gây nên biến dạng góc

có phương trùng với phương pháp tuyến n, gốc trùng với gốc tọa

độ Nếu gọi (x,y,z) là tọa độ của điểm cuối thì:

Chú ý: khi tọa độ Oxyz chọn trùng với các phương chính ứng suất tức khi đó

các ứng suất tiếp bằng không khi đó mặt ứng suất Cauchy trở thành:

n n n

Ngoài mặt ứng suất Cauchy ta còn có khái niệm mặt ứng suất dạng elip nếu cũng như trên nhưng ta lấy véctơ r

trùng với véctơ ứng suất toàn phần Khi đó điểm cuối véctơ rhay chính là điểm cuối véctơ ứng suất toàn phần vẽ nên một mặt Elip

§6 Phương trình vi phân cân bằng

Các mục trước ta xét một phân tố hình hộp để biểu diễn cho trạng thái ứng suất tại một điểm, ở đó ta coi phân tố vô cùng bé và ta coi ứng suất trên hai mặt đối diện nhau là bằng nhau Bây giờ để nghiên cứu trường ứng suất tại một điểm trong vật thể dưới tác dụng của ngoại lực chúng ta xét cũng phân tố hình hộp như trên nhưng ứng suất trên hai mặt đối diện lúc này khác nhau như hình 1.11

Bây giờ ta xét phân tố cân bằng, chiếu trên các phương ox,oy,oz ta có hệ phương trình cân bằng:

2 2 2 2 2 2

v F

z

z dzz

Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

§1 Các khái niệm ban đầu

1.1 Chuyển vị

Xét một điểm K(x,y,z) thuộc một vật thể

đàn hồi ban đầu chưa chịu lực Sau khi

chịu lực điểm chuyển dịch tới

khi đó khoảng cách được

gọi là chuyển vị toàn phần của điểm K

Chiếu lên các trục tọa độ Ox,

Oy, Oz được các tọa độ là (u,v,w), các tọa

độ này phụ thuộc vào hệ ngoại lực tác

dụng vào vật thể và phụ thuộc vào tọa độ

điểm K Vậy u,v,w sẽ là hàm số theo

ds ds

là biến dạng dài theo phương KA

 Bây giờ ta đi tìm tỷ số ε

Biểu thức (2.8) là biểu thức xác định biến dạng dài cần tìm trên phương KA

với cosin chỉ phương là (l,m,n)

Khi KA song song với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz ta có biến dạng trên các phương trục tọa độ là:

được gọi là biến dạng góc tỷ đối,ký hiệu là γ

 Sau đây ta đi tính biến dạng góc tỷ đối đó:

Điểm B lấy như trên có cosin chỉ phương của KB là: (l1,m2,n3)

Bây giờ ta cần tìm cosin chỉ phương ' ' '

Viết lại dưới các cosin chỉ phương ta có:

' 1

(1 ) (1 )

Biểu thức (2.15) là biểu thức xác định biến dạng góc tỷ đối cần tìm

Khi KA và KB song song với các trục Ox, Oy (khi đó l=m1=1 còn lại bằng không) thì

j i ij

u u

2.2 Biến dạng chính và phương chính biến dạng

Xét tại điểm M có tenxơ biến dạng:

Xác định biến dạng chính và phương chính biến dạng?

Cho biết trạng thái biến dạng tại M là gi?

Trong trường hợp chỉ quan tâm đến biến dạng trong một mặt phẳng mà bỏ qua biến dạng các phương còn lại, khi đó ta có tenxơ biến dạng phẳng như sau:

1 γ ε 2

Sau đây ta tiến hành xoay trục đi một góc α thì tương quan giữa biến dạng dài và biến dạng góc lúc này có dạng một vòng tròn như trong trường hợp của ứng suất

Vòng tròn đó được gọi là vòng tròn Mo biến dạng

Thực vậy theo công thức (2.22) ta có:

(2.28) Biến đổi các góc lượng giác ta có:

O

v x

§4 Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh

Tương tự như tenxơ ứng suất, tenxơ biến dạng cũng được chia thành hai tenxơ

là tenxơ biến dạng cầu C

tb tb

§5 Phương trình tương thích biến dạng

Phần trên ta nói đến mối tương quan giữa biến dạng và chuyển vị, bây giờ ta xét sự tương quan giữa biến dạng dài và biến dạng góc Vì thực tế biến dạng dài và biến dạng góc là có mối liên hệ lẫn nhau nếu không sau khi biến dạng vật thể sẽ có những lỗ hổng, khi đó không còn thỏa mãn điều kiện về môi trường liên tục Do đó biến dạng dài và biến dạng góc có một điều kiện rằng buộc tương quan, người ta gọi điều kiện tương quan đó là điều kiện tương thích biến dạng Phương trình biểu thể hiện sự tương quan đó gọi là phương trình tương thích biến dạng

Từ (2.16) ta lấy đạo hàm riêng hai vế lần lượt theo x,y ta có:

y z

*) Bài toán cho tenxơ biến dạng tìm thay đổi về độ dài, góc sau biến dạng

Giả sử cho trường biến dạng xác định bời tenxơ biến dạng Tε

Tìm biến dạng của một góc hay một đoạn thẳng bất kỳ thuộc trường biến dạng trên ta sử dụng công thức (2.22):

cạnh của góc cần tính Khi tính biến dạng dài một cạnh thì hai phương u,v trùng nhau

của tứ diện đều OABC, D là

trung điểm của cạnh AB?

Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG

§1 Các hằng số đàn hồi

Xét môi trường đàn hồi tuyến tính của Hooke

Trong trường hợp tổng quát, khi vật thể có tính dị hướng thì mối tương quan giữa ứng suất và biến dạng được thể hiện qua công thức sau:

1.1 Chứng minh phương chính ứng suất trùng với phương trình biến dạng

Giả sử chọn hệ trục tọa độ ban đầu trùng với phương chính biến dạng khi đó các biến dạng góc bằng không và ta có:

11 11 21 31 11

22 12 22 32 22

33 13 23 33 33

Quay hệ trục tọa độ ban đầu đi một góc 180o

quanh trục Ox3 khi đó hệ trục tọa độ mới có cosin chỉ phương trong hệ trục ban đầu là:

;

11 21 31 '

13 23 33

11 21 31 '

13 23 33

11 21 31 '

1.2 Hệ số đàn hồi trong vật liệu đẳng hướng

Với vật liệu đẳng hướng, quan hệ ứng suất với biến dạng trên phương nào cũng như nhau

Nếu chọn hệ trục ban đầu là hệ trục chính thì ta có:

11 11 21 31 11 11 11 21 22 31 33

22 12 22 32 22 12 11 22 22 32 33

33 13 23 33 33 13 11 23 22 33 33

11 11 11 '

Biểu thức (3.11) giống với biểu thức (3.7)

Luận luận tương tự ta có:

Biểu thức (3.17) chính là biểu thức cho ta tính biến dạng qua ứng suất

Đặc biệt khi i j ij 0 khi đó (3.17) trở nên gọn hơn:

ij ij

Vậy ở vật liệu đẳng hướng ta chỉ tồn tại hai hằng số đàn hồi

1.3 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn

Trạng thái ứng suất đơn là trạng thái ứng suất khi đó chỉ có một ứng suất chính khác không còn lại hai ứng suất bằng không

Giả sử 11 0 từ biểu thức (3.17) ta suy ra:

11 11

11 22

11 33

1 1

11

11 33

Từ (3.20) ta có:

33 22

11 11

2 3

1 2

1.4 Hệ số đàn hồi trong trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát

Trạng thái ứng suất khối là trạng thái mà ba ứng suất chính đều khác không Khi đó tenxơ ứng suất và tenxơ biến dạng có đủ cả 6 thành phần Theo công thức (3.26) ta có:

1 1 1

E E E

và

xy xy

yz yz

zx zx

G G G

(3.27)

Biểu thức (3.27) được gọi là biểu thức của định luật Hooker tổng quát

Từ biểu thức (3.15) ta có tương quan ứng suất theo biến dạng như sau:

2 2 2

G G G

Biểu thức (3.28) được gọi là các biểu thức Lamé

§2 Thế năng biến dạng đàn hồi

Từ biểu thức (3.27) của định luật Hooker tổng quát ta đi tính thế năng của một đơn vị thể tích Đó là thế năng biến dạng đàn hồi

Xét phân tố đàn hồi chịu lực Có trạng thái ứng suất như hình 3.2 tại thời điểm t

Sau khoảng thời gian δt phân tố có biến dạng là x, y, z, xy, yz, zx bỏ qua lượng vô cùng bế bậc cao ta có thể xem công của ngoại lực tác dụng lên phân tố bằng tổng công của các thành phần ứng lực như sau:

Nếu không có sự mất mát về năng lượng ta có: dU dA

Ký hiệu u dU

dV là thế năng tích lũy trong một đơn vị thể tích ta có:

Trong trường hợp biến dạng là thuận nghịch δu là một vi phân toàn phần Khi đó

ta có biểu diễn δu như sau:

zy yz